初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试精练

沪科版九年级数学下册第24章圆专项攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点的坐标是（　　）

A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)

2、如图图案中，不是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3、如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

4、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

5、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

6、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．  B． 

C．  D．

7、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（    ）

A．50° B．60° C．40° D．30°

8、如图，在中，，，，将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

9、如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（    ）

A．不变 B．面积扩大为原来的3倍

C．面积扩大为原来的9倍 D．面积缩小为原来的

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中．为区别口味，他打算制作“** 饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6 cm，则标签长度l应为_______ cm．（π取3.1）

2、在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的圆O交BC边于点D．要使得圆O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是 _________ ．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD > AB；④AB < DE < AB．

3、若一次函数y＝kx+8（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 ___．

4、如图，是由绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为100°，则的度数是______．

5、已知O、I分别是△ABC的外心和内心，∠BIC＝125°，则∠BOC的大小是 ___度．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．

已知点N（3，0），A（1，0），，．

（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是______；

②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；

（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在的“二分点”，直接写出r的取值范围．

2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．

（1）求证：．

（2）若，，求BD．

3、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

任务：

如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

4、问题：如图，是的直径，点在内，请仅用无刻度的直尺，作出中边上的高.

小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．

作法：如图，

①延长交于点，延长交于点；

②分别连接，并延长相交于点；

③连接并延长交于点．

所以线段即为中边上的高．

（1）根据小芸的作法，补全图形；

（2）完成下面的证明．

证明：∵是的直径，点，在上，

∴________°．（______）（填推理的依据）

∴，．

∴，________是的两条高线．

∵，所在直线交于点，

∴直线也是的高所在直线．

∴是中边上的高．

5、解题与遐想．

如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．

王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…

赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了…

数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？

霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？

计算验证

（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．

拼图演绎

（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．

尺规作图

（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．

【详解】

解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．

2、C

【分析】

根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．

【详解】

解：A、是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、是中心对称图形，故B选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故C选项符合题意；

D、是中心对称图形，故D选项不合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．

3、D

【分析】

根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．

【详解】

解：设AB与CD交于点E，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，

∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∴∠OCE=30°，

∴，

∴，

又∵，即

∴，

在△OCE和△BDE中，

，

∴△OCE≌△BDE（AAS），

∴

∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，

故选D．

【点睛】

本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．

4、C

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

5、C

【详解】

解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；

选项B不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；

选项C既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；

选项D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后能与自身重合.

6、C

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；

D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

7、A

【分析】

根据旋转的性质求解再利用三角形的内角和定理求解再利用角的和差关系可得答案.

【详解】

解： 将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，

∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，

故选A

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.

8、C

【分析】

过点A作AC⊥x轴于点C，设 ，则 ，根据勾股定理，可得，从而得到 ，进而得到∴ ，可得到点 ，再根据旋转的性质，即可求解．

【详解】

解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，

设 ，则 ，

∵ ，，

∴，

∵， ，

∴ ，

解得： ，

∴ ，

∴ ，

∴点 ，

∴将绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是，

∴将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是．

故选：C

【点睛】

本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点A的坐标，属于中考常考题型．

9、A

【分析】

先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得．

【详解】

由旋转的性质得：，

，

是等边三角形，

，

，

．

故选：A．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．

10、A

【分析】

设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．

【详解】

设原来扇形的半径为r，圆心角为n，

∴原来扇形的面积为，

∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，

∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，

∴变化后的扇形的面积为，

∴扇形的面积不变．

故选：A．

【点睛】

本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键．

二、填空题

1、9.3

【分析】

根据弧长公式进行计算即可，

【详解】

解：粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°，底面半径为6 cm，

cm，

故答案为：

【点睛】

本题考查了弧长公式，牢记弧长公式是解题的关键．

2、②④

【分析】

将所给四个条件逐一判断即可得出结论．

【详解】

解：在中，

①当∠BAC > 60°时，若时，点E与点A重合，不符合题意，故①不满足；

②当∠ABC时，点E与点A重合，不符合题意，当∠ABC时，点E与点O不关于AD对称，当时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，

所以，当45° < ∠ABC < 60°时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故②满足条件；

③当时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故③不满足条件；

④当AB < DE < AB时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故④满足条件；

所以，要使得与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是45° < ∠ABC < 60°或AB < DE < AB

故答案为②④

【点睛】

本题考查了圆周角定理，正确判断出每种情况是解答本题的关键．

3、8

【分析】

根据一次函数解析式可得：，，过点B作轴，过点A作，过点Q作，由旋转的性质可得，，依据全等三角形的判定定理及性质可得：≅，，，即可确定点Q的坐标，然后利用勾股定理得出OQ的长度，最后考虑在什么情况下取得最小值即可．

【详解】

解：函数得：，，过点B作轴，过点A作，过点Q作，连接OQ，如图所示：

将线段BA绕点B逆时针旋转得到线段BQ，

∴，，

∴

∴，

在与中，

，

∴≅，

∴，，

点Q的坐标为，

∴

当或时，取得最小值为8，

故答案为：8．

【点睛】

题目主要考查一次函数与几何的综合问题，包括与坐标轴的交点，旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出相应图形是解题关键．

4、35°

【分析】

根据旋转的性质可得∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，再求出∠BOD，∠ADO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

【详解】

解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，

∴∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，

∵∠AOC＝100°，

∴∠BOD＝100°−30°×2＝40°，

∠ADO＝∠A＝（180°−∠AOD）＝（180°−30°）＝75°，

由三角形的外角性质得，∠B＝∠ADO−∠BOD＝75°−40°＝35°．

故答案为：35°．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

5、140

【分析】

作的外接圆，根据三角形内心的性质可得：，，再由三角形内角和定理得出：，最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得．

【详解】

解：如图所示，作的外接圆，

∵点I是的内心，

∴BI，CI分别平分和，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵点O是的外心，

∴，

故答案为：140．

【点睛】

题目主要考查三角形内心与外心的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键．

三、解答题

1、（1）①B和C；②或；（2）或

【分析】

（1）①分别找出点A，B，C到线段ON的最小值和最大值，是否满足“二分点”定义即可；

②对a的取值分情况讨论：、、和，根据“二分点”的定义可求解；

（2）设线段AN上存在的“二分点”为，对的取值分情况讨论、，、，和，根据“二分点”的定义可求解．

【详解】

（1）①

∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，

点B到ON的最小值为，最大值为，

∴点B是线段ON的“二分点”，

点C到ON的最小值为1，最大值为，

∴点C是线段ON的“二分点”，

故答案为：B和C；

②若时，如图所示：

点C到OD的最小值为，最大值为，

∵点C为线段OD的“二分点”，

∴，

解得：；

若，如图所示：

点C到OD的最小值为1，最大值为，满足题意；

若时，如图所示：

点C到OD的最小值为1，最大值为，

∵点C为线段OD的“二分点”，

∴，

解得：（舍）；

若时，如图所示：

点C到OD的最小值为，最大值为，

∵点C为线段OD的“二分点”，

∴，

解得：或（舍），

综上所得：a的取值范围为或；

（2）

如图所示，设线段AN上存在的“二分点”为，

当时，最小值为：，最大值为：，

∴，即，

∵，

∴

∴；

当，时，最小值为：，最大值为：，

∴∴，即，

∵，

∴，

∵，

∴不存在；

当，时，最小值为：，最大值为：，

∴，即，

∴，

∵，

∴不存在；

当时，最小值为：，最大值为：，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

综上所述，r的取值范围为或．

【点睛】

本题考查坐标上的两点距离，解一元二次方程解不等式以及点到圆的距离求最值，根据题目所给条件，掌握“二分点”的定义是解题的关键．

2、（1）见详解；（2）

【分析】

（1）由题意及垂径定理可知AC垂直平分BD，进而问题可求解；

（2）由题意易得，然后由（1）可知△ABD是等边三角形，进而问题可求解．

【详解】

（1）证明：∵AC是直径，点C是劣弧BD的中点，

∴AC垂直平分BD，

∴；

（2）解：∵，，

∴，

∵，

∴△ABD是等边三角形，

∵，

∴．

【点睛】

本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．

3、成立，证明见解析

【分析】

根据阅读材料将△ADF旋转120°再证全等即可求得EF= BE+DF ．

【详解】

解：成立．

证明：将绕点顺时针旋转，得到，

，，，，，

，、、三点共线，

．

，，，

，

．

【点睛】

本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键．

4、（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD．

【分析】

（1）根据作图步骤作出图形即可；

（2）根据题意填空，即可求解．

【详解】

解：（1）如图，CH为△ABC中AB边上的高；

（2）证明：∵是的直径，点，在上，

∴___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据）

∴，．

∴，_BD__是的两条高线．

∵，所在直线交于点，

∴直线也是的高所在直线．

∴是中边上的高．

故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．

【点睛】

本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．

5、（1）S△ABC＝20；（2）见解析；（3）见解析．

【分析】

（1）设⊙O的半径为r，由切线长定理得，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，CE＝CF＝r，由勾股定理得，（r+4）2+（r+5）2＝92，进而求得结果；

（2）根据切线长定理可证明甲和乙两个三角形全等，丙丁两个三角形全等，故将甲乙图形放在OE为边的上方，将丙丁以OP为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；

（3）可先计算∠AFB＝135°，根据“定弦对定角”作F点的轨迹，根据切线性质，过点F作AB的垂线，再根据直径所对的圆周角是90°，确定点C．

【详解】

解：（1）如图1，

设⊙O的半径为r，

连接OE，OF，

∵⊙O内切于△ABC，

∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，

∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，

∴四边形ECFO是矩形，

∴CF＝OE＝r，CE＝OF＝r，

∴AC＝4+r，BC＝5+r，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

（r+4）2+（r+5）2＝92，

∴r2+9r＝20，

∴S△ABC＝

＝

＝

＝

＝20；

（2）

如图2，

（3）设△ABC的内切圆记作⊙F，

∴AF和BF平分∠BAC和∠ABC，FD⊥AB，

∴∠BAF＝∠CAB，∠ABF＝，

∴∠BAF+∠ABF＝（∠BAC+∠ABC）＝＝45°，

∴∠AFB＝135°，

可以按以下步骤作图（如图3）：

①以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E，

②以E为圆心，AE为半径作圆，

③过点D作AB的垂线，交圆于F，

④连接EF并延长交圆于C，连接AC，BC，

则△ABC就是求作的三角形．

【点睛】

本题考查三角形的内切圆性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质、尺规作图-作垂线，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．