沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试一课一练

沪科版九年级数学下册第24章圆专项练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，ABCD是正方形，△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，那么△CEF是（　　）

A．.等腰三角形 B．等边三角形

C．.直角三角形 D．.等腰直角三角形

2、如图，，，，都是上的点，，垂足为，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

3、平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

4、将等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，那么n的最小值是（      ）

A．60 B．90 C．120 D．180

5、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

6、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（   ）

A．3 B．2 C．1 D．

7、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC=130°，则∠AOC的度数为（    ）

A．25° B．80° C．130° D．100°

8、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（　　）

A．5 B． C． D．

9、如图，为正六边形边上一动点，点从点出发，沿六边形的边以1cm/s的速度按逆时针方向运动，运动到点停止．设点的运动时间为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图像能大致反映与的函数关系的是（    ）

A． B．

C． D．

10、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C．  D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．

2、AB是的直径，点C在上，，点P在线段OB上运动．设，则x的取值范围是________．

3、如图，将Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与零刻度线的一端重合，∠ABC＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ___．

4、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．

5、小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中．为区别口味，他打算制作“** 饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6 cm，则标签长度l应为_______ cm．（π取3.1）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC

求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC

作法：①以点A为圆心， AB长为半径画圆；

②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；

③连接DA并延长交⊙A于点P

点P即为所求

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明

证明：连接PC，BD

∵AB＝AC，

∴点C在⊙A上

∵BC＝BD，

∴∠_________＝∠_________

∴∠BAC＝∠CAD

∵点D，P在⊙A上，

∴∠CPD＝∠CAD（______________________） （填推理的依据）

∴∠APC＝∠BAC

2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（与A、B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE、BE

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）若BE=5，DE=13，求AB的长

3、如图 1，O为直线 DE上一点，过点 O在直线 DE上方作射线 OC，∠EOC=130°．将直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条边 OA在射线 OD上，另一边 OB在直线 DE上方，将直角三角板绕点 O 按每秒 5°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t 秒．

（1）如图2，当t=4 时，∠AOC=     ，∠BOE=     ，∠BOE﹣∠AOC=     ；

（2）当三角板旋转至边 AB与射线 OE相交时（如图 3），试猜想∠AOC与∠BOE的数量关系，并说明理由；

（3）在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线 OA、OC、OD 中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出 t 的取值，若不存在，请说明理由．

4、如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．

5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．

（1）求证：．

（2）若，，求BD．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据旋转的性质推出相等的边CE＝CF，旋转角推出∠ECF＝90°，即可得到△CEF为等腰直角三角形．

【详解】

解：∵△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，

∴∠ECF＝90°，CE＝CF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质，掌握图形旋转前后的大小和形状不变是解决问题的关键．

2、B

【分析】

连接OC．根据确定，，进而计算出，根据圆心角的性质求出，最后根据圆周角的性质即可求出．

【详解】

解：如下图所示，连接OC．

∵，

∴，．

∴．

∵．

∴．

∴

∵和分别是所对的圆周角和圆心角，

∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．

3、B

【分析】

根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．

【详解】

解：平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是

故选B

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．

4、C

【分析】

根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．

【详解】

解：等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是=120°．

故选C．

【点睛】

本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．

5、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

6、B

【分析】

连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．

【详解】

解：连接OC，如图

∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．

7、D

【分析】

根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠B+∠ADC=180°，

∵∠ADC=130°，

∴∠B=50°，

由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

8、D

【分析】

连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分，OC平分，利用平行线的性质及角之间的关系得出，利用勾股定理得出，再由三角形的等面积法即可得．

【详解】

解：连接OF，OE，OG，

∵AB、BC、CD分别与相切，

∴，，，且，

∴OB平分，OC平分，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

9、A

【分析】

设正六边形的边长为1，当在上时，过作于 而 求解此时的函数解析式，当在上时，延长交于点 过作于 并求解此时的函数解析式，当在上时，连接 并求解此时的函数解析式，由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，在上的图象与在上的图象是对称的，从而可得答案.

【详解】

解：设正六边形的边长为1，当在上时，

过作于 而

当在上时，延长交于点 过作于

同理：

则为等边三角形，

当在上时，连接

由正六边形的性质可得：

由正六边形的对称性可得： 而

由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，

在上的图象与在上的图象是对称的，

所以符合题意的是A，

故选A

【点睛】

本题考查的是动点问题的函数图象，锐角三角函数的应用，正多边形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.

10、B

【详解】

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

二、填空题

1、##

【分析】

延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．

【详解】

解：延长AG交CD于M，如图1，

∵ABCD是正方形，

∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC，

∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG，

∴△ADG≌△DGC，

∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC，

∴△ADM≌△CDF，

∴FD=DM且AE=DF，

∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°，

∴△ABE≌△DAM，

∴∠DAM=∠ABE，

∵∠DAM+∠BAM=90°，

∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，

∴点H是以AB为直径的圆上一点．

如图2，取AB中点O，连接OD，OH，

∵AB=AD=2，O是AB中点，

∴AO=1=OH，

在Rt△AOD中，OD=，

∵DH≥OD-OH，

∴DH≥-1，

∴DH的最小值为-1，

故答案为：-1．

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．

2、

【分析】

分别求出当点P与点O重合时，当点P与点B重合时x的值，即可得到取值范围．

【详解】

解：当点P与点O重合时，

∵OA=OC，

∴，即；

当点P与点B重合时，

∵AB是的直径，

∴，

∴x的取值范围是．

【点睛】

此题考查了同圆中半径相等的性质，直径所对的圆周角是直角的性质，正确理解点P的运动位置是解题的关键．

3、76°或142°

【分析】

设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD=2∠BCD，根据等腰三角形的性质分BC为底边和BC为腰求∠BCD的度数即可．

【详解】

解：设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，

∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，

∴A、C、B、D四点共圆，圆心为点O，

∴∠BOD=2∠BCD，

①若BC为等腰三角形的底边时，如图射线CD1，则∠BCD1=∠ABC=38°，

连接OD1，则∠BOD1=2∠BCD1=76°；

②若BC为等腰三角形的腰时，

当∠ABC为顶角时，如图射线CD2，则∠BCD2=（180°-∠ABC）÷2=71°，

连接OD2，则∠BOD2=2∠BCD2=142°，

当∠ABC为底角时，∠BCD=180°-2∠ABC=104°，不符合题意，舍去，

综上，点D在量角器上对应的度数是76°或142°，

故答案为：76°或142°．

【点睛】

本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．

4、在⊙A上

【分析】

先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．

【详解】

解：∵点A的坐标为（4，3），

∴OA==5，

∵半径为5，

∴OA=r，

∴点O在⊙A上．

故答案为：在⊙A上．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．

5、9.3

【分析】

根据弧长公式进行计算即可，

【详解】

解：粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°，底面半径为6 cm，

cm，

故答案为：

【点睛】

本题考查了弧长公式，牢记弧长公式是解题的关键．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半

【分析】

（1）根据按步骤作图即可；

（2）根据圆周角定理进行证明即可

【详解】

解：（1）如图所示，

（2）证明：连接PC，BD

∵AB＝AC，

∴点C在⊙A上

∵BC＝BD，

∴∠BAC=∠BAD

∴∠BAC＝∠CAD

∵点D，P在⊙A上，

∴∠CPD＝∠CAD（圆周角定理） （填推理的依据）

∴∠APC＝∠BAC

故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半

【点睛】

本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．

2、（1）见解析；（2）17

【分析】

（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE；

（2）由∠ACB＝90°，AC＝BC，可得∠CAB＝∠CBA＝45°，再由△ACD≌△BCE，得到BE＝AD=5，∠CBE＝∠CAD＝45°，则∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，然后利用勾股定理求出BD的长即可得到答案．

【详解】

解：（1）证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，

∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，

∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵△ACD≌△BCE，

∴BE＝AD=5，∠CBE＝∠CAD＝45°，

∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，

∴，

∴AB=AD+BD=17．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

3、

（1）30°，70°，40°；

（2）∠AOC－∠BOE=40°，理由见解析；

（3）t 的取值为5或20或62

【分析】

（1）先根据已知求出∠DOC、∠BOC，再求出当t=4时的旋转角的度数，再利用角的和与差求解即可；

（2）设旋转角为x，用x表示∠AOC和∠BOE，即可得出结论；

（3）分①OA为∠DOC的平分线；②OC为∠DOA的平分线；③OD为∠COA的平分线三种情况，利用角平分线定义和旋转性质求出旋转角即可．

（1）

解：∵∠EOC=130°，∠AOB=∠BOE=90°，

∴∠DOC=180°－130°=50°，∠BOC=130°－90°=40°，

当t=4时，旋转角4×5°=20°，

∴∠AOC=∠DOC－∠DOA=50°－20°=30°，∠BOE=90°－20°=70°，

∠BOE－∠AOC=70°－30°=40°，

故答案为：30°，70°，40°；

（2）

解：∠AOC－∠BOE=40°，理由为：

设旋转角为x，当三角板旋转至边 AB与射线 OE相交时，

∠AOC=x－50°，∠BOE=x－90°，

∴∠AOC－∠BOE=（x－50°）－（x－90°）=40°；

（3）

解：存在，

①当OA为∠DOC的平分线时，旋转角5t =∠DOC=25，

∴t=5；

②当OC为∠DOA的平分线时，旋转角5t =2∠DOC=100，

∴t=20；

③当OD为∠COA的平分线时，360－5t=∠DOC=50，

∴t=62，

综上，满足条件的t 的取值为5或20或62．

【点睛】

本题考查角平分线的定义、旋转的性质、角的运算，熟练掌握旋转性质，利用分类讨论思想求解是解答的关键．

4、

（1）见解析

（2）

【分析】

（1）连接，由圆周角定理得出，得出，再由，得出，证出，即可得出结论；

（2）证明，得出对应边成比例，即可求出的长．

（1）

证明：连接，如图所示：

是的直径，

，

，

，

，

，

，

即，

是的切线；

（2）

解：的半径为，

，，

，

，

，

，

，

又，

，

，

即，

．

【点睛】

本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定．

5、（1）见详解；（2）

【分析】

（1）由题意及垂径定理可知AC垂直平分BD，进而问题可求解；

（2）由题意易得，然后由（1）可知△ABD是等边三角形，进而问题可求解．

【详解】

（1）证明：∵AC是直径，点C是劣弧BD的中点，

∴AC垂直平分BD，

∴；

（2）解：∵，，

∴，

∵，

∴△ABD是等边三角形，

∵，

∴．

【点睛】

本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．