沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步达标检测题

这是一份沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步达标检测题，共36页。
沪科版九年级数学下册第24章圆章节测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列叙述正确的有( )个.
（1）随着的增大而增大；
（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；
（3）斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；
（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；
（5）以为三边长度的三角形，不是直角三角形．
A．0 B．1 C．2 D．3
2、在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（ ）

A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
3、如图，AB为的直径，，，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）

A． B． C．3 D．
4、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（ ）

A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上三种都不对
5、如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6、如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′AB，则旋转角的度数为（ ）

A．64° B．52° C．42° D．36°
7、如图，为的直径，为外一点，过作的切线，切点为，连接交于，，点在右侧的半圆周上运动（不与，重合），则的大小是（ ）

A．19° B．38° C．52° D．76°
8、如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
9、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
10、如图，在Rt△ABC中，，，，以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ．

2、一个直角三角形的斜边长cm，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形外接圆的半径为______cm，直角三角形的面积是________．
3、将点绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点，当点恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为________．
4、如图，在矩形中，，，F为中点，P是线段上一点，设，连结并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段，连结、，则在点P从点B向点C的运动过程中，有下面四个结论：①当时，；②点E到边的距离为m；③直线一定经过点；④的最小值为．其中结论正确的是______．（填序号即可）

5、为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为______cm．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，已知是的直径，是的切线，C为切点，交于点E，，，平分．

（1）求证：；
（2）求、的长．
2、如图，是⊙的直径，弦，垂足为E，弦与弦相交于点G，且，过点C作的垂线交的延长线于点H．

（1）判断与⊙的位置关系并说明理由；
（2）若，求弧的长．
3、在平面直角坐标系xOy中，旋转角满足，对图形M与图形N给出如下定义：将图形M绕原点逆时针旋转得到图形．P为图形上任意一点，Q为图形N上的任意一点，称PQ长度的最小值为图形M与图形N的“转后距”．已知点，点，点．
（1）当时，记线段OA为图形M．
①画出图形；
②若点C为图形N，则“转后距”为______；
③若线段AC为图形N，求“转后距”；

（2）已知点，点，记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角，“转后距”大于1，直接写出t的取值范围．
4、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.
已知：⊙O.
求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.

作法：如图，

①作直径AB；
②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点；
③作直线MO交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.
根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接MA，MB．
∵MA=MB，OA=OB，
∴MO是AB的垂直平分线．
∴AC= ．
∵AB是直径,
∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ．
∴△ABC是等腰直角三角形．
5、阅读下列材料，完成相应任务：如图①，是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，平分交⊙O于点，连接，过点作⊙O的切线，交的延长线于点．则．下面是证明的部分过程：

证明：如图②，连接，
是⊙O的直径，，
①________．（1）
为⊙O的切线，，
，（2）
由（1）（2）得，②________________．
平分．
，
③________，
．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，补全证明过程：①________，②________，③________；
（2）若，求的长．

-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
根据反比例函数的性质，得当或者时，随着的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．
【详解】
当或者时，随着的增大而增大，故（1）不正确；
如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；，故（2）正确；
∵圆的直径所对的圆周角为直角
∴斜边为的直角三角形顶点A的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆，故（3）正确；
三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确；
∵
∴
∴以为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．
2、B
【分析】
根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系
【详解】
解：连接,

，点O为AB中点．

CO为⊙C的半径，
是的切线，
⊙C 与AB的位置关系是相切
故选B
【点睛】
本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．
3、D
【分析】
连接，根据求得半径，进而根据的长，勾股定理的逆定理证明，根据弧长关系可得，即可证明是等边三角形，求得，进而由勾股定理即可求得
【详解】
如图，连接，



，

是直角三角形，且




是等边三角形

是直径，


故选D
【点睛】
本题考查了弧与圆心角的关系，直径所对的圆周角是90度，勾股定理，等边三角形的判定，求得的长是解题的关键．
4、C
【详解】
解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，
故选：C．
【点睛】
本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．
5、D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6、B
【分析】
先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．
【详解】
解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=64°
∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C=64°，
∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=180°-2×64°=52°，
∴旋转角为52°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
7、B
【分析】
连接 由为的直径，求解 结合为的切线，求解 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解：连接 为的直径，




为的切线，


故选B
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.
8、A
【分析】
先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】
由旋转的性质得：，
，
是等边三角形，
，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
9、B
【分析】
由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．
【详解】
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴，，
∴在和中，，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】
本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．
10、A
【分析】
连结OC，根据切线长性质DC=AC，OC平分∠ACD，求出∠OCD=∠OCA==30°，利用在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，利用三角形面积公式求出，，再求出扇形面积，利用割补法求即可．
【详解】
解：连结OC，
∵以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点A, ，
∴DC=AC，OC平分∠ACD，
∵，，
∴∠ACD=90°-∠B=60°，
∴∠OCD=∠OCA==30°，
在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，
∴OD=OA=1，DC=AC=，
∴，，
∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，
∴，
S阴影=．
故选择A．

【点睛】
本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．
二、填空题
1、∠ABC
【分析】
根据圆内接四边形的性质可得，再由题意可得，由等式的性质即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于圆，
∴，
∵E为CD延长线上一点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．
2、 4
【分析】
设一直角边长为x，另一直角边长为（6-x）根据勾股定理，解一元二次方程求出，根据这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，可求外接圆的半径为cm，利用三角形面积公式求即可．
【详解】
解：设一直角边长为x，另一直角边长为（6-x），
∵三角形是直角三角形，
∴根据勾股定理，
整理得：，
解得，
这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，
∴外接圆的半径为cm，
三角形面积为．
故答案为；．
【点睛】
本题考查直角三角形的外接圆，直角所对弦性质，勾股定理，一元二次方程，三角形面积，掌握以上知识是解题关键．
3、或
【分析】
设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，由全等三角形求出点坐标，由点在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G的坐标．
【详解】
设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，
如图所示：

∵，
∴，，
∵点A绕点G顺时针旋转90°后得到点，
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：或，
∴或．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．
4、②③④
【分析】
①当在点的右边时，得出即可判断；
②证明出即可判断；
③根据为等腰直角三角形，得出都是等腰直角三角形，得到即可判断；
④当时，有最小值，计算即可．
【详解】
解：，
为等腰直角三角形，
，
当在点的左边时，
，
当在点的右边时，
，
故①错误；
过点作，

在和中，
根据旋转的性质得：，
，
，
，
，
故②正确；
由①中得知为等腰直角三角形，
，
也是等腰直角三角形，
过点，
不管P在上怎么运动，
得到都是等腰直角三角形，
，
即直线一定经过点，
故③正确；
是等腰直角三角形，
当时，有最小值，

，
为等腰直角三角形，
，
，
由勾股定理：
，
，
故④正确；
故答案是：②③④．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．
5、
【分析】
如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．
【详解】
解：如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，
则OD⊥MN，
∴MD=DN，
在Rt△ODM中，OM=180cm，OD=60cm，
∴cm，
∴cm，
即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为cm，
故答案为：．

【点睛】
本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．
三、解答题
1、（1）90°；（2）AC=，DE=1
【分析】
（1）如图，，可知．
（2），可求出的长；，，可求出的长．
【详解】
解（1）证明如图所示，连接，，

是直径，是的切线，平分
∴，
∴
∴．
（2）解∵，
∴
∴，
∴．
在中
∵，
∴
∴，

∴．
【点睛】
本题考查了角平分线、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定等知识点．解题的关键在于判定三角形相似．
2、
（1）相切，见解析
（2）
【分析】
（1）连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，根据AG＝CG，CD⊥AB，可得，从而OC⊥AF，再由∠AFB＝90°，可得CH∥AF，即可求证；
（2）先证明四边形CMFH为矩形，可得OC⊥AF，CM＝HF＝2，从而得到AM＝FM，进而得到OM＝BF＝2，可得到CM＝OM，进而得到 OC=4，AM垂直平分OC，可证得△AOC为等边三角形，即可求解．
（1）
解： CH与⊙O相切．
理由如下：如图，连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，

∵AG＝CG，
∴∠ACG＝∠CAG，
∴，
∵CD⊥AB，
∴，
∴，
∴OC⊥AF，
∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，
∵BH⊥CH，
∴CH∥AF，
∴OC⊥CH，
∵OC为半径，
∴CH为⊙O的切线；
（2）
解：由（1）得：BH⊥CH，OC⊥CH，
∴OC∥BH，
∵CH∥AF，
∴四边形CMFH为平行四边形，
∵OC⊥CH，
∴∠OCH=90°，
∴四边形CMFH为矩形，
∴OC⊥AF，CM＝HF＝2，
∴AM＝FM，
∵点O为AB的中点，
∴OM＝BF＝2，
∴CM=OM，
∴OC=4，AM垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而AO＝OC，
∴AC＝OC＝OA，,
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵，
∴∠AOD＝∠AOC＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴弧CD的长度为．
【点睛】
本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
3、（1）①OA′，图形见详解；②2；③ “转后距”为；（2）t的取值范围为t＜-5或0＜t＜2或．
【分析】
（1）①当时，记线段OA为图形M．图形M绕原点逆时针旋转90°得到图形即OA′．
②∵点C为图形N，求出OC=2最短距离；
③过点O作OF⊥AC于F，先证△OAC为等边三角形，OF⊥AC，根据勾股定理求出OF=即可；
（2）点，点，可求tan∠OPQ=，得出当点P在x轴负半轴时，∠OPQ=120°，当点P在x轴正半轴时，∠OPQ=60°，得出∠CAB=∠ABC=30°，分三种情况，当°，当点P在点B右边，PB=t-4，BD＞1，列不等式，解得，当点P在点B左边B′右边时，∠EPB=∠OPQ=60°，PB=2PE＞2×1即4-t＞2解得t＜2，当t=0时，OA′=2，A′Q=2-1=1，t＞0，当点P在B′左边，PB′＞1，OB′=OB=4，t＜-5即可．
【详解】
解：（1）①当时，记线段OA为图形M．图形M绕原点逆时针旋转90°得到图形即OA′；
②∵点C为图形N，OC=2为图形M与图形N的“转后距”，
∴“转后距”为2，
故答案为2；
③线段AC为图形N，
过点O作OF⊥AC于F，
根据勾股定理OA=，AC=，
∴OA=AC=OC=2，
∴△OAC为等边三角形，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF=1，
∴OF=，
∴“转后距”为；

（2）∵点，点，
∴tan∠OPQ=，
∴当点P在x轴负半轴时，∠OPQ=120°，当点P在x轴正半轴时，∠OPQ=60°，
∵CB=4-2=2=AC，∠ACO=60°，
∴∠CAB=∠ABC=30°，
分三种情况，
当°，当点P在点B右边，PB=t-4，BD＞1，
∴BPsin60＞1，
∴，
解得；

当点P在点B左边B′右边时，∠EPB=∠OPQ=60°，
∴∠OEB=180°-∠EPB-∠ABC=180°-60°-30°=90°，
∵PB=4-t，
∴PB=2PE＞2×1即4-t＞2，
解得t＜2，
当t=0时，点P与原点O重合，OA′=2，A′Q=2-1=1，
∴t＞0，
∴0＜t＜2；

当点P在B′左边，PB′＞1，OB′=OB=4，
∴t＜-5；

综合t的取值范围为t＜-5或0＜t＜2或．
【点睛】
本题考查图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理，掌握图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理是解题关键．
4、（1）见解析；（2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角
【分析】
（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D；连结AC、BC即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可．
【详解】
（1）①作直径AB；
②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点；
③作直线MO交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.

（2）证明：连接MA，MB．
∵MA=MB，OA=OB，
∴MO是AB的垂直平分线．
∴AC=BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角) ．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：BC，90°，直径所对的圆周角是直角．
【点睛】
本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键．
5、（1），，；（2）
【分析】
（1）由是⊙O的直径，得到∠ODB．再由为⊙O的切线，得到，即可推出∠ODA=∠BDE，由角平分线的定义可得，由，得到，即可证明；
（2）在直角△ODE中利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）如图②，连接，
是⊙O的直径，
，
∠ODB．（1）
为⊙O的切线，
，
，（2）
由（1）（2）得，∠ODA=∠BDE．
平分，
∴．
，

∠ODA，
．

故答案为：① ，② ，③ ；
（2）为的切线，
．
，
，
，
．
在中，
．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质．