初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试随堂练习题

这是一份初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试随堂练习题，共32页。
沪科版九年级数学下册第24章圆定向测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，CD是的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点．
（2）作直线GH交AB于点E．
（3）在直线GH上截取．
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（ ）

A． B． C． D．
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上，此时得到△EDC，斜边DE交AC边于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．3 B．1 C． D．
3、如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ）

A．100° B．50° C．40° D．25°
4、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5、如图，在Rt△ABC中，，，，以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
6、的边经过圆心，与圆相切于点，若，则的大小等于（ ）

A． B． C． D．
7、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8、如图图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9、如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
10、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）

A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如果点与点B关于原点对称，那么点B的坐标是______．
2、如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于6，那么这个扇形的面积等于_____．
3、如图，是由绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为100°，则的度数是______．

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的半圆O上有一动点B，点，为等腰直角三角形，A为直角顶点，且C在第一象限，则线段OC长度的最大值为______．

5、如图，将Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与零刻度线的一端重合，∠ABC＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知，P是直线AB上一动点（不与A，B重合），以P为直角顶点作等腰直角三角形PBD，点E是直线AD与△PBD的外接圆除点D以外的另一个交点，直线BE与直线PD相交于点F．
（1）如图，当点P在线段AB上运动时，若∠DBE＝30°，PB＝2，求DE的长；

（2）当点P在射线AB上运动时，试探求线段AB，PB，PF之间的数量关系，并给出证明．
2、如图 1，O为直线 DE上一点，过点 O在直线 DE上方作射线 OC，∠EOC=130°．将直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条边 OA在射线 OD上，另一边 OB在直线 DE上方，将直角三角板绕点 O 按每秒 5°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t 秒．

（1）如图2，当t=4 时，∠AOC= ，∠BOE= ，∠BOE﹣∠AOC= ；
（2）当三角板旋转至边 AB与射线 OE相交时（如图 3），试猜想∠AOC与∠BOE的数量关系，并说明理由；
（3）在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线 OA、OC、OD 中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出 t 的取值，若不存在，请说明理由．
3、如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．

4、如图，抛物线y＝－＋x＋2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；
（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．

5、新定义：如图①，已知，在内部画射线OC，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）

（阅读理解）（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
（初步应用）（2）如图①，，射线OC为的“幸运线”，则的度数为______；（直接写出答案）
（解决问题）
（3）如图②，已知，射线OM从OA出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点顺时针旋转，设运动的时间为t秒．若OM、ON、OB三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t的值．
（实际运用）
（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？

-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，再根据可得∠AFE=45°，进而得出∠AFB＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．
【详解】
解：连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，
∴，故A正确；
∵CD是的高，
∴，故B正确；
∵，，
∴，故C错误；
∵，
∴∠AFE=45°，
同理可得∠BFE=45°，
∴∠AFB＝90°，
，故D正确；
故选：C．

【点睛】
本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．
2、D
【分析】
根据题意及旋转的性质可得是等边三角形，则，，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得，由勾股定理即可求得，进而求得阴影部分的面积．
【详解】
解：如图，设与相交于点，

，，
，
旋转，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为
故选D
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，利用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
3、C
【分析】
先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】
∵∠ACB=50°，
∴∠AOB=100°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA= 40°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4、B
【详解】
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5、A
【分析】
连结OC，根据切线长性质DC=AC，OC平分∠ACD，求出∠OCD=∠OCA==30°，利用在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，利用三角形面积公式求出，，再求出扇形面积，利用割补法求即可．
【详解】
解：连结OC，
∵以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点A, ，
∴DC=AC，OC平分∠ACD，
∵，，
∴∠ACD=90°-∠B=60°，
∴∠OCD=∠OCA==30°，
在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，
∴OD=OA=1，DC=AC=，
∴，，
∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，
∴，
S阴影=．
故选择A．

【点睛】
本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．
6、A
【分析】
连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】
解：连接，

，
，
与圆相切于点，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7、B
【分析】
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
8、C
【分析】
根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．
【详解】
解：A、是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．
9、D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
10、C
【分析】
连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．
【详解】
解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：

则，
的直径为，
，
在中，，
，
即水的最大深度为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题
1、
【分析】
关于原点对称的点坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；进而求出点B坐标．
【详解】
解：由题意知点B横坐标为；纵坐标为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标知识．解题的关键在于熟练记忆关于原点对称的点坐标中相对应的坐标互为相反数．
2、2
【分析】
根据扇形的面积公式S＝，代入计算即可．
【详解】
解：∵“完美扇形”的周长等于6，
∴半径r为＝2，弧长l为2，
这个扇形的面积为：＝＝2．
答案为：2．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，扇形面积公式与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底，R看成底边上的高即可．
3、35°
【分析】
根据旋转的性质可得∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，再求出∠BOD，∠ADO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，
∴∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，
∵∠AOC＝100°，
∴∠BOD＝100°−30°×2＝40°，
∠ADO＝∠A＝（180°−∠AOD）＝（180°−30°）＝75°，
由三角形的外角性质得，∠B＝∠ADO−∠BOD＝75°−40°＝35°．
故答案为：35°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
4、1+
【分析】
过点C作CD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连结OB，设OD=x，根据点A（3，0）可求AD=x-3，根据为等腰直角三角形，得出AB=AC，∠BAC=90°，再证△BAE≌△ACD（AAS），得出BE=AD=x-3,EA=DC，在Rt△EBO中，根据勾股定理，
得出CD=AE=，根据勾股定理CO=，当OD=CD时OC最大，OC=此时解方程即可．
【详解】
解：过点C作CD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连结OB，设OD=x，
∵点A（3，0）
∴AD=x-3，
∵为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAD=180°-∠BAC=180°-90°=90°，
∵CD⊥x轴， BE⊥x轴，
∴∠BEA=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠BAE，
在△BAE和△ACD中，
，
∴△BAE≌△ACD（AAS），
∴BE=AD=x-3,EA=DC，
在Rt△EBO中，OB=1，BE= x-3，
根据勾股定理，
∴EA=OE+OA=，
∴CD=AE=，
∴CO=，
当OD=CD时OC最大，OC=，此时，
∴，
∴，
∴，
∴，（舍去），
∴线段OC长度的最大值为．

故答案为：1+．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理是解题关键．
5、76°或142°
【分析】
设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD=2∠BCD，根据等腰三角形的性质分BC为底边和BC为腰求∠BCD的度数即可．
【详解】
解：设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，
∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
∴A、C、B、D四点共圆，圆心为点O，
∴∠BOD=2∠BCD，
①若BC为等腰三角形的底边时，如图射线CD1，则∠BCD1=∠ABC=38°，
连接OD1，则∠BOD1=2∠BCD1=76°；
②若BC为等腰三角形的腰时，
当∠ABC为顶角时，如图射线CD2，则∠BCD2=（180°-∠ABC）÷2=71°，
连接OD2，则∠BOD2=2∠BCD2=142°，
当∠ABC为底角时，∠BCD=180°-2∠ABC=104°，不符合题意，舍去，
综上，点D在量角器上对应的度数是76°或142°，
故答案为：76°或142°．

【点睛】
本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
三、解答题
1、（1） （2）PF=AB-PB或PF=AB+PB，理由见解析
【分析】
（1）根据△PBD等腰直角三角形，PB＝2，求出DB的长，由⊙O是△PBD的外接圆，∠DBE＝30°，可得答案；
（2）根据同弧所对的圆周角，可得∠ADP=∠FBP，由△PBD等腰直角三角形，得∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，可证△APD≌△FPB，可得答案．
【详解】
解：（1）由题意画以下图，连接EP，

∵△PBD等腰直角三角形，⊙O是△PBD的外接圆，
∴∠DPB=∠DEB=90°，
∵PB＝2，
∴ ，
∵∠DBE＝30°，
∴
（2）①点P在点A、B之间，
由（1）的图根据同弧所对的圆周角相等，可得：
∠ADP=∠FBP，
又∵△PBD等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，
在△APD和△FPB中

∴△APD≌△FPB
∴AP=FP，
∵AP+PB=AB
∴FP+PB=AB，
∴FP=AB-PB，
②点P在点B的右侧，如下图：

∵△PBD等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠APF=90°，DP=BP，
∵∠PBF+∠EBP=180°，∠PDA+∠EBP=180°，
∴∠PBF=∠PDA，
在△APD和△FPB中

∴△APD≌△FPB
∴AP=FP，
∴AB+PB=AP，
∴AB+PB=PF，
∴PF= AB+PB．
综上所述，FP=AB-PB或PF= AB+PB．
【点睛】
本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意（2）的两种情况．
2、
（1）30°，70°，40°；
（2）∠AOC－∠BOE=40°，理由见解析；
（3）t 的取值为5或20或62
【分析】
（1）先根据已知求出∠DOC、∠BOC，再求出当t=4时的旋转角的度数，再利用角的和与差求解即可；
（2）设旋转角为x，用x表示∠AOC和∠BOE，即可得出结论；
（3）分①OA为∠DOC的平分线；②OC为∠DOA的平分线；③OD为∠COA的平分线三种情况，利用角平分线定义和旋转性质求出旋转角即可．
（1）
解：∵∠EOC=130°，∠AOB=∠BOE=90°，
∴∠DOC=180°－130°=50°，∠BOC=130°－90°=40°，
当t=4时，旋转角4×5°=20°，
∴∠AOC=∠DOC－∠DOA=50°－20°=30°，∠BOE=90°－20°=70°，
∠BOE－∠AOC=70°－30°=40°，
故答案为：30°，70°，40°；
（2）
解：∠AOC－∠BOE=40°，理由为：
设旋转角为x，当三角板旋转至边 AB与射线 OE相交时，
∠AOC=x－50°，∠BOE=x－90°，
∴∠AOC－∠BOE=（x－50°）－（x－90°）=40°；
（3）
解：存在，
①当OA为∠DOC的平分线时，旋转角5t =∠DOC=25，
∴t=5；
②当OC为∠DOA的平分线时，旋转角5t =2∠DOC=100，
∴t=20；
③当OD为∠COA的平分线时，360－5t=∠DOC=50，
∴t=62，
综上，满足条件的t 的取值为5或20或62．
【点睛】
本题考查角平分线的定义、旋转的性质、角的运算，熟练掌握旋转性质，利用分类讨论思想求解是解答的关键．
3、（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）连接OB，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠ACO＝∠ABO＝90°，即可证明AC为⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，勾股定理求得BD，根据sinD＝＝，代入数值即可求得答案
【详解】
解：（1）连接OB，

∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
即∠ABO＝90°，
∵BC是弦，OA⊥BC，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，由勾股定理得，
BD＝＝2，
∵sinD＝＝，⊙O半径为2，OD＝4．
∴＝，
解得AC＝2，
∴AD＝BD+AB＝4．
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
4、（1）A（-1，0），B（0，2）；（2）点C的坐标（，）；（3）①求点F的坐标（1，2）；②点P的坐标（，）
【分析】
（1）令x=0，求得y值，得点B的坐标；令y=0，求得x的值，取较小的一个即求A点的坐标；
（2）设C的坐标为（x，－＋x＋2），根据AC＝BC，得到，令t=－＋x，解方程即可；
（3）①根据题意，得∠BPE=90°，PB=PE即点P在线段BE的垂直平分线上，根据B，E都在抛物线上，则B，E是对称点，从而确定点P在抛物线的对称轴上，点F在BE上，且BE∥x轴，点E（3，2），确定BE=3，根据旋转性质，得EF=BO=2，从而确定点F的坐标；
②根据BE=3，∠BPE=90°，PB=PE，确定P到BE的距离，即可写出点P的坐标．
【详解】
（1）令x=0，得y=2，
∴点B的坐标为B（0，2）；
令y=0，得－＋x＋2=0，
解得
∵点A在x轴的负半轴；
∴A点的坐标（-1，0）；
（2）设C的坐标为（x，－＋x＋2），
∵AC＝BC，A（-1，0），B（0，2），
∴，
∵A（-1，0），B（0，2），
∴，
即，
设t=－＋x，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理，得，
解得
∵点C在y轴右侧的抛物线上，
∴，
此时y=，
∴点C的坐标（，）；
（3）①如图，根据题意，得∠BPE=90°，PB=PE即点P在线段BE的垂直平分线上，

∵B，E都在抛物线上，
∴B，E是对称点，
∴点P在抛物线的对称轴上，点F在BE上，且BE∥x轴，
∵抛物线的对称轴为直线x=，B（0，2），
∴点E（3，2），BE=3，
∵EF=BO=2，
∴BF=1，
∴点F的坐标为（1，2）；
②如图，设抛物线的对称轴与BE交于点M，交x轴与点N，
∵BE=3，
∴BM=，
∵∠BPE=90°，PB=PE，
∴PM=BM=，
∴PM=BM=，
∴PN=2-=，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，旋转的性质，两点间的距离公式，一元二次方程的解法，换元法解方程，熟练掌握抛物线的对称性，灵活理解旋转的意义，熟练解一元二次方程是解题的关键．
5、（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或或；（4）．
【分析】
（1）根据幸运线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；
（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；
（4）利用时针1分钟走，分针1分钟走，可解答问题．
【详解】
解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；
故答案为：是；
（2）①设∠AOC=x，则∠BOC=2x，
由题意得，x+2x=48°，解得x=16°，
②设∠AOC=x，则∠BOC=x，
由题意得，x+x=48°，解得x=24°，
③设∠AOC=x，则∠BOC=x，
由题意得，x+x=48°，解得x=32°，
故答案为：16°或24°或32°；
（3）OB是射线OM与ON的幸运线，
则∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=2；
∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=；
∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=；
故t的值是2或或；
（4）时针1分钟走，分针1分钟走，
设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，
则有0.5x+3×30=6x，解得：x=．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．