江苏省南通市如皋、镇江市2021-2022学年高三上学期期末教学质量调研联考数学试题

2021－2022学年度高三年级第一学期期末教学质量调研

数 学 试 题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}，Q＝{1，3，5}，M＝P∪Q，则集合M中的元素共有

A．4个            B．6个            C．8个            D．无数个

2．“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的

A．充分不必要条件                    B．必要不充分条件

C．充要条件                          D．既不充分也不必要条件

3．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，且P(3≤X≤5)＝0.86，则P(X＜3)＝

A．0.43            B．0.28            C．0.14            D．0.07

4．已知sin(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为

A．              B．               C．－           D．

5．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2022＝

A．－2            B．－1             C．1              D．2

6．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为

A．1              B．           C．            D．－1

7．已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线 上，且满＝2，则双曲线的离心率为

A．            B．             C．             D．2

8．已知x＝，b＝3－ln4，c＝，则下列选项正确的是

A．a＜b＜c        B．a＜c＜b        C．c＜b＜a         D．c＜a＜b

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．关于复数(i为虚数单位)，下列说法正确的是

A．|z|＝1         B．z＋z2＝－1       C．z3＝－1     D． (z＋1)3＝i

10．已知函数f(x)＝2(cosx＋sinx)cosx－1，则下列说法正确的是

A．f(x)≥f(π)                        B．

C．                D．f(1)＞f(2)

11．如右图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A3：挑出的数字里含有数字1．下列说法正确的是

A．事件A1，A2是互斥事件          

B．事件A1，A2是独立事件

C．P(A1|A3)＝P(A2|A3)              

D．P(A3)＝P(A1)＋P(A2)

12．瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线．若△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是

A．△ABC的外心为(－1，1)          B．△ABC的顶点C的坐标可能为(－2，0)

C．△ABC的垂心坐标可能为(－2，0)  D．△ABC的重心坐标可能为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．展开式中的常数项为         ．

14．已知圆O：x2＋y2＝1，M，N，P是圆O上的三个动点，且满足∠MON＝，＝λ，则·＝         ．

15．已知抛物线y2＝8x，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若AB＝9，＝λ，则λ＝         ．

16．已知三棱锥D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝，∠BAC＝，则点A到平面BCD的距离为         ，该三棱锥的外接球的体积为         ．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)
已知在△ABC中，D为边BC上一点，CD＝10，2AC＝3AD＝AB，cos∠CAD＝．

(1)求AD的长；

(2)求sinB．

18．(本小题满分12分)

已知数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(－1)nn．

(1)求a2n；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．

19．(本小题满分12分)

已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分．

(1)若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率；

(2)若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．

20．(本小题镇分12分)

如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，底面ABC是等腰直角三角形，AA1＝AB＝BC＝4，∠A1AB＝60°，cos∠BCC1＝，M，N分别是棱B1C1，A1B1的中点．

(1)证明：NB⊥平面A1B1C1；

(2)求直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值．

21．(本小题满分12分)

设椭圆E：(a＞b＞0)经过点M(，)，离心率为．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设椭圆E的右顶点为A，过定点N(1，0)且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与直线x＝4的交点分别为P，Q，求△APQ面积的最小值．

22．(本小题满分12分)

设f(x)＝xex－mx2，m∈R．

(1)设g(x)＝f(x)－2mx，讨论函数y＝g(x)的单调性；

(2)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)有两个零点x1，x2，证明：x1＋x2＞2．