二轮小题重难点专题八 圆锥曲线的定义、方程与性质（含解析）

专题八   圆锥曲线的定义、方程与性质

建议用时：45分钟

一、选择题

1、直线分别与轴，轴交于两点，点在圆 上，则面积的取值范围是（    ）

A．             B．            C．         D．

2、已知是椭圆上一定点，、是椭圆的两个焦点，若，，则椭圆的离心率为（       ）

A、            B、          C、             D、

3、已知圆经过双曲线：的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线的中心的距离为（     ）

A、或           B、或         C、                 D、

4、已知抛物线的焦点为，、是抛物线上横坐标不相等的两点，若的垂直平分线与轴的交点是，则的最大值为（      ）    

A、                 B、             C、                  D、

5、已知点A1，A2分别为双曲线C：的左、右顶点，直线y＝kx交双曲线于M，N两点，若•••4，则双曲线C的离心率为（　　）

A．   B．2 C． D．

6、设，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，是的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点，若和的离心率分别为，，则的值为（    ）

A．2    B．3 C． D．

7、设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为(    )

A． B． C． D．

8、已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段被双曲线顶点三等分，且两曲线，的交点连线过曲线的焦点F，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

9、已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为(    )

A．16 B．14 C．12 D．10

10、设是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则到的距离的最小值的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

11、若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM､BM与两坐标轴均不平行，kAM､kBM分别表示直线AM､BM的斜率，则kAM·kBM=（    ）

A． B． C． D．

12、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是（    ）

A．① B．② C．①② D．①②③

二、填空题

13、已知椭圆：()的左右焦点分别、，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率为         。

14、已知点在轴上，点是抛物线的焦点，直线与抛物线交于，  两点，若点为线段的中点，且，则__________．

15、已知为椭圆上的一点，过作直线交圆于，两点，则的最大值是_______.

16、若椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则__________.

答案解析

一、选择题

1、【答案】A

【分析】圆心到直线的距离，

所以点P到直线的距离.

根据直线的方程可知两点的坐标分别为，

所以,

所以的面积，

所以,

故选：A.

2、【答案】D

【解析】由题意得为，令，则，，，

则，，故选D。

3、【答案】D

【解析】由双曲线性质可得圆经过双曲线同侧的顶点和焦点，设过右焦点和右顶点，

则圆心的横坐标为，代入双曲线，则解得，

∴点到原点的距离，故选D。

4、【答案】C

【解析】，、，，

即，又，，

则，

即，又，则，∴线段中点的横坐标为，

∴(当、、三点共线时取等号)，

即的最大值为，故选C。

5、【答案】C

【分析】设M（x0，y0），则，

同理可得，所以，

即，所以双曲线C的离心率为．

故选：C

6、【答案】A

【分析】设双曲线的方程为，焦点，

因为线段的垂直平分线经过点，可得，

又由，根据双曲线的定义可得，

所以，

设椭圆的长轴长为，

根据椭圆的定义，可得，解得，

所以.

故选：A.

7、【答案】C

【分析】过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，

设点，

由得，

即……①，

又因为,

所以,

所以，

所以……②，

由①②可解得，

在中，，

，

所以，

所以,

解得或（舍去），

故选：C

8、【答案】D

【分析】抛物线的焦点为，准线方程为，，

，

因为线段被双曲线顶点三等分，所以，即，

因为两曲线，的交点连线过曲线的焦点F，所以两个交点为、，

将代入双曲线得，

所以，所以，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：D

9、【答案】A

【解析】

设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知

，当且仅当（或）时，取等号.

10、【答案】A

【解析】

抛物线上的准线方程是设点的坐标为．

则直线的方程为．

设与直线平行的直线方程为．代入抛物线方程可得，

由，可得．

故与直线平行且与抛物线相切的直线方程为．．

则到的距离的最小值．

故选A．

11、【答案】B

【解析】

设，，，，则，，则

，在椭圆上，

，，两式相减得，即，所以，所以，即

故选：．

12、【答案】C

【解析】

由得,,,

所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.

由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.

如图所示,易知,

四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.

故选C.

二、填空题

13、【答案】

【解析】直线过点，且，∴，

∴，∴，∴，

在中，，，

∴该椭圆的离心率。

14、【答案】8

【解析】

设，又，因为为的中点，

所以点的坐标为，则，即，

又由，则，即，

直线的方程为，代入，得，

设，则，解得，

由抛物线的定义得：，解得：.

15、【答案】3

【解析】

如图，过作，垂足为，可知是中点，

可得，

中，，

在中，，

联立可得，

设，则（），

，

，则，

即，故最大值为3.

故答案为：3.

16、【答案】

【分析】不妨设P在第一象限，

再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a，

由双曲线的定义可得s﹣t＝2a1，

解得s＝a+a1，t＝a﹣a1，

由∠F1PF2，

在三角形F1PF2中，利用勾股定理可得．

∴，

化简，又由e1e2＝2，

所以.

故答案为：8．