二轮小题重难点专题九 数学文化与应用创新题（含解析）

专题九   数学文化与应用创新题

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一、选择题

1、数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为2，则此双曲线的离心率为(　　)

A．2      B．3     C．2      D．2

2、数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比的近似值,黄金分割比还可以表示成,则(    ).

A．4 B． C．2 D．

3、达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm(其中≈0.866)．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于(　　)

A.         B.           C.         D.

4、我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个整数中能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ）

A．133 B．134 C．135 D．136

5、“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为（    ）

A．猴 B．马 C．羊 D．鸡

6、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

7、“十二平均律”  是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为

A．            B．            C．          D．

8、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A．440             B．330           C．220         D．110

9、学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为10 cm，高为10 cm.打印所用原料密度为1 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为(取π＝3.14，精确到0.1)(　　)

A．609.4 g   B．447.3 g

C．398.3 g   D．357.3 g

10、历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：＝，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的T＞2.8，若判断框内填入的条件为k≥m？，则正整数m的最小值是(　　)

A．2  B．3  C．4   D．5

11、陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为(　　)

A．(7＋2)π   B．(10＋2)π

C．(10＋4)π   D．(11＋4)π

12、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

13、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为、、，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________.

14、如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，将△AMN沿线段MN进行翻折，得到如图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为________．

15、现代足球运动是世界上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”．早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球.1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——英国足球协会，并统一了足球规则．人们称这一天是现代足球的诞生日．如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱．已知足球表面中的正六边形的面为20个，则该足球表面中的正五边形的面为______个，该足球表面的棱为_____条．

16、《九章算术》言：“勾股以御高深广远，今有弦五尺，勾三尺，问股为几何？其中弦代表直角三角形的斜边，勾､股代表两条直角边，则股为______尺，若今有弦t尺，勾尺，股尺，则弦为______尺.

专题九答案解析

一、选择题

1、B　[双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为2，

可得：，解得a＝1，c＝3，b＝2，

所以双曲线的离心率为：e＝＝3.故选B.]

2、【答案】C

【详解】由题可知，所以.

则.   故选：C.

3、A　[∵AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm(其中≈0.866)．

设∠ABC＝2θ.∴sin θ＝＝0.866≈，

∵ 由题意θ必为锐角，可得θ≈，

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α.

则α＋2θ＝π， ∴α＝π－＝.故选A.]

4、【答案】C

【详解】由数能被3除余2且被5除余2的数就是能被15除余2的数，

故，由，得，，

故此数列的项数为：135．      故选:C．

5、【答案】B

【详解】六十甲子，周而复始，无穷无尽，即周期是60，

2086年与2026年一样，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，午对应属相为马。则2086年出生的孩子属相为马.

故选：B

6、【答案】C

【详解】，所以，则，

所以，，解得.  故选：C.

7、【答案】D

【详解】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，

又，则     故选D.

8、【答案】A

【详解】由题意得，数列如下：

则该数列的前项和为

，

要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，

所以对应满足条件的最小整数，故选A.

9、C　[如图，是几何体的轴截面，

设正方体的棱长为a，则＝，解得a＝5，

∴该模型的体积为：

V＝π×(5)2×10－53＝－125≈398.33(cm3)．

∴制作该模型所需原料的质量为398.33×1≈398.3(g)．

故选C.

10、B　[初始：k＝1，T＝2，第一次循环：T＝2××＝＜2.8，k＝2，继续循环；

第二次循环：T＝××＝＞2.8，k＝3，此时T＞2.8，满足条件，结束循环，

所以判断框内填入的条件可以是k≥3？，所以正整数m的最小值是3，故选B

11、C　[由题意可知几何体的直观图如图，上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥，几何体的表面积为：4π＋×4π×2＋2π×3＝(10＋4)π，故选C

12、【答案】C

【详解】如图，设，则，

由题意，即，化简得，

解得（负值舍去）.故选：C.

二、填空题

13、【答案】

【详解】由已知条件可得，

.

当且仅当时，等号成立.   因此，该三角形面积的最大值为.故答案为：.

14、2－3　设AM＝x，∠AMN＝α，则BM＝1－x，∠AMB＝180°－2α，∴∠BAM＝2α－60°，

在△ABM中，由正弦定理可得＝，

即＝，∴x＝，

∴当2α－60°＝90°，即α＝75°时，

x取得最小值＝2－3.

15、 12　90　[简单多面体的顶点数V，面数F与棱数E间有关系式V＋F－E＝2，

设该足球表面中的正五边形的面为x个，正六边形的面为y个，

则F＝x＋y，V＝5x，E＝5x＋y，

∴5x＋(x＋y)－＝2，

化简，得2x－y＝4，

正五边形的边有两种算法：

单从正五边形看，这x个正五边形共有5x条边，

从正六边形的角度看，每个正六边形有3条边是正五边形的边， y个正六边形有6y条边，其中正五边形的边的总数为：6y×＝3y，∴ 5x＝3y.

联立，解得x＝12，y＝20，

∴该足球表面中的正五边形的面为12个，

该足球表面的棱为E＝5x＋y＝90个．

16、【答案】       

【详解】当弦五尺，勾三尺，所以股为；

当弦t尺，勾尺，股尺，则，且 整理可得， ，

解得.故弦为尺      故答案为：；