二轮大题重难点专题二 数列的综合问题（含解析）

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专题二   数列的综合问题总分：70分   建议用时：60分钟三、解答题17、已知数列的前项和，为等比数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．    18、已知是首项不为1的正项数列，其前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：．     19、已知数列满足．（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前项和，当对一切正整数恒成立时，求实数的取值范围．     20、已知数列的前项和为，且，，数列满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）若数列满足且对任意恒成立，求实数的取值范围.    21、已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列．（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．（3）若数列满足，求证：． 22、设数列的前项和为，若．（1）证明为等比数列并求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求；（3）求证：．    答案解析 17、【解答】解：（1）当时，，当时，，满足上式，则；因为，，则，因为为等比数列，所以，所以；（2），由，所以，①，②①②可得，所以．18、【解答】解：（1）由，①得，解得（舍或．当时，，②①②得，整理得：．，．可得数列是首项为2，公差为3的等差数列．；证明：（2），．19、【解答】解：（1）数列满足①，当时，，②当时，，①②得，所以（首项符合通项），所以．（2）由（1）得，所以①，②，①②得，整理得，所以当时，的最小值为，所以当对一切正整数恒成立时，只需满足，解得．故实数的取值范围为，．20、【解答】解：（1）因为，，所以，则，即，，因为，，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，，因为，所以，即，则.（2），令，则，因为对任意恒成立，所以对任意恒成立，即，令，，则，当时，即当时取到最小值，故，实数的取值范围为.21、【解答】解：（Ⅰ）数列满足，，所以（常数），故，数列是公比为的正数的等比数列，，且，，8成等差数列．所以，解得．所以．故：，，解：（Ⅱ）数列满足，所以，．证明：（Ⅲ）数列满足，所以，，，，．22、【详解】（1）由得，当时，两式作差得：，即，即，令得，所以是以为首项，为公比的等比数列．所以，故．（2）由（Ⅰ）知，两式作差得：所以．（3）由（Ⅰ）知，则，恒成立，，即所以，所以．