2022年高考数学大一轮复习 第一章 第四节　基本不等式课件PPT

课时跟踪检测（四）  基本不等式

[素养落实练]

1．已知t>0，则函数y＝的最小值为(　　)

A．－2　　　　　　　　 B.

C．1  D．2

解析：选A　y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．

2．已知a, b∈R，且a＋2b－4＝0，则2a＋4b的最小值为(　　)

A．4  B．4

C．8  D．2

解析：选C　由a＋2b－4＝0得a＋2b＝4，∴2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2＝8(当且仅当2a＝22b，即a＝2b时取等号)．

3．若实数a, b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)

A.  B．2

C．2  D．4

解析：选C　∵＋＝，∴a>0，b>0，

∵＝＋≥2 ＝2 ，

∴ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，

∴ab的最小值为2，故选C.

4．(多选)下列结论正确的是(　　)

A．当x＞0时，＋≥2

B．当x＞2时，x＋的最小值是2

C．当x＜时，4x－2＋的最小值是5

D．设x＞0，y＞0，且x＋y＝2，则＋的最小值是

解析：选AD　对于选项A，当x＞0时，＞0，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立，故A正确；

对于选项B，当x＞2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x＞2，等号取不到，因此x＋的最小值不是2，故B错误；

对于选项C，因为x＜，所以5－4x＞0，

则y＝4x－2＋＝－＋3≤－2×＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，故C错误；

对于选项D，因为x＞0，y＞0，

则＋＝(x＋y)＝≥＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，故D正确．

5．(2021·武汉高三模拟)若不等式＋－m≥0对x∈恒成立，则实数m的最大值为(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

解析：选C　将不等式化为＋≥m，只需当x∈时，min≥m即可，由＋＝(4x＋1－4x)＝4＋＋＋1≥5＋2 ＝5＋4＝9，当且仅当x＝时取等号，故m≤9，故m的最大值为9.故选C.

6．已知a>0，b>0，且a＋3b＝1，则＋的最小值是________．

解析：＋＝(a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2 ＝25，

当且仅当a＝，b＝时等号成立．

答案：25

7．规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．

解析：由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，

解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1.

又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，

当且仅当＝，即x＝1时取等号，

故函数f(x)的最小值为3.

答案：1　3

8．(2021·北京人大附中测试)已知a>0，b>0，且a－b＝1，则2a＋的最小值为________．

解析：∵a>0，b>0，由a－b＝1得a＝1＋b，

∴2a＋＝2＋2b＋≥2＋2 ＝2＋2，

当且仅当b＝时，等号成立，

因此，2a＋的最小值为2＋2.

答案：2＋2

9．(1)当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；

(2)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值．

解：(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋.当x＜时，有3－2x＞0，∴＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．

于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.

(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，

∴y＝＝·≤ ·＝，

当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，

∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.

10．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

解：(1)设所用时间为t＝(h)，

则y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．

所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100]

．

(2)y＝＋x≥26，

当且仅当＝x，即x＝18时等号成立．

故当x＝18千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．

[梯度拔高练]

1. (2021·广州月考)如图，三棱锥P­ABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m,2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为(　　)

A．  B．

C．  D．36π

解析：选C　根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为n，所以·n··m·2＝2，所以mn＝6，又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球，该外接球的直径是长方体的体对角线，设外接球的半径为R，所以2R＝，所以2R≥＝＝4，当且仅当m＝n＝时，等号成立，所以R≥2，所以该三棱锥外接球的体积为πR3≥π×23＝.故选C.

2．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)

A．0  B．1

C.  D．3

解析：选B　＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.

3．在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若＝2x＋y(x>0，y>0)，则＋的最小值为(　　)

A．1  B．8

C．2  D．4

解析：选B　由于点F在线段BC上，由向量共线定理可得2x＋y＝1，

则＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，

当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时等号成立，故选B.

4．(2021·北京模拟)为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________ h后池水中药品的浓度达到最大．

解析：C＝＝≤＝5，当且仅当t＝2时取等号，因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大．

答案：2

5．已知a>0，b>0，则的最小值为________．

解析：＝＋＋ab≥2＋ab＝＋ab≥2 ＝4，

当且仅当即时等号成立，所以的最小值为4.

答案：4

6．某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”)．

(1)试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？

(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？

解：(1)由题意，每件售价为

×150%＋×50%＝，

则w＝·Q－x－3－32Q

＝

＝.

因为当x＝100时，w＝<0，所以企业亏损．

(2)w＝＝－＋50≤50－8＝42(当且仅当x＝7时等号  成立)．

故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．