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第六章 第一节 数列的概念及通项公式课件PPT
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课时跟踪检测(三十四) 数列的概念及通项公式[素养落实练]1.数列-,,-,,…的通项公式可能是an=( )A. B.C. D.解析:选D 由a1=-,排除A、C;由a2=,排除B.故选D.2.(多选)已知数列{an}满足:a1=3,当n≥2时,an=2-1,则关于数列{an}说法正确的是( )A.a2=8 B.数列{an}为递增数列C.数列{an}为周期数列 D.an=n2+2n解析:选ABD 由an=2-1得an+1=2,∴=+1,即数列{}是首项为=2,公差为1的等差数列,∴=2+(n-1)×1=n+1,∴an=n2+2n,得a2=8,由二次函数的性质得数列{an}为递增数列,故A、B、D正确.3.(2021·湖南三市联考)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,若a4=32,则a1的值为( )A. B.C. D.解析:选A 因为Sn=,a4=32,所以S4-S3=-=32,解得a1=,故选A.4.已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n,则数列的通项公式an=( )A. B.2nC.2n-1 D.2n-1-1解析:选C log2(Sn+1)=n⇒Sn+1=2n⇒Sn=2n-1.所以an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1(n≥2),又a1=S1=2-1=1,适合an=2n-1(n≥2),因此an=2n-1.故选C.5.(2021·沈阳模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,{Sn+nan}为常数列,则an=( )A. B.C. D.解析:选B 由题意知,Sn+nan=2,当n≥2时,(n+1)an=(n-1)an-1,从而···…·=××…×,得an=,n=1时,上式也成立.故选B.6.(2020·江淮十校联考)已知数列{an}满足=2,a1=20,则的最小值为( )A.4 B.4-1C.8 D.9解析:选C 由an+1-an=2n知a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,…,an-an-1=2(n-1),n≥2,以上各式相加得an-a1=n2-n,n≥2,所以an=n2-n+20,n≥2.当n=1时,a1=20符合上式,所以=n+-1,n∈N*,所以n≤4时单调递减,n≥5时单调递增,因为=,所以的最小值为==8,故选C.7.(多选)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则下列结论正确的有( )A.为等比数列B.{an}的通项公式为an=C.{an}为递增数列D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4解析:选ABD 因为==+3,所以+3=2,又+3=4≠0,所以是以4为首项,2为公比的等比数列.+3=4×2n-1,即an=,{an}为递减数列,的前n项和Tn=(22-3)+(23-3)+…+(2n+1-3)=2(21+22+…+2n)-3n=2×-3n=2n+2-3n-4. 8.(2020·浙江高考)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列就是二阶等差数列.数列(n∈N*)的前3项和是________.解析:因为an=,所以S3=a1+a2+a3=1+3+6=10.答案:109.下列关于星星的图案构成一个数列,则该数列的一个通项公式是________.解析:从题图中可观察星星的构成规律,当n=1时,有1个;当n=2时,有3个;当n=3时,有6个;当n=4时,有10个;…∴an=1+2+3+4+…+n=.答案:an=10.(2021·衡阳四校联考)已知数列{an}满足a1=3,an+1=4an+3.(1)写出该数列的前4项,并归纳出数列{an}的通项公式;(2)证明:=4.解:(1)a1=3,a2=15,a3=63,a4=255.因为a1=41-1,a2=42-1,a3=43-1,a4=44-1,…,所以归纳得an=4n-1.(2)证明:因为an+1=4an+3,所以===4.11.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值.(2)对于n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.解:(1)若k=-5,则an=n2-5n+4=(n-1)(n-4),令an<0,则1<n<4,∴数列中第2,3项,共2项为负数.∵f(x)=x2-5x+4是开口向上,对称轴为x=的抛物线,∴当n=2或3时,an有最小值22-5×2+4=-2.(2)依题意,an+1>an,即(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,整理得k>-2n-1,又∵对于n∈N*,都有an+1>an,∴k大于-2n-1的最大值,∴k>-2-1=-3.故实数k的取值范围为(-3,+∞). [梯度拔高练]1.(2021·湘西调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到 2 020这2 020个数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列共有( )A.98项 B.97项C.96项 D.95项解析:选B 能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数,故an=21n-20,由1≤an≤2 020,得1≤n≤,又n∈N*,故此数列共有97项.2.如图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{an},{an}的前n项和为Sn,则下列说法中正确的是( )A.数列{an}是递增数列 B.数列{Sn}是递增数列C.数列{an}的最大项是a11 D.数列{Sn}的最大项是S11解析:选C 因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数,即a7>a8,所以{an}不是递增数列,所以选项A错误;因为2月23日新增确诊人数为0,所以S33=S34,所以数列{Sn}不是递增数列,所以选项B错误;因为1月31日新增确诊人数最多,从1月21日算起,1月31日是第11天,所以数列{an}的最大项是a11,所以选项C正确;数列{Sn}的最大项是最后一项,所以选项D错误.3.(2020·连云港三模)“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”,是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数,就将它减半;如果n是奇数,就将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,最终都能够得到1,得到1即终止运算.已知正整数m经过5次运算后得到1,则m的值为( )A.32或5 B.16或2C.16 D.32或5或4解析:选A 设m经过第k次运算后变为ak(k∈N*),可知a5=1,a2≠1,a3≠1,a4≠1.因为a5=1,则a4=2a5=2,a3=2a4=4,若a2为奇数,则a3=3a2+1=4,得a2=1,不合乎题意,所以a2为偶数,且a2=2a3=8.若a1为奇数,则a2=3a1+1=8,得a1=,不合乎题意;若a1为偶数,则a1=2a2=16.若m为奇数,则a1=3m+1=16,可得m=5;若m为偶数,则m=2a1=32.综上所述,m=5或32.4.(多选)黄金螺旋线又名等角螺线,是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形,然后在剩下的小矩形里以其宽为边长做正方形,如此循环下去,再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧,最后顺次连接,就可得到一条“黄金螺旋线”.达·芬奇的《蒙娜丽莎》,希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an(n∈N*),数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3).再将扇形面积设为bn(n∈N*),则( )A.4(b2 020-b2 019)=πa2 018·a2 021B.a1+a2+a3+…+a2 019=a2 021-1C.a+a+a+…+(a2 020)2=2a2 019·a2 021D.a2 019·a2 021-(a2 020)2+a2 018·a2 020-(a2 019)2=0解析:选ABD 由题意得bn=a,则4(b2 020-b2 019)=4=π(a2 020+ a2 019)(a2 020-a2 019)=πa2 018·a2 021,则选项A正确;又数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3),所以an-2=an-an-1(n≥3),a1+a2+a3+…+a2 019=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+…+(a2 021-a2 020)=a2 021-a2=a2 021-1,则选项B正确;数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3),即an-1=an-an-2,两边同乘an-1,可得a=an-1an-an-1an-2,则a+a+a+…+(a2 020)2=a+(a2a3-a2a1)+(a3a4-a3a2)+…+(a2 020a2 021-a2 020a2 019)=a-a2a1+a2 020a2 021=a2 020a2 021,则选项C错误;由题意an-1=an-an-2,则a2 019·a2 021-(a2 020)2+a2 018·a2 020-(a2 019)2=a2 019·(a2 021-a2 019)+a2 020·(a2 018-a2 020)=a2 019·a2 020+a2 020·(-a2 019)=0,则选项D正确.故选A、B、D.5.已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=3×2n-3,其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}为等差数列,Tn为其前n项和,b2=a5,b11=S3,求Tn的最值.解:(1)由Sn=3×2n-3,n∈N*,得当n=1时,a1=S1=3×21-3=3.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3×2n-3)-(3×2n-1-3)=3×(2n-2n-1)=3×2n-1. (*)又当n=1时,a1=3也满足(*)式,所以,对任意n∈N*,都有an=3×2n-1.(2)设等差数列{bn}的首项为b1,公差为d,由(1)得b2=a5=3×25-1=48,b11=S3=3×23-3=21.由等差数列的通项公式得解得所以bn=54-3n.可以看出bn随着n的增大而减小,令bn≥0,解得n≤18,所以Tn有最大值,无最小值,且T18(或T17)为前n项和Tn的最大值,即(Tn)max=T18==9×(51+0)=459.
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