第七章 第五节 直线、平面垂直的判定与性质课件PPT

课时跟踪检测（四十三）  直线、平面垂直的判定与性质

[素养落实练]

1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)

A．m∥l　　　　　　　　 B．m∥n

C．n⊥l  D．m⊥n

解析：选C　因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.

2．(多选)对于不同直线m，n和不同平面α，β，有如下四个命题，其中正确的是(　　)

A．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β

B．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β

C．若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β

D．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

解析：选BC　若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能相交，可能平行，故A不正确；

若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，故B正确；

若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故C正确；

若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故D不正确．

3．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，要得到直线m⊥平面β，还需要补充以下的条件是(　　)

A．m⊂α  B．m∥α

C．m⊥l  D．m⊂α且m⊥l

解析：选D　选项A、B、C的条件都不能得到直线m⊥平面β.而补充选项D后，可以得到直线m⊥平面β.理由是：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．故选D.

4．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是(　　)

A．①  B．①②

C．②③  D．④

解析：选A　在①中，设平面BCD上的另一个顶点为A1，连接BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，则CD⊥平面ABA1，故CD⊥AB，②③④均不能推出AB⊥CD.故选A.

5．(多选)如图， PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是(　　)

A．PB⊥AC

B．PC⊥BC

C．AC⊥平面PBC

D．平面PAC⊥平面PBC

解析：选BD　因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，所以PA⊥BC，PA⊥AC，又点C是圆周上异于A，B的任一点，所以AC⊥BC.

对于A、C，若PB⊥AC，则可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与PA⊥AC矛盾，故A、C错误；

对于B、D，可知BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，由BC⊂平面PBC可得平面PAC⊥平面PBC，故B、D正确．

6．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：

①若α∥β，则m⊥l；　　　②若α⊥β，则m∥l；

③若m⊥l，则α⊥β；　　　④若m∥l，则α⊥β.

其中正确的命题是(　　)

A．①④  B．③④

C．①②  D．①③

解析：选A　对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确．对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.

7．如图，三棱锥P­ABC，平面PAB⊥平面PBC，若PB⊥BC，则△ABC的形状为__________．

解析：∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，PB⊥BC，BC⊂平面PBC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，∴△ABC为直角三角形．

答案：直角三角形

8．(2021·泉州模拟)在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.

解析：∵△PAB≌△PAD，∴PB＝PD，∴△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，有DM⊥PC，此时PC⊥平面MBD，∴平面MBD⊥平面PCD.故填BM⊥PC(或DM⊥PC)．

答案：BM⊥PC(或DM⊥PC)

9．在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；

②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；

③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．

其中正确结论的序号是________．

解析：假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于E，连接CE.则⇒BD⊥平面AEC⇒BD⊥CE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，①不正确．

假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假设成立，②正确．

假设AD⊥BC，∵CD⊥BC，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB＜BC，故矛盾，假设不成立，③不正确．综上，填②.

答案：②

10.如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

证明：(1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C1∥AC.

在△ABC中，∵D，E分别为AB，BC的中点，

∴DE∥AC，∴DE∥A1C1.

∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，

∴直线DE∥平面A1C1F.

(2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.

∵A1C1⊂平面A1B1C1，

∴A1A⊥A1C1.

∵A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，

∴A1C1⊥平面ABB1A1.

∵B1D⊂平面ABB1A1，

∴A1C1⊥B1D，

又∵B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，

∴B1D⊥平面A1C1F.

∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.

11．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(3)求证：EF∥平面PCD.

证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，

所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形，

所以BC∥AD，所以PE⊥BC.

(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD，

因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.

又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，

所以PD⊥平面PAB.

因为PD⊂平面PCD，

所以平面PAB⊥平面PCD.

(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.

因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝BC.

因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，

所以DE∥BC，DE＝BC.

所以DE∥FG，DE＝FG.

所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.

又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，

所以EF∥平面PCD.

12．(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD ­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(1)证明：BE⊥平面EB1C1；

(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E ­BB1C1C的体积．

解：(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，

所以B1C1⊥BE.

又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，

所以BE⊥平面EB1C1.

(2)由(1)知∠BEB1＝90°.

由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，

所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，

故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.

如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，

且EF＝AB＝3.

所以四棱锥E ­BB1C1C的体积

V＝×3×6×3＝18.

[梯度拔高练]

1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是(　　)

A．与AC，MN均垂直

B．与AC垂直，与MN不垂直

C．与AC不垂直，与MN垂直

D．与AC，MN均不垂直

解析：选A　因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝＝，MN＝＝，ON＝＝，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.

2．(多选)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AE⊥CD，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是(　　)

A．不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面CDE

B．不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE

C．不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB

D．在折起过程中，一定存在某个位置，使CE⊥AD

解析：选ABD　折叠后如图所示．

对于A选项，取AE的中点P，连接PM，PN，∵M，N分别是AD，BE的中点，

∴PN∥AB∥CE，PM∥DE，又PM∩PN＝P，且PM⊂平面PMN，PN⊂平面PMN，DE∩CE＝E，∴平面PMN∥平面CDE，故MN∥平面CDE，故A正确；

对于B选项，由已知，AE⊥DE，AE⊥CE，且CE∩DE＝E，CE⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AE⊥平面CDE，又平面PMN∥平面CDE，∴AE⊥平面PMN，则由线面垂直的性质可知AE⊥MN，故B正确；

对于C选项，∵AB∥PN，MN∩PN＝N，∴MN与AB为异面直线，故C错误；

对于D选项，当C­AE­D为直二面角时，易证CE⊥平面ADE，则根据线面垂直的性质定理可知CE⊥AD，故D正确．

3．在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，AD＝1，E为棱BC上一点，且平面DAE⊥平面BCD，则DE＝________.

解析：过A作AH⊥DE，∵平面ADE⊥平面BCD，且平面ADE∩平面BCD＝DE，

∴AH⊥平面BCD，∴AH⊥BC，又AD⊥BC，∴BC⊥平面ADE，

∴BC⊥AE，∵AE＝，AD＝1，∴DE＝.

答案：

4.如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA，PB，PC.

(1)求证：PA2＋PB2＋PC2为定值；

(2)求三棱锥P­ABC的体积的最大值．

解：(1)证明：设过PA，PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB，

∴AB是⊙O1的直径，连接PO1并延长交⊙O1于D，

则四边形PADB是矩形，PD2＝PA2＋PB2.

设O为球心，则OO1⊥平面⊙O1,

∵PC⊥⊙O1平面，

∴OO1∥PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PC⊥PD.

∴CD是球的直径．

故 PA2＋PB2＋PC2＝PD2＋PC2＝CD2＝4R2为定值．

(2)设PA，PB，PC的长分别为x，y，z，

则三棱锥P­ABC的体积V＝xyz，

V2＝x2y2z2≤3＝·＝R6.

∴V≤R3，即三棱锥P­ABC的体积的最大值为R3.