第七章 第六节 空间向量及其运算和空间位置关系课件PPT

课时跟踪检测（四十四）  空间向量及其运算和空间位置关系

[素养落实练]

1．已知点A(－3,0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于(　　)

A．12　　　　　　　　 B．9

C．25  D．10

解析：选D　点A关于原点对称的点B的坐标为(3,0,4)，

故|AB|＝＝10.

2．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　)

A．9  B．－9

C．－3  D．3

解析：选B　由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，

∴解得λ＝－9.

3．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)

A．－1　　　　　　B．0　　　　　　C．1　　　　　　D．不确定

解析：选B　如图，令＝a，＝b，＝c，

则·＋·＋·

＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)

＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.

4．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)，

∴cos〈a，b〉＝＝＝，

又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为，故选D.

5.如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)

A.   B.

C．1   D.

解析：选D　∵＝＋＋，

∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，

故||＝.

6．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z (x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B　当x＝2，y＝－3，z＝2时，即＝2－3＋2.则－＝2－3(－)＋2(－)，即＝－3＋2，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设＝m＋n (m，n∈R)，即－＝m(－)＋n(－)，即＝(1－m－n)＋m＋n，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2一组解．故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．

7．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．

解析：由题意，设＝λ，即＝(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，当λ＝时有最小值，此时Q点坐标为.

答案：

8．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________．

解析：如图，设＝a，＝b，＝c，

则＝a＋c－b，

由题意知＝b－c，

＝－

＝a－b＋c.

因此＝＋，

∴，，共面．

又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.

答案：平行

9．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．

解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.同理·＝0.

∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.

又∵＝＋＋，

∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·

＝3＋2×1×1×cos〈，〉．

当〈，〉＝60°时，2＝4；

当〈，〉＝120°时，2＝2.

∴||＝2或，即B，D间的距离为2或.

10.如图，正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD.

(1)求证：AE∥平面BCF；

(2)求证：CF⊥平面AEF.

证明：取BC中点H，连接OH，则OH∥BD，

又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，

故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz，

则A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2,0)，F(0,0，)，B(1,2,0)．

＝(－2，－2,0)，＝(1,0，)，＝(－1，－2，)．

(1)设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

取z＝1，得n＝(－，，1)．

又四边形BDEF为平行四边形，

∴＝＝(－1，－2，)，

∴＝＋＝＋＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，)＝(－3，－4，)，

∴·n＝3－4＋＝0，∴⊥n，

又AE⊄平面BCF，∴AE∥平面BCF.

(2) ＝(－3,0，)，

∴·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0，

∴⊥，⊥，即CF⊥AF，CF⊥AE，

又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，

∴CF⊥平面AEF.

[梯度拔高练]

1．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)

A．钝角三角形  B．锐角三角形

C．直角三角形  D．不确定

解析：选C　∵M为BC中点，∴＝(＋)，

∴·＝(＋)·

＝·＋·＝0.

∴AM⊥AD，即△AMD为直角三角形．

2. (2021·宜昌一诊)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)

A．(1,1,1)

B.

C.

D.

解析：选C　设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，

∴AM∥EO，

又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点．

在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)．

由中点坐标公式，知点M的坐标为.

3. (2020·广东八校联考)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．

解析：以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1－y)，B(1，1,1)，

∴＝(x－1,0,1)，∴＝(1,1，y)．

∵B1E⊥平面ABF，∴·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.

答案：1

4．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为________．

解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系．

因为底面边长为1，侧棱长为2，

所以A，B1，

C，C1，M(0,0,0)，设N，

因为＝λ，所以N，

所以＝，＝.

又因为AB1⊥MN，所以·＝0.

所以－＋＝0，所以λ＝15.

答案：15

5.在四棱锥P ­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由．

解：(1)证明：由题意知，DA，DC，DP两两垂直．如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a，0)，

E，P(0,0，a)，F.

＝，＝(0，a,0)．

∵·＝0，∴⊥，从而得EF⊥CD.

(2)假设存在满足条件的点G，设G(x,0，z)，

则＝，

若使GF⊥平面PCB，

则由·＝x－，－，z－·(a,0,0)＝a＝0，得x＝；

由·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0.

∴G点坐标为，

故存在满足条件的点G，且点G为AD的中点．