第八章 第三节 圆的方程课件PPT

课时跟踪检测（四十九）  圆的方程

[素养落实练]

1．(2020·北京西城区模拟)设A(2，－1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)

A．(x－3)2＋y2＝2　　　 B．(x－3)2＋y2＝8

C．(x＋3)2＋y2＝2  D．(x＋3)2＋y2＝8

解析：选A　线段AB的中点坐标为(3,0)，圆的半径r＝＝＝，则以线段AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.故选A.

2．已知圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程为(　　)

A．x2＋y2＋10y＝0  B．x2＋y2－10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0  D．x2＋y2－10x＝0

解析：选B　根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(1－r)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.

3．(2021·唐山模拟)如果圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0不经过(　　)

A．第一象限            B．第二象限　　  C．第三象限　　  D．第四象限

解析：选D　圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为，因为圆心位于第三象限，所以即a＜0，b＞0.直线x＋ay＋b＝0可化为y＝－x－，则斜率k＝－＞0，在y轴上的截距－＞0，故直线不经过第四象限，故选D.

4．已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，则△ABC的外接圆的方程是(　　)

A．x2＋(y－3)2＝5  B．x2＋(y＋3)2＝5

C．(x－3)2＋y2＝5  D．(x＋3)2＋y2＝5

解析：选D　因为点A是直角三角形ABC的直角顶点，所以BC2＝AB2＋AC2，即(2a＋6)2＋(2－a)2＝(2a＋4)2＋(2－a)2＋4，解得a＝－2，即A(－4,2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，则△ABC的外接圆的圆心为(－3,0)，半径为BC＝，所以△ABC的外接圆的方程是(x＋3)2＋y2＝5，故选D.

5．(2021·济宁模拟)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心在直线ax－by＋1＝0上，则ab的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　把圆的一般方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，

∴圆心坐标为(－1,2)，半径r＝2，

根据题意可知，圆心在已知直线ax－by＋1＝0上，

则－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b.

设m＝ab＝b(1－2b)＝－2b2＋b＝－22＋，则当b＝时，m有最大值，最大值为，即ab的最大值为，则ab的取值范围是.

6．若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到直线y＝kx－1的距离不可能是(　　)

A．4　　　　B．6　　　　C．3＋1          D．8

解析：选D　如图，圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3,3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点(0，－1)．由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为＝5，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6，最小值为5－1＝4.选项A、B、C中的值均不大于6，只有选项D中的值大于6，不符合题意．

7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝2时，方程不表示圆，舍去．当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.

答案：(－2，－4)　5

8．设定点A(2,1)，B(3,3)，动点C在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9上，则△ABC重心G的轨迹方程为________．

解析：设点C(x0，y0)，G(x，y)，则解得因为点C在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9上，所以(x0－1)2＋(y0＋1)2＝9，即(3x－6)2＋(3y－3)2＝9，化简得(x－2)2＋(y－1)2＝1，又因为A，B，C三点不共线，所以要除去两点，.所以重心G的轨迹为以点(2,1)为圆心，1为半径的圆，除掉两点，.

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1

9．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为________．

解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，|PC|最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.所以四边形PACB面积的最小值为＝＝.

答案：

10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程．

解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.

(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.          ①

又∵直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，

∴(a＋1)2＋b2＝40.                                         ②

由①②解得或

∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．

∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

11．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.

(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；

(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2.

化简可得(x－5)2＋y2＝16，故此曲线方程为(x－5)2＋y2＝16.

(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．

由题知直线l2与圆C相切，连接CQ，CM，

则|QM|＝＝，

当CQ⊥l1时，|CQ|取得最小值，|QM|取得最小值，

此时|CQ|＝＝4，故|QM|的最小值为＝4.

[梯度拔高练]

1．已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是(　　)

A．(－2，4)  B．[－2，4]

C．[－4,4]  D．[－4,2]

解析：选B　x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m.当直线x＋y－m＝0过点(－2,0)时，m＝－2.设圆心(0,0)到直线x＋y－m＝0的距离为d，

则即解得m∈[－2，4]．

2．已知点A(－5,0)，B(－1，－3)，若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是(　　)

A．(2，)           B．(2,5) 　 　  C．(1，)　   　 D．(1,5)

解析：选D　由题意可得|AB|＝＝5，根据△MAB和△NAB的面积均为5可得M，N到直线AB的距离均为2，由于直线AB的方程为＝，即3x＋4y＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为＝r＋2，解得r＝1；若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为＝r－2，解得r＝5.故r的取值范围是(1,5)．选D.

3.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝，设点(x，y)∈A，则z＝2x＋y的最大值与最小值之和是(　　)

A．1－2          B．1－          C．1＋        D．1＋2

解析：选B　如图，作直线2x＋y＝0，当直线上移与圆x2＋(y－1)2＝1相切时，z＝2x＋y取最大值，此时，圆心(0,1)到直线2x＋y－z＝0的距离等于1，即＝1，解得z的最大值为＋1，当下移与圆x2＋y2＝4相切时，2x＋y取最小值，同理＝2，即z的最小值为－2，所以z＝2x＋y的最大值与最小值之和是1－.

4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．

解析：设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.又x＋y表示圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(＋1)2＝36，∴dmax＝74.

答案：74

5．已知A(－2,0)，B(0,2)，P是圆C：x2＋y2＋kx－2y＝0上的动点，点M，N在圆C上，且关于直线x－y－1＝0对称.

(1)求圆C的圆心坐标及半径；

(2)求△PAB面积的最大值S.

解：(1)因为点M，N关于直线x－y－1＝0对称，

所以圆心C在直线x－y－1＝0上，

即－－1－1＝0，解得k＝－4，

则圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，

即(x－2)2＋(y－1)2＝5，

所以圆C的圆心坐标为(2,1)，半径为.

(2)由题意得直线AB的方程为x－y＋2＝0，

则圆心C到直线AB的距离为＝＜，

故圆C上的点到AB的最大距离为＋＝，

又|AB|＝2，所以△PAB面积的最大值S＝×2×＝3＋.