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第八章 第八节第四课时 圆锥曲线与圆、向量的综合课件PPT
展开课时跟踪检测(五十八) 圆锥曲线与圆、向量的综合
1.(2021·菏泽模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以M(-a,b),N(a,b),F2和F1为顶点的梯形的高为,面积为3.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设A,B为椭圆C上的任意两点,若直线AB与圆O:x2+y2=相切,求△AOB面积的取值范围.
解:(1)由题意得b=,等腰梯形MNF2F1的面积为×=3,则a+c=3.
又a2-c2=3,解得a=2,c=1,
所以椭圆方程为+=1.
(2)当圆O的切线AB的斜率存在时,设直线AB:y=kx+m,切点为H,连接OH,则OH⊥AB.
联立得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
则x1+x2=,x1x2=.
又因为直线AB与圆O相切,
所以点O到直线AB的距离d== =,得m2=,
|AB|=|x1-x2|
=·
=·
=·
=
= .
①当k≠0时,
因为16k2+24+≥2+24=48,当且仅当k=±时,等号成立,
所以|AB|≤ =.
易知|AB|>,所以<|AB|≤ .
②当k=0时,|AB|=,
由①②可知≤|AB|≤.
又d=,所以S△AOB=|AB|·d=|AB|∈.
当圆O的切线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=±,
代入椭圆方程,可得|AB|=,
则S△AOB=××=.
综上可知,△AOB面积的取值范围为.
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P,Q两点;当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时,△F1PQ的周长为4,且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点M为△POQ内一点,O为坐标原点,满足++=0,若点M恰好在圆O:x2+y2=上,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意知4a=4,∴a=,
直线AF2的方程为y=(x-c).
设直线AF2与椭圆C的另一个交点为,
则解得c=1或c=2(舍去),∴b2=1.
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵++=0,∴点M为△POQ的重心,
∴M.
∵点M在圆O:x2+y2=上,
∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=4.
由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
又Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0,∴1+2k2>m2.
∴x1+x2=-,x1x2=,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=.
∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=2+2=4,
整理得m2=.
又1+2k2>m2,∴1+2k2>,解得k≠0,
∴m2==1+=1+>1,
解得m>1或m<-1.
故实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).
3.已知点E在椭圆C:+=1(a>b>0)上,以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点F2,与y轴相交于A,B两点,且△ABE是边长为2的正三角形.
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知圆O:x2+y2=,设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M,N两点,问:|PM|·|PN|是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
解:(1)由题意可知EF2⊥x轴,则E,
又△ABE是边长为2的正三角形,
则解得a2=9,b2=6,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时,不妨设切线方程为x= ,
由(1)知,M,N,
=,=,
∴·=0,∴OM⊥ON,此时|PM|·|PN|=|OP|2=r2=.
当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时,可设切线方程为y=kx+m.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则= ,
即5m2=18(k2+1).
联立得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-18=0,
得Δ>0,x1+x2=-,x1x2=.
∵=(x1,y1),=(x2,y2),
∴·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)·+km·+m2
===0,
∴OM⊥ON,∴|PM|·|PN|=|OP|2=r2=.
综上所述,|PM|·|PN|=为定值.
4.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点;
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.
解:(1)证明:设D,A(x1,y1),则x=2y1.
因为y′=x,所以切线DA的斜率为x1,故=x1.
整理得2tx1-2y1+1=0.
设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.
故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.
所以直线AB过定点.
(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+.
由可得x2-2tx-1=0.
于是x1+x2=2t,x1x2=-1,
y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,
|AB|=|x1-x2|=·=2(t2+1).
设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,
则d1=,d2=.
因此,四边形ADBE的面积
S=|AB|(d1+d2)=(t2+3).
设M为线段AB的中点,则M.
因为⊥,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,
所以t+(t2-2)t=0,解得t=0或t=±1.
当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4.
所以四边形ADBE的面积为3或4.
5.(2021·石家庄模拟)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)和圆C2:x2+y2=r2(r>0),F1,F2分别为椭圆C1的左、右焦点,点B(0,)在椭圆C1上,当直线BF1与圆C2相切时,r=.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k>0,m>0)与x轴交于点Q,且与椭圆C1和圆C2都相切,切点分别为M,N,记△F1F2M和△QF2N的面积分别为S1和S2,求的最小值.
解:(1)由题意可知b=. ①
设F1(-c,0),则由BF1与圆C2相切时,r=,得=,
即c=. ②
将①②代入a2=b2+c2解得a=2.
所以椭圆C1的方程为+=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
将y=kx+m代入+=1得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,
由直线l与椭圆C1相切得Δ=0,即m2=4k2+3,且
则△F1F2M的面积S1=|F1F2|·y1=.
由直线l与圆C2相切,设O为坐标原点,连接ON,
则ON:y=-x,与y=kx+m联立得
直线l:y=kx+m(k>0,m>0)与x轴交于点Q,则Q.
则△QF2N的面积S2=|QF2|·y2=.
从而==2k+≥2当且仅当k=时等号成立,
所以的最小值为2.
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