2022年高考数学大一轮复习 第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件PPT

课时跟踪检测（六十一）  分类加法计数原理与分步乘法计数原理

[素养落实练]

1．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是(　　)

A．26　　　　　　　　　 B．60

C．18  D．1 080

解析：选A　由分类加法计数原理知有5＋12＋3＋6＝26(种)不同走法．

2．从集合{0,1,2,3,4,5}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)

A．36个  B．30个

C．25个  D．20个

解析：选C　因为a，b互不相等且a＋bi为虚数，所以b只能从{1,2,3,4,5}中选，有5种选法，a从剩余的5个数中选，有5种选法，所以共有虚数5×5＝25(个)，故选C.

3．(2021·保定质检)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)

A．4种  B．6种

C．10种  D．16种

解析：选B　分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)；同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．

4．5 400的正约数有(　　)

A．48个  B．46个

C．36个  D．38个

解析：选A　5 400＝23×33×52,5 400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，所以正约数个数为(3＋1)×(3＋1)×(2＋1)＝48.故选A.

5．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　　)

A．180种  B．360种

C．720种  D．960种

解析：选D　按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．

6．某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有(　　)

A．28种  B．30种

C．27种  D．29种

解析：选A　有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，则有2人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，所以选派的方案有四类：选派两种球都会的运动员有2种方案；选派两种球都会的运动员中一名踢足球，只会打篮球的运动员打篮球，有2×3＝6(种)方案；选派两种球都会的运动员中一名打篮球，只会踢足球的运动员踢足球，有2×4＝8(种)方案；选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球，有3×4＝12(种)方案．综上可知，共有2＋6＋8＋12＝28(种)方案，故选A.

7．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)

A．24  B．48

C．60  D．72

解析：选D　由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有A种排法，所以奇数的个数为3A＝72，故选D.

8. (2021·镇江模拟)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有(　　)

A．120种  B．260种

C．340种  D．420种

解析：选D　由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，

则共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420(种)涂色方案．故选D.

9．(2021·青岛模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有(　　)

A．50种  B．60种

C．80种  D．90种

解析：选C　根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：

若甲选择牛，此时乙的选法有2种，丙的选法有10种，共有2×10＝20种不同的选法；

若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选法有3种，丙的选法有10种，共有2×3×10＝60种不同的选法．

综上，一共有20＋60＝80种选法．

10．从集合{1,2,3,4，…，10}中选出5个数组成该集合的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有(　　)

A．32个  B．34个

C．36个  D．38个

解析：选A　先把数字分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，

由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，

所以从每组中任选一个数字即可，故共有2×2×2×2×2＝32(个)这样的子集．

11．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺)：礼、乐、射、御、书、数，某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有________种．

解析：根据题意，分2种情况讨论：

①“数”排在第一，则剩下的“五艺”全排列，安排在剩下的5节，有A＝120(种)情况．

②“数”不排在第一，则“数”的排法有4种，“射”的排法有4种，剩下的“四艺”全排列，安排在剩下的4节，有A＝24(种)情况，则此时共有4×4×24＝384(种)情况．

综上，共有120＋384＝504(种)排课顺序．

答案：504

12.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．

解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：

第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．

第二类，有两条公共边的三角形共有8个．

由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．

答案：40

13．若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．

解析：当m＝1时，n＝2,3,4,5,6,7，共6个；

当m＝2时，n＝3,4,5,6,7，共5个；

当m＝3时，n＝4,5,6,7，共4个；

当m＝4时，n＝5,6,7，共3个；

当m＝5时，n＝6,7，共2个．

故共有6＋5＋4＋3＋2＝20(个)满足条件的椭圆．

答案：20

14．有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答)．

解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：

第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；

第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；

第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；

第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．

根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．

答案：8

15.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓，则不同的固定螺栓方式的种数是________．

解析：根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号螺栓，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到10种方法，所以总共有10×6＝60(种)方法．

答案：60

[梯度拔高练]

1. 6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中，正视图如图所示，若随机从一头取出一个乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数为________(用数字作答)．

解析：排成一行的6个球，第1个球可从左边取，也可从右边取，有2种可能，同样第2个球也有2种可能，…，第5个球也有2种可能，第6个球只有1种可能，因此不同的排法种数为25＝32.

答案：32

2．设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．

解析：先考虑等边的情况，a＝b＝c＝1,2，…，6，有六个．再考虑等腰的情况，

若a＝b＝1，c<a＋b＝2，此时c＝1，与等边重复；

若a＝b＝2，c<a＋b＝4，则c＝1,3，有两个；

若a＝b＝3，c<a＋b＝6，则c＝1,2,4,5，有四个；

若a＝b＝4，c<a＋b＝8，则c＝1,2,3,5,6，有五个；

若a＝b＝5，c<a＋b＝10，则c＝1,2,3,4,6，有五个；

若a＝b＝6，c<a＋b＝12，则c＝1,2,3,4,5，有五个．

故一共有27个符合题意的三角形．

答案：27

3．若给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有________种．

解析：如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步．

当染边1时有3种染法，则染边2有2种染法．

①当3与1同色时有1种染法，则4有2种，5有1种，此时染法总数为3×2×1×2×1＝12(种)．

②当3与1不同色时，3有1种，当4与1同色时，4有1种，5有2种；当4与1不同色时，4有1种，5有1种，则此时有3×2×1×(1×2＋1×1)＝18(种)．

综合①②，由分类加法计数原理，可得染法的种数为12＋18＝30种．

答案：30

4．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99,3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则

(1)5位回文数有________个；

(2)2n(n∈N*)位回文数有________个．

解析：(1)5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，

第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有9×10×10＝900(种)填法，即5位回文数有900个．

(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．

结合分步乘法计数原理，知有9×10n－1种填法，故答案为9×10n－1.

答案：(1)900　(2)9×10n－1

5．(2020·南通期末)某系列智能手机玻璃版有“星河银”“罗兰紫”“翡冷翠”“亮黑色”四种颜色．若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，且甲购买“亮黑色”或“星河银”时，乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有________种．

解析：根据题意，分2种情况讨论：

①若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则甲有2种选择方法，还剩下3种颜色，

又由乙不购买“罗兰紫”，乙也有2种选择方法，还剩下2种颜色，

剩下的2人选择剩下的2种颜色，有A＝2种选择方法，

则此时有2×2×2＝8种购买方案；

②若甲不购买“亮黑色”或“星河银”，则甲有2种选择方法，还剩下3种颜色，

由其他三人购买，有A＝6种选择方法，则此时有2×6＝12种购买方案．

综上，一共有8＋12＝20种不同的购买方案．

答案：20