2022年高考数学大一轮复习 第十章 第二节 排列与组合课件PPT

课时跟踪检测（六十二）  排列与组合

[素养落实练]

1．(2021·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是(　　)

A．3 600　　　　　　　　　 B．1 440

C．4 820  D．4 800

解析：选A　除甲、乙外，其余5个人排列数为A种，再用甲、乙去插6个空位有A种，不同的排法种数是AA＝3 600(种)．

2．(多选)有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式是(　　)

A．C－CC  B．CC＋CC＋CC＋C

C．C－CC－C  D．CC

解析：选BC　13名医生，其中女医生6人，男医生7人．

利用直接法，2男3女：CC；3男2女：CC；4男1女：CC；5男：C，所以N＝CC＋CC＋CC＋C；利用间接法：13名医生，任取5人，减去4、5名女医生的情况，即N＝C－CC－C，所以能成为N的算式是B、C.

3．6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有(　　)

A．24种  B．36种

C．48种  D．60种

解析：选A　甲、乙两本书摆在两端有A种摆法，因为丙、丁两本书必须相邻，则先将其“捆绑”，与剩下的两本书全排列有A种摆法，丙、丁再排列，有A种摆法，则由分步乘法计数原理得共有AAA＝24种不同的摆法，故选A.

4.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有(　　)

A．18种  B．36种

C．72种  D．108种

解析：选D　先涂3,5,7，有C种方法，再涂2,4.若2,4同色，则有C种方法，此时涂1，有C种方法；若2,4不同色，则有A种方法，此时涂1，有1种方法．根据对称性一共有C·×＝108种涂法，故选D.

5．(多选)(2020·滨州高三期末)2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是(　　)

A．若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种

B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种

C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种

D．所有不同分派方案共43种

解析：选ABC　对于选项A：若C企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共用24＝16种，若C企业派1名医生则有C·23＝32种，所以共有16＋32＝48种．

对于选项B：若每家企业至少分派1名医生，则有·A＝36种．

对于选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，若甲企业分2人，则有A＝6种；若甲企业分1人，则有CCA＝6种，所以共有6＋6＝12种．

对于选项D：所有不同分派方案共有34种．

6．(2020·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)

A．36种  B．24种

C．22种  D．20种

解析：选B　根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法．

7．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　)

A．6  B．12

C．18  D．19

解析：选D　从六科中选考三科的选法有C种，其中不选物理、政治、历史中任意一科的选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C－1＝19种．

8．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　　)

A．300  B．216

C．180  D．162

解析：选C　分两类：

第一类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C·C·A＝72(个)符合要求的四位数；

第二类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C·C·(A－A)＝108(个)符合要求的四位数．

根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个)．

9．(2020·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有(　　)

A．24种  B．28种

C．36种  D．48种

解析：选D　按红红之间有蓝、无蓝两类来分．

(1)当红红之间有蓝时，则有AA＝24(种)．

(2)当红红之间无蓝时，则有CACC＝24(种)．

由分类加法计数原理可知，满足题意的排法共有48种．

10．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)

A．12种  B．18种

C．24种  D．36种

解析：选D　因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．

11．某校2020年元旦晚会对2个相声节目和5个小品节目安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后一个节目不能排相声甲，则不同的排法有________种．

解析：若第一个节目排相声甲，有A＝720(种)排法；若第一个节目排相声乙，则最后一个节目不能排相声甲，有AA＝600(种)排法．

根据分类加法计数原理可得共有720＋600＝1 320(种)排法．

答案：1 320

12．某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法．

解析：法一：在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分为三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C种．故共有C＋A＋C＝84(种)抽调方法．

法二：由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可看作将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C＝84(种)抽调方法．

答案：84

13．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为________．(用数字作答)

解析：根据题意，分2种情况讨论，若甲、乙之中只有一人参加，有C·C·A＝3 600(种)；若甲、乙两人都参加，有C·A·A＝1 440(种)．故不同的安排种数为3 600＋1 440＝5 040.

答案：5 040

14．(2021·湖南师大附中测试)某市政府决定派遣8名干部(5男3女)分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有________种．

解析：两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3,5或4,4，又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为A＝180.

答案：180

15．(2020·湖北八市重点高中联考)从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为________．(用数字作答)

解析：①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C－C＝9.

②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C－C＝9.

③设甲、乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C＝5.

综合①②③得，不同的选法种数为9＋9＋5＝23.

答案：23

[梯度拔高练]

1．(2020·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为(　　)

A．55　　　　　　　　　　 B．59

C．66  D．71

解析：选D　记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0,1,2,7)，(0,1,3,6)，(0,1,4,5)，(0,2,3,5)，(1,2,3,4)，共五组．其中第一组(0,1,2,7)中，7排在首位有A＝6(种)情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有2A＝4(种)情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有        6＋4＋1＝11(种)情形符合题设；第二组中3,6分别排在首位共有2A＝12(种)情形；第三组中4,5分别排在首位共有2A＝12(种)情形；第四组中2,3,5分别排在首位共有3A＝18(种)情形；第五组中2,3,4分别排在首位共有3A＝18(种)情形．依据分类加法计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个)．

2．(2020·南京调研)已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四位顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有(　　)

A．19种  B．26种

C．7种  D．12种

解析：选B　甲付现金或用支付宝或用微信，乙只能付现金，按甲、乙结账方式相同或结账方式不同分类．由题意，结账方法数为A＋2×(2×2＋2×3)＝26.故选B.

3．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是(　　)

A．12  B．24

C．30  D．36

解析：选C　按顺序涂色，第一个圆有三种选择，第二个圆有二种选择，若前三个圆用了三种颜色，则第三个圆有一种选择，后三个圆也用了三种颜色，共有3×2×1×C×C＝24(种)；若前三个圆用了两种颜色，则后三个圆也用了两种颜色，所以共有3×2＝6(种)．综上可得不同的涂色方案的种数是30.

4．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________．

解析：设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n－3)个停车位排好，将这3辆共享汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A种．若有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n－2)个间隔中，故有AA种．因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以A＝AA，解得n＝10.

答案：10

5．(2020·龙岩期末)已知集合A＝{C}，B＝{C，C}，C＝{C，C，C}，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则不同点的个数为________．

解析：不考虑任何限制条件，则不同点的个数为CCA＝36，

由组合数的性质可知C＝C，则坐标中同时含C和C的点的个数为C＝3，

所以所求点的个数为36－(A－3)＝33.

答案：33