2022年高考数学大一轮复习 第十章 第三节 二项式定理第三节 二项式定理课件PPT

课时跟踪检测（六十三）  二项式定理

[素养落实练]

1．在9的展开式中，常数项是(　　)

A．C　　　　　　　　 B．－C

C．8C  D．－8C

解析：选D　9展开式的通项公式为Tr＋1＝C9－r(－2x)r＝C(－2)rx，令＝0，解得r＝3.所以常数项是－8C.

2．(2021·长沙一中高三月考)(2x＋y)(x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)

A．30  B．10

C．－30  D．－10

解析：选D　(x－y)5的展开式中x3y2，x2y3的系数分别为C，－C，

所以(2x＋y)(x－y)5的展开式中x3y3的系数为C－2C＝－10.故选D.

3．若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为(　　)

A．1  B．2

C．129  D．2 188

解析：选C　令x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27.

二项式(2－x)7＝[3－(1＋x)]7的通项Tr＋1＝C37－r(－1)r(1＋x)r，

令r＝7，得T8＝C30[－(1＋x)]7＝－(1＋x)7.∴a7＝－1，

∴a0＋a1＋a2＋…＋a6＝129.

4．(2020·资阳一模)已知(a＋x2)(1＋x)n的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为(　　)

A．30  B．45

C．60  D．81

解析：选B　令x＝0，得a＝2，所以(a＋x2)(1＋x)n＝(2＋x2)(1＋x)n，令x＝1，得3×2n＝192，所以n＝6，故该展开式中x4的系数为2C＋C＝45.故选B.

5.5的展开式中，xy3z的系数为(　　)

A．16  B．8

C．－1  D．－20

解析：选D　因为Tr＋1＝C5－r(2z)r，所以r＝1.

因为4的展开式的通项公式为Tk＋1＝C4－k·(－y)k，所以k＝3，所以xy3z的系数为C×2×C××(－1)3＝－20.

6．已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)

A．512  B．210

C．211  D．212

解析：选A　因为(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，

所以C＝C，解得n＝10，

所以(1＋2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29＝512，故选A.

7．(多选)已知4的展开式中各项系数之和为A，第二项的二项式系数为B，则(　　)

A．A＝256

B．A＋B＝260

C．展开式中存在常数项

D．展开式中含x2项的系数为54

解析：选ABD　令x＝1，得4的展开式中各项系数之和为44＝256，所以A＝256，选项A正确；4的展开式中第二项的二项式系数为C＝4，所以B＝4，A＋B＝260，选项B正确；4的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(3x2)4－rr＝34－rCx8－3r，

令8－3r＝0，则r＝，所以展开式中不存在常数项，选项C错误；令8－3r＝2，则r＝2，所以展开式中含x2项的系数为34－2C＝54，选项D正确．

8．已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　　)

A．5  B．6

C．7  D．8

解析：选B　由题意可知，a＝C，b＝C，

∵13a＝7b，∴13·＝7·，即＝，

解得m＝6.

9．(2021·海口调研)(＋x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为(　　)

A．1  B．20

C．21  D．31

解析：选C　因为(＋x)5展开式的通项为Tk＋1＝C()5－kxk＝C2xk，因此，要使系数为有理数，只需为正整数，又因为0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2,5，

因此系数为有理数的项为C()3x2，x5，

故所求系数之和为20＋1＝21.

10．在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为(　　)

A．5  B．10

C．15  D．20

解析：选B　5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝(－a)rCx5－2r，令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1.又展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C＝10，故选B.

11．(2021·唐山模拟)(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________．(用数字作答)

解析：(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C23(－1)3＝－160.

答案：－160

12．若n的展开式中各项系数之和为256，则n的值为________，展开式中的系数是________．

解析：令x＝1，可得n的展开式中各项系数之和为2n＝256，∴n＝8，

∴n＝8，它的展开式的通项公式Tr＋1＝C·(－1)r·38－r·x8－r.

令8－＝－2，可得r＝6，则展开式中的系数为C·32＝252.

答案：8　252

13．已知n(n∈N*)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p，q，则p＋64q的最小值为________．

解析：显然p＝2n.令x＝1，得q＝.

所以p＋64q＝2n＋≥2＝16，当且仅当2n＝，即n＝3时取等号，此时p＋64q的最小值为16.

答案：16

14．已知(3x＋1)4＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋a4(x＋1)4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________，a2＝________.

解析：令x＝0，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.

令x＝－1，得a0＝16，所以a1＋a2＋a3＋a4＝－15.

(3x＋1)4＝[3(x＋1)－2]4，

其展开式的通项Tr＋1＝C[3(x＋1)]4－r(－2)r＝C(－2)r34－r(x＋1)4－r，

令4－r＝2，得r＝2，所以a2＝C32(－2)2＝216.

答案：－15　216

15.5的展开式中常数项是________．

解析：5表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，

第一种是从五个中分别抽取2x,2x，，，－3，则此时的常数项为C·C·22·

(－3)＝－360；第二种情况是从五个中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝  －243；第三种情况是从五个中分别抽取2x，，－3，－3，－3，则此时的常数项为C·C·21·(－3)3＝－1 080.综上，展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.

答案：－1 683

[梯度拔高练]

1．(2020·衡水调研)设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod10)，则b的值可以是(　　)

A．2 018　　　　　　　　 B．2 019

C．2 020  D．2 021

解析：选D　a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，

它被10除所得余数为1，又a≡b(mod10)，

所以b的值可以是2 021.

2．已知函数f(x)＝10sin x＋x3在x＝0处的切线与直线nx－y＝0平行，则二项式(1＋x＋x2)(1－x)n展开式中x4的系数为(　　)

A．120  B．140

C．135  D．100

解析：选C　由函数的解析式可得：f′(x)＝10cos x＋x2，函数f(x)＝10sin x＋x3在x＝0处的切线与直线nx－y＝0平行，则n＝f′(0)＝10，则二项式(1＋x＋x2)(1－x)n＝(1＋x＋x2)(1－x)10＝(1－x3)·(1－x)9，

∵(1－x)9的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－x)r，

故分别令r＝4，r＝1，可得展开式中x4的系数为C－(－C)＝135.

3．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“01三角”．在“01三角”中，从第1行起，设第n(n∈N*)次出现全行为1时，1的个数为an，则a4等于(　　)

A．13  B．14

C．15  D．16

解析：选D　第1行和第3行全是1，即a1＝2，a2＝4，

依题意，第6行原来的数是C，r＝0,1,2，…，6，而C＝6为偶数，不合题意；

第7行原来的数是C，r＝0,1,2，…，7，即1,7,21,35,35,21,7,1全为奇数，一共有8个，即a3＝8；

第8行原来的数是C，r＝0,1,2，…，8，而C＝8为偶数，不合题意；

第9行原来的数是C，r＝0,1,2，…，9，而C＝36为偶数，不合题意；

第10行原来的数是C，r＝0,1,2，…，10，而C＝10为偶数，不合题意；

第11行原来的数是C，r＝0,1,2，…，11，而C＝330为偶数，不合题意；

第12行原来的数是C，r＝0,1,2，…，12，而C＝12为偶数，不合题意；

第13行原来的数是C，r＝0,1,2，…，13，而C＝78为偶数，不合题意；

第14行原来的数是C，r＝0,1,2，…，14，而C＝14为偶数，不合题意；

第15行原来的数是C，r＝0,1,2，…，15，即1,15,105,455,1 365,3 003,5 005,6 435,6 435,5 005,3 003,1 365,455,105,15,1，全为奇数，即a4＝16.故选D.

4．(多选)(2020·邢台一中高三月考)若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021      x2 021(x∈R)，则(　　)

A．a0＝1

B．a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝

C．a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝

D.＋＋＋…＋＝－1

解析：选ACD　由题意，当x＝0时，a0＝12 021＝1，

当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1，

当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021，

所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－，

a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝.

因为＋＋…＋＝a1×＋a2×2＋…＋a2 021×2 021，

当x＝时，0＝a0＋a1×＋a2×2＋…＋a2 021×2 021，所以a1×＋a2×2＋…＋a2 021×2 021＝－a0＝－1.