2022年高考数学大一轮复习 第十章 第五节 离散型随机变量的分布列及均值、方差课件PPT

课时跟踪检测（六十五）  离散型随机变量的分布列及均值、方差

[素养落实练]

1．已知随机变量X的分布列为

则E(5X＋4)等于(　　)

A．15　　　　　　　　　 B．11

C．2.2  D．2.3

解析：选A　∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，

∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15.

2．若随机变量X的分布列为

则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]　　　　　　 B．[1,2]

C．(1,2]  D．(1,2)

解析：选C　由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，

则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．

3．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且 i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　)

A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4

B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1

C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3

D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2

解析：选B　X的可能取值为1,2,3,4，四种情形的数学期望E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都为2.5，方差D(X)＝[1－E(X)]2×p1＋[2－E(X)]2×p2＋[3－E(X)]2×p3＋[4－E(X)]2×p4，标准差为.

A选项的方差D(X)＝0.65；

B选项的方差D(X)＝1.85；

C选项的方差D(X)＝1.05；

D选项的方差D(X)＝1.45.

可知选项B的情形对应样本的标准差最大．故选B.

4．(2021·福州模拟)口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　)

A.  B.

C．2  D.

解析：选D　因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2,3，所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＝.

5．随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝，则D(3X－2)＝(　　)

A.  B.

C．5  D．7

解析：选C　∵E(X)＝，

∴由随机变量X的分布列得：

解得

∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝，

∴D(3X－2)＝9D(X)＝9×＝5.

6．(2021·赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　)

解析：选C　随机变量ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故选C.

7．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＞1.75，解得p＞或p＜，由p∈(0,1)可得p∈，故选A.

8．某射击选手射击环数的分布列为

若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________．

解析：由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.

答案：40%

9．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和     4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则        P(ξ＝2)＝________.

解析：由题意可知，P(ξ＝2)＝＝.

答案：

10．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和均值．

解：(1)由已知，有P(A)＝＝.

所以事件A发生的概率为.

(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.

则P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝.

所以随机变量X的分布列为

均值E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.

11．(2020·镇江三模)共享单车的出现大大方便了人们的出行．已知某城市有A，B，C，D，E五种共享单车，某人在某周的周一至周五这五天中，每天选择其中任意一种共享单车出行的可能性相同．

(1)求此人在这连续五天的出行中共选择了三种共享单车的概率；

(2)记此人在这连续五天的出行中选择的共享单车的种数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

解：(1)记“此人在这连续五天的出行中共选择了三种共享单车”为事件M，

则事件M包含“某种共享单车用三天，另有两种共享单车各用一天”、“某种共享单车用一天，另有两种共享单车各用两天”两种情况．

所以P(M)＝＝.

(2)易知随机变量X的所有可能的取值为1,2,3,4,5，

由(1)知，P(X＝3)＝，

又P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝4)＝＝，

P(X＝5)＝＝，

则随机变量X的分布列为

所以随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.

[梯度拔高练]

1．设0＜a<，随机变量X的分布列为：

则当a在增大时，(　　)

A．D(X)增大  B．D(X)减小

C．D(X)先增大后减小  D．D(X)先减小后增大

解析：选C　由题意可得，随机变量X的数学期望E(X)＝－2×－1×a＋1×＋2×＝－2a，

随机变量X2的数学期望E(X2)＝(－2)2×＋(－1)2×a＋12×＋22×＝3，

∴随机变量X的方差D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝3－2＝－42＋3，

∴当a在增大时，D(X)先增大后减小，故选C.

2．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：

(1)从这30天中任取2天，求2天的日需求量均为40个的概率．

(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝.现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．

解：(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n＝C，

2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m＝C，

∴2天的日需求量均为40个的概率P＝＝.

(2)设该糕点房制作45个蛋糕时对应的利润为Y，

P(Y＝－20)＝，P(Y＝60)＝，P(Y＝140)＝，P(Y＝180)＝，

∴Y的分布列为

E(Y)＝－20×＋60×＋140×＋180×＝.

∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝，<，

∴此建议不该被采纳．

3．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5 000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每位游客是否购买照片相互独立．

(1)若调整为支付10元就可以带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？

(2)要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？

解：(1)当收费为20元时，照片被带走的概率为0.3，不被带走的概率为0.7，设此时每位游客的利润为Y1(元)，则Y1是随机变量，其分布列为

E(Y1)＝15×0.3－5×0.7＝1(元)，则5 000位游客的利润为5 000元．

当收费为10元时，照片被带走的概率为0.3＋0.05×10＝0.8，不被带走的概率为0.2，设此时每位游客的利润为Y2(元)，则Y2是随机变量，其分布列为

E(Y2)＝5×0.8－5×0.2＝3(元)，则5 000位游客的利润为15 000元．

所以调整价格后，该项目每天的平均利润比调整前多．

(2)设降价x元，则0≤x＜15，照片被带走的概率为0.3＋0.05x，不被带走的概率为0.7－0.05x，设此时每位游客的利润为Y(元)，则Y是随机变量，其分布列为

E(Y)＝(15－x)(0.3＋0.05x)－5(0.7－0.05x)＝0.05[－(x－7)2＋69](元)，

当x＝7时，E(Y)有最大值3.45元，

即当定价为13元时，每天的平均利润最大，为17 250元．