2022高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲充分条件与必要条件全称量词与存在量词学案

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第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词最新考纲考向预测1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.命题趋势含有一个量词的命题的否定和充分必要条件的判定是高考的重点，一般多与集合、函数、不等式、立体几何结合，考查考生的推理能力，考查形式以基础题为主，低档难度.核心素养逻辑推理、数学抽象 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且qp[注意]　不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．2．全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词 量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃(2)全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x，使p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)常用结论1．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，(1)p是q的充分不必要条件⇔AB；(2)p是q的必要不充分条件⇔AB；(3)p是q的充要条件⇔A＝B.2．全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．常见误区1．命题的条件与结论不明确致误；2．含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提而致误；3．对充分必要条件判断不明致误．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)(2)q不是p的必要条件时，“p⇒/ q”成立．(　　)(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　)(4)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√2．(多选)下列命题的否定是全称命题且为真命题的有(　　)A．∃x∈R，x2－x＋<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0解析：选AC.由条件可知：原命题为存在性命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋＝≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为存在性命题且为假命题，故选AC.3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．4．(易错题)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是__________________________．答案：存在两个全等三角形的面积不相等5．已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的________条件．解析：当x－2＝时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2.所以p是q的充要条件．答案：充要　　　　　　全称命题与特称命题[题组练透]1．下列命题中的假命题是(　　)A．∀x∈R，ex＞0 B．∀x∈N，x2＞0C．∃x∈R，ln x＜1 D．∃x∈N*，sin x＝1解析：选B.对于B.当x＝0时，x2＝0，因此B中命题是假命题．2．(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p：∀x∈(0，＋∞)，x≠x，则綈p为(　　)A．∃x∈(0，＋∞)，x＝xB．∀x∈(0，＋∞)，x＝xC．∃x∈(－∞，0)，x＝xD．∀x∈(－∞，0)，x＝x解析：选A.由全称命题的否定为特称命题知，綈p为∃x∈(0，＋∞)，x＝x，故选A.3．(多选)(2021·徐州模拟)下列关于二次函数y＝(x－2)2－1的说法正确的是(　　)A．∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥1B．∀a>－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1<aC．∀a<－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＝aD．∃x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1解析：选BD.对于二次函数y＝(x－2)2－1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝2，最小值为－1，所以∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥－1，所以A项错误；B项，∀a>－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1<a正确；C项，∀a<－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＝a错误；D项，∃x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1正确．4．(2020·盐城模拟)若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是____________．解析：因为命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“∀t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.答案：(－∞，－1]全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真特称命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真[提醒]　因为命题p与綈p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．　 　　　　　　充分条件、必要条件的判断 (1)(2021·镇江质检)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋2x－3>0”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)(2020·高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　)A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件【解析】　(1)解不等式|x－2|<1，即－1<x－2<1，解得1<x<3.解x2＋2x－3>0即(x－1)(x＋3)>0，得x<－3或x>1.记P＝{x|1<x<3}，Q＝{x|x<－3或x>1}．显然PQ，所以“|x－2|<1”是“x2＋2x－3>0”的充分不必要条件．故选A.(2)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内，故选B.【答案】　(1)A　(2)B充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．1．(2020·高考天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.2．(2021·开封市第一次模拟考试)若a，b是非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B.因为a，b为非零向量，a·b>0，所以由向量数量积的定义知，a与b的夹角为锐角或a与b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a·b>0成立．故“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.　　　　　　充分条件、必要条件的探求及应用 已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范围．【解】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由p是q的必要条件，知S⊆P.则所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．【引申探究】1．(变问法)本例条件不变，若x∈P的必要条件是x∈S，求m的取值范围．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，若x∈P的必要条件是x∈S，即x∈S是x∈P的必要条件，所以P⊆S，所以可以得到解得m≥9.故m的取值范围是[9，＋∞)．2．(变问法)本例条件不变，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？解：不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以所以故满足题意的m不存在．利用充要条件求参数的关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．1．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)A．a≥9 B．a≤9C．a≥10 D．a≤10解析：选C.命题∀x∈[1，3]，x2－a≤0⇔∀x∈[1，3]，x2≤a⇔9≤a.则“a≥10”是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.2．(2021·南京调研)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．解析：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是即ac<0.答案：ac<0核心素养系列2　逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎． 已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．【解】　由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为.令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－.当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以解得实数a的取值范围是[－2，0]． (1)理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键．此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围．　 (2)解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质．1．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)2．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．解析：当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m.由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m.所以m≥.答案：