2022高考数学一轮复习第二章不等式第2讲一元二次不等式及其解法学案

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第2讲　一元二次不等式及其解法最新考纲考向预测1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.3.会解一元二次不等式.命题趋势不等式解法是不等式中的重要内容，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点.核心素养数学运算、逻辑推理1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)当a>0时，解集为．(2)当a<0时，解集为．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1＝x2＝－没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅常用结论1．分式不等式的解法(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．(2)≥0(≤0)⇔2．两个恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔常见误区1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．2．解不等式时忽视变形必须等价．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B等于(　　)A．(1，2)　 B．[1，2]C．[1，2) D．(1，2]解析：选D.A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．3．不等式≤0的解集为(　　)A．{x|x<1或x≥3} B．{x|1≤x≤3}C．{x|1<x≤3} D．{x|1<x<3}解析：选C.由≤0，得解得1<x≤3.故选C项．4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．解析：由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，得－4<x<1.答案：(－4，1)5．(易错题)对于任意实数x，一元二次不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：由题可得解得－4<m<0.所以m的取值范围是(－4，0)．　答案：(－4，0)　　　　　　一元二次不等式的解法 解下列关于x的不等式．(1)0<x2－x－2≤4；(2)ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．【解】　(1)原不等式等价于即即解得借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}．(2)因为a>0，原不等式等价于(x－1)<0.①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；②当a>1时，<1，解(x－1)<0得<x<1；③当0<a<1时，>1，解(x－1)<0得1<x<.综上所述，当0<a<1时，解集为；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为.(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集．　 1．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________．解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以原不等式的解集为.答案：2．不等式＋2≥0的解集为________．解析：不等式变为≥0，即解得x>1或x≤.答案：3．解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)．解：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.①当a>0时，－<，解集为；②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；③当a<0时，－>，解集为.综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x或x>}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.　　　　　　一元二次不等式的恒成立问题角度一　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围 (2020·淮安模拟)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．　【解析】　当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立．当a≠2时，则即解得－2<a<2.所以实数a的取值范围是(－2，2]．【答案】　(－2，2]一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0角度二　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围 若不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，则实数m的取值范围是(　　)A．m≤－3或m≥0 B．m≥－3C．－3≤m≤0 D．m≤－3【解析】　因为不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，所以只需m≤(x2－4x)min，x∈[0，1]，令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[0，1]，所以f(x)min＝f(1)＝－3，所以m≤－3.【答案】　D形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])恒成立问题的求解思路(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围．(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．角度三　给定参数范围的恒成立问题 已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为(　　)A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3)【解析】　把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，解不等式组得x<1或x>3.故选C项．【答案】　C已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法．把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解． (2020·苏州模拟)函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．解：(1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6，2]．(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2，2])．令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2，2]，函数图象的对称轴方程为x＝－.当－<－2，即a>4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，舍去；当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；当－>2，即a<－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，所以－7≤a<－4.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2]．(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．只需即解得x≤－3－或x≥－3＋.所以实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．思想方法系列1　转化与化归思想在一元二次不等式中的应用 若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为________．【解析】　设函数f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，因为方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)，如图，所以所以即则－4<m<－2，即实数m的取值范围是(－4，－2)．【答案】　(－4，－2)三个“二次”关系的应用一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间具有内在的、紧密的联系，解题时往往需要把不等式、方程问题转化为函数问题．1．关于x的不等式(x＋b)[(a－1)x＋(1－b)]>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，则关于x的不等式x2＋bx－2a<0的解集为(　　)A．(－2，5) B．C．(－2，1) D．解析：选A.由题意知关于x的方程(x＋b)[(a－1)x＋(1－b)]＝0的实数根为－1和3，则解得a＝5，b＝－3(a＝b＝1舍去)．则不等式x2＋bx－2a<0即为x2－3x－10<0，解得－2<x<5，故不等式x2＋bx－2a<0的解集为(－2，5)．故选A.2．若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．解析：由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需即解得－<m<0.答案：