2022高考数学一轮复习第三章函数概念与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值训练含解析

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第2讲 函数的单调性与最值[A级　基础练]1．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．f(x)＝3－x　　 B．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|解析：选C.当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)A. B．－C．－2 D．2解析：选A.函数f(x)＝－x＋的导数为f′(x)＝－1－，则f′(x)<0，可得f(x)在上单调递减，即f(－2)为最大值，且为2－＝.3．(2020·无锡模拟)若函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是(　　)A．(1，2) B．(－1，2)C．[1，2) D．[－1，2)解析：选D.因为函数y＝＝＝－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f(2)＝0，所以n＝2.根据题意，x∈(m，n]时，ymin＝0.所以m的取值范围是[－1，2)．　4．已知函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有(　　)A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)解析：选A.因为a＋b>0，所以a>－b，b>－a.所以f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，结合选项，可知选A.5．(多选)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是(　　)A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)　C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0解析：选CD.根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f(x1)－f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．6．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．解析：由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象(图略)可知函数的单调递减区间是[1，2]．答案：[1，2]7．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.综上，实数a的取值范围是.答案：8．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________．解析：因为f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，所以解得0<a<.答案：9．求下列函数的值域．(1)f(x)＝(2)y＝x－.解：(1)当x<1时，x2－x＋1＝＋≥；当x>1时，0<<1.因此函数f(x)的值域是(0，＋∞)．(2)y＝x－＝－≥－，所以函数y的值域为.10．已知函数f(x)＝.(1)写出函数f(x)的定义域和值域；(2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值．解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．又f(x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}．(2)由题意可设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝.又0<x1<x2，所以x1x2>0，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数．在x∈[2，8]上，f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(8)＝.[B级　综合练]11．已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则(　　)A．sgn[g(x)]＝sgn xB．sgn[g(x)]＝－sgn xC．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]解析：选B.因为f(x)是R上的增函数，且a>1，所以当x>0时，f(x)<f(ax)，即g(x)<0；当x＝0时，f(x)＝f(ax)，即g(x)＝0；当x<0时，f(x)>f(ax)，即g(x)>0.由符号函数sgn x＝知，sgn [g(x)]＝＝－sgn x.12．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为________．解析：因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，所以实数a的取值范围是0≤a≤2.答案：[0，2]13．已知函数f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．解：(1)证明：设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.综上所述，实数a的取值范围为(0，1]．14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)证明：任取x1，x2∈，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间上是单调递减函数．(3)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f(x)在[2，9]上的最小值为f(9)，由f＝f(x1)－f(x2)得f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.所以f(x)在[2，9]上的最小值为－2.[C级　创新练]15．(多选)对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题中正确的是(　　)A．f(－3.9)＝f(4.1)B．函数f(x)的最大值为1C．函数f(x)的最小值为0D．方程f(x)－＝0有无数个根解析：选ACD.根据符号[x]的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)＝x－[x]的解析式：当－1≤x<0时，[x]＝－1，则f(x)＝x－[x]＝x＋1；当0≤x<1时，[x]＝0，则f(x)＝x－[x]＝x；当1≤x<2时，[x]＝1，则f(x)＝x－[x]＝x－1；当2≤x<3时，[x]＝2，则f(x)＝x－[x]＝x－2.画函数f(x)＝x－[x]的图象如图所示：根据定义可知，f(－3.9)＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－4＝0.1，即f(－3.9)＝f(4.1)，所以A正确；从图象可知，函数f(x)＝x－[x]最高点处取不到，所以B错误；函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；从图象可知y＝f(x)与y＝的图象有无数个交点，即f(x)＝有无数个根，所以D正确．故选ACD.16．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；(2)求F(x)的最小值m(a)．解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，当x>1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．由(x－2)(x－2a)≤0得2≤x≤2a.所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．(2)设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，所以由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，即m(a)＝