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2022高考数学一轮复习第三章函数概念与基本初等函数第4讲函数性质的综合问题学案
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第4讲 函数性质的综合问题
函数的单调性与奇偶性
(1)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为( )
A．[－3，3] B．[－2，4]
C．[－1，5] D．[0，6]
(2)(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是( )
A．f(b)－f(－a)
C．f(a)＋f(－b)
【解析】 (1)因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，
所以－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在[0，6]上为减函数．故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.
(2)函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，
由a>b>0，得f(a)
对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与f(b)<0矛盾，所以B错误；
对于C，f(a)＋f(－b)
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)
1．已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a
C．有最大值－3 D．有最小值－3
解析：选B.根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B.
2．已知偶函数f(x)的定义域为(－3，3)，且f(x)在[0，3)上是减函数，f(m－1)－f(3m－1)>0，则实数m的取值范围是( )
A. B．(－∞，0)∪
C.∪ D．
解析：选C.因为f(x)为偶函数，且在[0，3)上是减函数，
所以f(x)在(－3，0)上是增函数．
f(m－1)－f(3m－1)>0可化为f(m－1)>f(3m－1)，
因为f(x)为偶函数，所以f(m－1)>f(3m－1)即为f(|m－1|)>f(|3m－1|)．
又f(x)在[0，3)上为减函数，
所以
解得m∈∪，故选C.
函数的周期性与奇偶性
(1)(2021·镇江模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝( )
A．6 B．3
C．0 D．－3
(2)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝ ( )
A. B．
C．π D．
【解析】 (1)根据题意，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)．则有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，又由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(0)＝0，则f(3)＝－f(0)＝0.又由当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，得f(1)＝3，f(2)＝f(－1＋3)＝－f(－1)＝f(1)＝3.
f(4)＝f(1＋3)＝－f(1)＝－3，f(5)＝f(2＋3)＝－f(2)＝－3.
则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0，
则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(5)]×336＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝3.故选B.
(2)由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝f(x－2)．
所以f(x＋4)＝f(x)，则y＝f(x)的周期为4.
所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.
【答案】 (1)B (2)B
周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．
1．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( )
A．(－1，4) B．(－2，1)
C．(－1，2) D．(－1，0)
解析：选A.因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即<1，化简得(a－4)(a＋1)<0，解得－1
A．－5 B．5
C．0 D．4 043
解析：选B.由f(x＋8)＋f(x)＝0，得f(x＋8)＝－f(x)，所以f(x＋16)＝－f(x＋8)＝f(x)，故函数y＝f(x)是以16为周期的周期函数．在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝0，得f(8)＋f(0)＝0，因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.故f(8)＝0.故f(2 024)＝f(16×126＋8)＝f(8)＝0.又在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝－3，得f(5)＋f(－3)＝0，得f(5)＝－f(－3)＝f(3)＝5，则f(2 019)＝f(16×126＋3)＝f(3)＝5，所以f(2 019)＋f(2 024)＝5.故选B.
函数的奇偶性、周期性与对称性的综合问题
(1)若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(1)
A．f(x)是周期函数
B．f(x)满足f(x)＝f(4－x)
C．f(x)在(0，2)上单调递减
D．f(x)＝cos 是满足条件的一个函数
【解析】 (1)因为y＝f(x＋2)是偶函数．所以y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(1)＝f(3)．又f(x)在(0，2)上为增函数，所以f(x)在(2，4)上为减函数，所以f
【答案】 (1)B (2)ABD
函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．
函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)( )
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
解析：选B.由f(x)＝f(2－x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数．
思想方法系列4 活用函数性质中的“三个二级”结论
函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
一、奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x) 在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
【解析】 函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
【答案】 2
二、抽象函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 023)＋f(2 024)＝( )
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(－2 023)＝－f(2 023)．
因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．
又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，
所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，
f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3.
故f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋3＝1.
【答案】 C
三、抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称．
(多选)(2021·山东日照联考)已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x＋2)＝－f(x)，且函数f(x－1)为奇函数，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)是周期函数
B．函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称
C．函数f(x)为R上的偶函数
D．函数f(x)为R上的单调函数
【解析】 因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数，故A正确；
因为函数f(x－1)为奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点中心对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，故B正确；
因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，
根据f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝f(－x－1)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为R上的偶函数，故C正确；
因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－1)＝0，又函数f(x)为R上的偶函数，所以f(1)＝0，所以函数f(x)不单调，D不正确．
【答案】 ABC
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