2022高考数学一轮复习第三章函数概念与基本初等函数第6讲指数与指数函数学案

第6讲　指数与指数函数

1．根式

(1)根式的概念

①一般地，如果一个实数x满足xn＝a(n＞1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根．式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

xn＝a⇒

(2)根式的性质

①()n＝a(n∈N*，且n>1)．

②＝

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；

③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

常用结论

指数函数图象的特点

(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．

(2)函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．

(3)指数函数y＝ax与y＝bx的图象特征：在第一象限内，图象越高，底数越大；在第二象限内，图象越高，底数越小．

常见误区

解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进行分类讨论．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)＝()n＝a.(　　)

(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)

(3)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　)

(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)

(5)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)

(6)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×

2．化简(x<0，y<0)得(　　)

A．2x2y　　　　　　　 B．2xy

C．4x2y D．－2x2y

解析：选D.因为x<0，y<0，

所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.

3．已知当x>0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　)

A. B．(－∞，1)

C．(1，＋∞) D.

解析：选C.根据指数函数性质知3a－2>1，解得a>1.故选C.

4．(易错题)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________．

解析：由题意知＝a2，所以a＝，

所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.

答案：

5．(易错题)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，则实数a的值为________．

解析：当0<a<1时，a－a2＝，

所以a＝或a＝0(舍去)．

当a>1时，a2－a＝，

所以a＝或a＝0(舍去)．

综上所述，a＝或a＝.

答案：或

　　　　　　指数幂的化简与求值

[题组练透]

1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)

A．(－2)－2＝4　　　　 B．2a－3＝

C．(－2)0＝－1 D．(a－)4＝

解析：选D.对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a－)4＝.

2．计算：－＋＋(0.002)－＝________．

解析：原式＝－＋＋

＝－＋＋10＝10.

答案：10

3．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________．

解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，

所以(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.

所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7.

答案：7

4．化简下列各式：

(1)[(0.064)－2.5]－ －π0；

(2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3).

解：(1)原式＝－－1＝－－1＝－－1＝－－1＝0.

(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝－a－b－3÷(a·b－)＝－a－·b－＝－·＝－.

[提醒]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．　

　　　　　　指数函数的图象及应用

(1)已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　)

(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．

【解析】　(1)y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增；y1＝与y3＝10－x＝在R上单调递减，在第一象限内作直线x＝1(图略)，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.

(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．

【答案】　(1)A　(2)(－∞，0]

【引申探究】

1．(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．

解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，

故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有惟一的交点，所以函数f(x)有一个零点．

答案：{0}∪[1，＋∞)

2．(变条件)若本例(2)的条件变为：若函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．

解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．

由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．

答案：(－∞，－1]

指数函数图象问题的求解策略

1．(2020·南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0 B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0

解析：选D.由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

2．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．

解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．

(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即0＜a＜；

(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．

所以0＜a＜.

答案：

　　　　　　指数函数的性质及应用

角度一　比较指数幂的大小

(2021·宿州质检)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则　(　　)

A．a>b>c B．a>c>b

C．b>c>a D．c>b>a

【解析】　方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a<b，由幂函数y＝x0.5在定义域内单调递增，得c>b，故选D.

方法二：因为＝0.3<1，且＝<1，又a，b，c都为正数，所以c>b>a，故选D.

【答案】　D

比较指数幂大小的常用方法

一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．

二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．

三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．　

角度二　解简单的指数方程或不等式

(1)若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是(　　)

A. B.

C. D．[2，＋∞)

(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．

【解析】　(1)因为2x2＋1≤＝24－2x，

则x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，

所以－3≤x≤1，所以≤y≤2.

(2)当a<1时，41－a＝21，解得a＝；当a>1时，不成立应舍去．故a的值为.

【答案】　(1)B　(2)

解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．　

角度三　研究指数型函数的性质

(1)函数f(x)＝的单调递减区间为________．

(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．

【解析】　(1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，

所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．

(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4]

求指数型复合函数的单调区间和值域的方法

(1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．

(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：

当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；

当0<a<1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反．　

1．若函数f(x)＝a|x＋1|(a>0且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　)

A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)

C．f(－4)<f(1) D．不能确定

解析：选A.由题意知a>1，所以f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由指数函数的单调性知a3>a2，所以f(－4)>f(1)．

2．若函数f(x)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2] B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]

解析：选B.将原函数看成复合函数f(x)＝，u＝|x－2|，f(x)是关于u的减函数，u在[2，＋∞)为增函数，在(－∞，2]为减函数，由复合函数的性质知，f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．

3．定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为(　　)

A. B．1

C. D．2

解析：选B.如图是函数y＝2|x|值域为[1，2]上的图象，使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的区间长度最小的区间为[－1，0]，[0，1]，区间长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.

高考新声音系列2　德育为先，立德树人——以德育为背景的高考试题

道德源于生活，以德育为背景的考题，多以民族精神、理想信念、道德品质、文明行为、社会公德、遵纪守法、心理健康等生活内容为题材，考查学生的数学建模、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．

(2020·新高考卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)

A．1.2天　　　　　　 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

【解析】　因为R0＝1＋rT，所以3.28＝1＋6r，所以r＝0.38.

若则e0.38(t2－t1)＝2，0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B.

【答案】　B

例题以新冠肺炎为背景设计，情境贴近实际，引导学生关注现实社会，体现了品德教育的素养导向，着重考查学生的理性思维以及使用数学模型解决实际问题的能力．　

(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝(R＋r).设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　)

A.R　　B.R　　C.R　　D.R

解析：选D.由＋＝(R＋r)，得＋＝M1.因为α＝，所以＋＝(1＋α)M1，得＝.由≈3α3，得3α3≈，即3≈，所以r≈·R，故选D.