2022高考数学一轮复习第三章函数概念与基本初等函数第10讲函数模型及其应用学案

这是一份2022高考数学一轮复习第三章函数概念与基本初等函数第10讲函数模型及其应用学案，共10页。
第10讲　函数模型及其应用最新考纲考向预测1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用.命题趋势考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，预计高考对本讲考查将延续近几年的考查风格，各种题型均有可能，属中档题.核心素养数学建模、数学运算 1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同 常用结论1．“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．(2)当x>0时，x＝时取最小值2；当x<0时，x＝－时取最大值－2.2．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．常见误区1．解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，考生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．2．解应用题建模后一定要注意定义域．3．解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比一次函数增长更快．(　　)(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　)(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是(　　)A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　)A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．4．(易错题)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．　解析：由题意可得y＝答案：y＝5．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18 时，L(x)有最大值．答案：18　　　　　　用函数图象刻画变化过程[题组练透]1．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是(　　)A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D．最后两小时内，该车间没有生产该产品解析：选BD.由题图得，前三小时的产量在逐步减少，故A错误，B项正确；最后两小时内没有生产产品，故C项错误，D项正确．故选BD.2．(2020·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　)解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.3．(多选)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置不可能是图1中的(　　)A．点M　　　　　　　 B．点NC．点P D．点Q解析：选ABC.假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小时的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，故选ABC. 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．　 　　　　　　已知函数模型求解实际问题 人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg .一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的(　　)A．1倍 B．10倍C．100倍 D．1 000倍【解析】　设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为x1W/m2，x2W/m2，根据题意得d(x1)＝9lg ＝63，解得x1＝10－6，d(x2)＝9lg ＝54，解得x2＝10－7，所以，＝10，因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B.【答案】　B 求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．　 据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知某工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　)A．75，25 B．75，16C．60，25 D．60，16解析：选D.由题意可知4<A，则解得　　　　　　构建函数模型解决实际问题角度一　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 (2021·济南一中月考)响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】　(1)因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元．依题意得当0<x<8时，P(x)＝6x－－2＝－x2＋4x－2，当x≥8时，P(x)＝6x－－2＝35－.故P(x)＝(2)当0<x<8时，P(x)＝－(x－6)2＋10.此时，当x＝6时，P(x)取最大值，最大值为10万元．当x≥8时，P(x)＝35－≤35－2＝15(当且仅当x＝，即x＝10时，取等号)．此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，最大值为15万元．因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 建模解决实际问题的三个步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．(2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．(3)回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．即：[提醒]　(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．　 角度二　构建指数、对数函数模型 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2020年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)A．2022年 B．2023年C．2024年 D．2025年【解析】　若2021年是第1年，则第n年全年投入的科研经费为1 300×1.12n万元，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12>lg 2，所以n×0.05>0.19，得n>3.8，即n≥4，所以第4年，即2024年全年投入的科研经费开始超过2 000万元，故选C.【答案】　C 指数型、对数型函数模型(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．　 1．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y与x的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析：年销售总收入减去年总投资即可得到年利润，年总投资为(x＋100)万元，故函数关系式为y＝当0<x≤20时，x＝16时函数值最大，且最大值为156；当x>20时，y<140.故年产量为16件时，年利润最大．答案：y＝　162．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109，5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．　答案：6　10 000高考新声音系列3　数学与美育教育——“断臂维纳斯”身高推演2019年高考全国卷Ⅰ数学第4题考查了断臂维纳斯的身高，此题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为命题背景，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育，考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算的核心素养．我们应该为这次高考数学命题者点一个赞，让维纳斯进入了高考数学，可以说这是一次全国性的数学美的普及活动，使人们对抽象的数学不得不刮目相看．从该题的命题立意、命题导向、解题途径等方面来看，这道网红题可圈可点． (2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　　)A．165 cm　　　　　　　 B．175 cmC．185 cm D．190 cm【解析】　26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，故其身高可能是175 cm，故选B.【答案】　B 本题涉及了“黄金比”和“断臂维纳斯”，并渗透了估值思想．以往高考试题中往往选择中国古代《九章算术》中的数学文化题，这一网红题选择大家熟悉的黄金分割为背景，通过设置真实情景，引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培养，使学生能够灵活运用所学知识分析问题和解决问题．　 中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②函数f(x)＝ln(x2＋)可以是某个圆的“优美函数”；③函数y＝1＋sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y＝2x＋1可以同时是无数个圆的“优美函数”；⑤函数y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．其中正确的命题是________．(填序号)解析：①对于任意一个圆O，其对称轴有无数条，所以其“优美函数”有无数个，①正确；②函数f(x)＝ln(x2＋)的定义域为R，值域为[0，＋∞)，其图象关于y轴对称，且在x轴及其上方，故不可以是某个圆的“优美函数”，②错误；③根据y＝sin x的图象可知函数y＝1＋sin x的图象可以将圆的周长和面积平分，又y＝1＋sin x的图象可以延伸，所以可以同时是无数个圆的“优美函数”，③正确；④函数y＝2x＋1的图象只要过圆心，就可以同时是无数个圆的“优美函数”，④正确；⑤错误，有些中心对称图形对应的函数不一定是圆的“优美函数”，比如“双曲线”．答案：①③④