沪科版九年级下册第26章 概率初步综合与测试当堂检测题

沪科版九年级数学下册第26章概率初步章节测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、以下事件为随机事件的是（    ）

A．通常加热到100℃时，水沸腾

B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

C．任意画一个三角形，其内角和是360°

D．半径为2的圆的周长是

2、在一个不透明的盒子中装有红球、白球、黑球共40个，这些球除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从盒子中摸出一个球记录颜色后放回．经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在30%左右，则盒子中红球的个数约为（    ）

A．12 B．15 C．18 D．23

3、任意掷一枚骰子，下列事件中：①面朝上的点数小于1；②面朝上的点数大于1；③面朝上的点数大于0，是必然事件，不可能事件，随机事件的顺序是（    ）

A．①②③ B．①③② C．③②① D．③①②

4、下列事件是必然事件的是（　　）

A．抛一枚硬币正面朝上

B．若a为实数，则a2≥0

C．某运动员射击一次击中靶心

D．明天一定是晴天

5、某学校九年级为庆祝建党一百周年举办“歌唱祖国”合唱比赛，用抽签的方式确定出场顺序．现有8根形状、大小完全相同的纸签，上面分别标有序号1、2、3、4、5、6、7、8．下列事件中是必然事件的是（    ）

A．一班抽到的序号小于6 B．一班抽到的序号为9

C．一班抽到的序号大于0 D．一班抽到的序号为7

6、 “2022年春节期间，中山市会下雨”这一事件为（    ）

A．必然事件 B．不可能事件 C．确定事件 D．随机事件

7、一个不透明的袋子里装有黄球18个和红球若干，小明通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里有红球（    ）个．

A．12 B．15 C．18 D．54

8、成语“守株待兔”描述的这个事件是（　　）

A．必然事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．随机事件

9、在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中黑球1个，红球2个，从中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黑色的概率是（　　）

A． B． C． D．

10、为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门加大了实地督查的力度，对我校学生的作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”要求的落实情况进行抽样调查，计划从“五项管理”中随机抽取两项进行问卷调查，则抽到“作业”和“手机”的概率为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个红球和m个黄球，随机从袋中摸出个球记录下颜色，再放回袋中摇匀大量重复试验后，发现摸出红球的频率稳定在0.2附近，则m的值为_________．

2、社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率约为_______．

3、在不透明的袋中装有仅颜色不同的一个红球和一个蓝球，从此袋中随机摸出一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的球颜色不同的概率是______

4、在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是________．

5、如图，一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6个大小相同的扇形，指针是固定的，当转盘停止时，指针指向任意一个扇形的可能性相同（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．把部分扇形涂上了灰色，则指针指向灰色区域的概率为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，转盘黑色扇形和白色扇形的圆心角分别为120°和240°．

（1）让转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率是多少？

（2）让转盘自由转动两次，请用树状图或者列表法求出两次指针都落在白色区域的概率．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转）

2、已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0．

（1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根．

（2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率．

3、为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：基本了解；C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有        人；

（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；

（3）全校约有学生1500人，估计“A”等级的学生约有多少人？

（4）九年一班从“A”等级的甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到甲、丁同学的概率．

4、苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”．小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是________，那么成活率是________

（2）随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是________

（3）若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活________；

（4）若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论正确吗？说明理由．

5、 “双减”意见下，各级教育行政部门都对课后作业作了更明确的要求．为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40—70分钟以内完成”，C表示“70—90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

（1）这次调查的总人数是           人；

（2）扇形统计图中，B类扇形的圆心角是           °；

（3）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

【详解】

解：A．通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件；

B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件；

C．任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件；

D．半径为2的圆的周长是是必然事件；

故选：B．

【点睛】

考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

2、A

【分析】

由题意可设盒子中红球的个数x，则盒子中球的总个数x，摸到红球的频率稳定在30%左右，根据频率与概率的关系可得出摸到红球的概率为30%，再根据概率的计算公式计算即可．

【详解】

解：设盒子中红球的个数x，根据题意，得：

解得x=12，

所以盒子中红球的个数是12，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了利用频率估计概率以及概率求法的运用，利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=；频率与概率的关系生：一般地，在大量的重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为p．

3、D

【分析】

必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是一定不会发生的事件；随机事件是某次试验中可能发生也可能不发生的事件；面朝上可能结果为点数；根据要求判断，进而得出结论．

【详解】

解：①中面朝上的点数小于是一定不会发生的，故为不可能事件；

②中面朝上的点数大于是有可能发生有可能不发生的，故为随机事件；

③中面朝上的点数大于是一定会发生的，故为必然事件．

依据要求进行排序为③①②

故选D．

【点睛】

本题考察了事件．解题的关键在于区分各种事件的概念．

4、B

【分析】

根据必然事件的定义对选项逐个判断即可．

【详解】

解：A、抛一枚硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意；

B、若a为实数，则a2≥0，是必然事件，符合题意；

C、某运动员射击一次击中靶心，是随机事件，不符合题意；

D、明天一定是晴天，是随机事件，不符合题意，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了必然事件的定义，熟练掌握必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件是解题的关键．

5、C

【分析】

必然事件，是指在一定条件下一定会发生的事件；根据必然事件的定义对几个选项进行判断，得出答案．

【详解】

解：A中一班抽到的序号小于是随机事件，故不符合要求；

B中一班抽到的序号为是不可能事件，故不符合要求；

C中一班抽到的序号大于是必然事件，故符合要求；

D中一班抽到的序号为是随机事件，故不符合要求；

故选C．

【点睛】

本题考察了必然事件．解题的关键在于区分必然、随机与不可能事件的含义．

6、D

【分析】

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

【详解】

解：“2022年年春节期间，中山市会下雨”这一事件为随机事件，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

7、A

【分析】

根据“大量重复试验中事件发生的频率逐渐稳定到的常数可以估计概率”直接写出答案即可．

【详解】

解：设有红色球x个，

根据题意得：，

解得：x=12，

经检验，x=12是分式方程的解且符合题意．

故选:

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够根据摸到红球的频率求得红球的个数．

8、D

【分析】

根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．

【详解】

解：“守株待兔”是随机事件．

故选D．

【点睛】

本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

9、B

【分析】

用黑色的小球个数除以球的总个数即可解题．

【详解】

解：从中摸出一个小球，共有3种可能，其中摸出的小球是黑色的情况只有1种，

故摸出的小球是黑色的概率是：

故选：B．

【点睛】

本题考查概率公式，解题关键是掌握随机事件发生的概率．

10、C

【分析】

根据列表法或树状图法表示出来所有可能，然后找出满足条件的情况，即可得出概率．

【详解】

解：将作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”简写为：业、睡、机、读、体，利用列表法可得：

根据表格可得：共有20种可能，满足“作业”和“手机”的情况有两种，

∴ 抽到“作业”和“手机”的概率为：，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．

二、填空题

1、8

【分析】

首先根据题意可取确定摸出红球的概率为0.2，然后根据概率公式建立方程求解即可．

【详解】

解：∵大量重复试验后，发现摸出红球的频率稳定在0.2附近，

∴摸出红球的概率为0.2，

由题意，，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

故答案为：8．

【点睛】

本题考查由频率估计概率，以及已知概率求数量；大量重复试验后，某种情况出现的频率稳定在某个值附近时，这个值即为该事件发生的概率，掌握概率公式是解题关键．

2、

【分析】

根据“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，即可得出“摸出黑球”的概率．

【详解】

解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2，

故答案为：0.2．

【点睛】

本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率．

3、

【分析】

根据题意，列表分析所有可能，然后运用概率公式求解即可．

【详解】

解：列表如下，表示红球，表示蓝球

总共4种情况，两次摸出的球颜色不同的2种．

所以两次摸出的球颜色不同的概率是

故答案是：．

【点睛】

本题考查了列表法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．

4、##

【分析】

用列举的方法一一列出可能出现的情况，进而即可求得恰好是红球的概率．

【详解】

解：根据题意，可能出现的情况有：

红球；红球；红球；黑球；黑球；

则恰好是红球的概率是，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了简单概率的计算，通过列举法进行计算是解决本题的关键．

5、

【分析】

指针指向灰色区域的概率就是灰色区域的面积与总面积的比值，计算面积比即可．

【详解】

解：观察转盘灰色区域的面积与总面积的比值为

故答案为：．

【点睛】

本题考查几何概率．解题的关键在于求出所求事件的面积与总面积的比值．

三、解答题

1、（1）；（2）见解析，

【分析】

（1）将120°作为1份，可知白色扇面占2份，黑色扇面占1份，利用概率公式计算即可；

（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出概率可得．

【详解】

解：（1）将120°作为1份，可知白色扇面占2份，黑色扇面占1份，它们发生的可能性相同，让转盘自由转动一次，共三种可能，指针落在白色区域有2种，所以，概率是；

（2）设白色扇形两块和黑色扇形的一块分别为1，2，3，

画树状图得：

由树状图知共有9种等可能结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种结果，

所以指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为．

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

2、（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）把c＝2b﹣1代入x2+bx+c＝0．利用一元二次方程根的判别式即可得答案；

（2）根据方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，利用判别式可得b与c的关系，画出树状图，得出所有可能情况数及符合b与c的关系的情况数，利用概率公式即可得答案．

【详解】

（1）∵c＝2b﹣1，

∴x2+bx+c＝x2+bx+2b=0．

∵==≥0,

∴方程一定有两个实数根．

（2）∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，

∴=0，

∴，

画树状图如下：

由树状图可知：所有可能情况数为12种，符合的情况数为2种，

∴b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率为=．

【点睛】

本题考下一元二次方程的根的判别式及树状图法或列表法求概率，对于一元二次方程（），根的判别式为△=，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；熟练掌握根的判别式及概率公式是解题关键．

3、（1）40；（2）72°，见解析；（3）225人；（4）

【分析】

（1）C组：了解很少这个小组有人，占比由可得答案；

（2）利用组占比乘以即可得到组所占的圆心角的大小，再求解组人数，补全图形即可；

（3）由乘以A组的占比即可得到答案；

（4）先列表，可得所有的等可能的结果有种，刚好抽到甲和丁同学的情况有2种，再利用概率公式可得答案．

【详解】

解：（1） C组：了解很少这个小组有人，占比

接受问卷调查的学生共有人，

故答案为： ；

（2）组占比：

扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：

，

组人数为：

所以补全条形统计图如下：

（3）全校约有学生1500人，估计“A”等级的学生约有：

（人）；

（4）列表如下：

所有的等可能的结果有种，刚好抽到甲和丁同学的情况有2种，

所以刚好抽到甲和丁同学的概率是：．

【点睛】

本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，扇形的圆心角的计算，补画条形图，利用样本估计总体，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握以上基础知识是解题的关键．

4、

（1）6335；0.905；

（2）0.900；

（3）9000棵；

（4）此结论不正确，理由见解析

【分析】

（1）根据表格中的数据求解即可；

（2）随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；

（3）利用成活数=总数×成活概率即可得到答案；

（4）根据概率只是用来衡量在一定条件下，某事件发生的可能性大小，并不代表事件一定会发生，即可得到答案．

（1）

解：由表格可知，当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是6335，

∴成活率，

故答案为：6335；0.905；

（2）

解：∵大量重复试验下，频率的稳定值即为概率值，

∴可以估计树苗成活的概率是0.900，

故答案为：0.900；

（3）

解：由题意得：若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活课树苗，

故答案为：9000棵；

（4）

解：若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论不正确，理由如下：

∵概率只是用来衡量在一定条件下，某事件发生的可能性大小，并不代表事件一定会发生，

∴若小王移植20000棵这种树苗，不一定能成活18000棵，只能说是可能成活18000棵．

【点睛】

本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

5、（1）40；（2）108；（3）

【分析】

（1）根据A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数；

（2）用360°乘以B类别人数所占比例即可；

（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8种，再根据概率公式求解即可．

【详解】

解：（1）参加这次调查的学生总人数为6÷15%=40（人）；

故答案为：40；

（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是360°×=108°，

故答案为：108；

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果为8种，

∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为．

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法，正确画树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了统计图．