高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习07《函数与方程、函数的实际应用》 (教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习07《函数与方程、函数的实际应用》 (教师版)，共9页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
刷题增分练 7　函数与方程、函数的实际应用刷题增分练⑦   小题基础练提分快一、选择题1．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)A．0,2　　　B．0，     C．0，－  D．2，－答案：C解析：由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.2．函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是(　　)A．(1,2)  B．(2,3)      C．(3,4)  D．(4,5)答案：B解析：易知f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)在(1，＋∞)上单调递减且连续，当1<x<2时，ln(x－1)<0，>0，所以f(x)>0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．f(2)＝1－ln1＝1，f(3)＝－ln2＝＝，＝2≈2.828>e，所以8>e2，即ln8>2，所以f(3)<0.所以f(x)的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B.3．函数f(x)＝x0.5－x的零点个数为(　　)A．0  B．1        C．2  D．3答案：B解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝x与y＝x的图象，如图所示．由图知，两个函数图象只有一个交点，所以函数f(x)的零点只有1个．故选B.4．有一组试验数据如下所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04则最能体现这组数据关系的函数模型是(　　)A．y＝2x＋1－1   B．y＝x2－1   C．y＝2log2x    D．y＝x3答案：B解析：由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C不正确．取x＝2.01，代入A选项，得y＝2x＋1－1>4，代入B选项，得y＝x2－1≈3，代入D选项，得y＝x3>8；取x＝3，代入A选项，得y＝2x＋1－1＝15，代入B选项，得y＝x2－1＝8，代入D选项，得y＝x3＝27，故选B.5．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(0,1]  B．[1，＋∞)    C．(0,1)  D．(－∞，1]答案：A解析：画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0<a≤1；当x>0时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0<a≤1，故选A.6．设函数y＝x2与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在区间是(　　)A．(0,1)  B．(1,2)       C．(2,3)  D．(3,4)答案：B解析：函数y＝x2与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，x0是方程x2＝x－2的解，也是函数f(x)＝x2－x－2的零点．∵函数f(x)单调递增，f(2)＝22－1＝3>0，f(1)＝1－2＝－1<0，∴f(1)·f(2)<0.由零点存在性定理可知，方程的解在(1,2)内．故选B.7．设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)(　　)A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点答案：D解析：由f(x)＝x－lnx(x>0)得f′(x)＝，令f′(x)>0得x>3，令f′(x)<0得0<x<3，令f′(x)＝0得x＝3，所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln3<0，又f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．故选D.8．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的图象与x轴的交点个数为(　　)A．3  B．2      C．0  D．4答案：A解析：y＝f(f(x))－1＝0，即f(f(x))＝1.当f(x)≤0时，得f(x)＋1＝1，f(x)＝0.所以log2x＝0，得x＝1；由x＋1＝0，得x＝－1.当f(x)>0时，得log2f(x)＝1，所以f(x)＝2.由x＋1＝2，得x＝1(舍去)；由log2x＝2，得x＝4.综上所述，函数y＝f(f(x))－1的图象与x轴的交点个数为3.故选A.二、非选择题9．已知函数f(x)＝－log2x的零点为x0，若x0∈(k，k＋1)，其中k为整数，则k＝________.答案：2解析：由题意得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(1)＝3>0，f(2)＝－log22＝>0，f(3)＝1－log23<0，∴f(2)f(3)<0，∴函数f(x)＝－log2x的零点x0∈(2,3)，∴k＝2.10．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．答案：(－2,1)解析：通解　设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.故实数a的取值范围为(－2,1)．优解　函数f(x)的大致图象如图所示，则f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2<a<1.故实数a的取值范围是(－2,1)．11．某创业团队拟生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比(如图1)，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)(注：利润与投资额的单位均为万元)．若该团队已经筹到10万元资金，并打算全部投入到A，B两种产品的生产中，则生产A，B两种产品可获得的最大利润为________万元．答案：解析：由题意可得，生产A产品的利润f(x)＝k1x，生产B产品的利润g(x)＝k2.又f(1)＝0.25＝k1，g(4)＝2k2＝2.5，k2＝，所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．设生产A，B两种产品可获得的利润为y万元，B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为(10－x)万元，则y＝f(10－x)＋g(x)＝(10－x)＋(0≤x≤10)，令t＝(0≤t≤)，则y＝－t2＋t＋＝－2＋(0≤t≤)，所以当t＝，即x＝时，生产A，B两种产品可获得最大利润，且最大利润为万元．12. 渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空间率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)，则鱼群年增长量的最大值是________．答案：解析：由题意，空闲率为1－，∴y＝kx，定义域为(0，m)，y＝kx＝－2＋，∵x∈(0，m)，k>0，∴当x＝时，ymax＝.刷题课时增分练⑦                 综合提能力　课时练　赢高分一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)A．y＝log2|x|  B．y＝2x－1    C．y＝lnx     D．y＝x2＋1答案：A解析：由于y＝2x－1，y＝lnx是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝log2|x|是偶函数又有零点，故选A.2．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是(　　)答案：C解析：由三视图可知，该容器上部分为圆台下部分是一个与上部分形状相同的倒放的圆台，所以水面高度随时间的变化为先慢后快再慢的情况．故选C.3．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)A．0  B．1      C．2  D．3答案：C解析：令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C.4．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m的取值范围是(　　)A.  B.    C.    D.答案：C解析：依题意并结合函数f(x)的图象可知，即解得<m<.5．函数f(x)＝－|x|－＋3的零点所在区间为(　　)A．(0,1)  B．(1,2)     C．(2,3)  D．(3,4)答案：B解析：∵f(x)的定义域为[0，＋∞)，∴f(x)＝－|x|－＋3＝－x－＋3，则函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减．∵f(1)＝1>0，f(2)＝1－<0，∴函数f(x)＝－|x|－＋3的零点所在区间为(1,2)．故选B.6．已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　)A．(0,1)  B．(0,2)      C．(0,2]  D．(0，＋∞)答案：A解析：由f(x)－a＝0得a＝f(x)．画出函数y＝f(x)的图象如图所示，且当x≥3时，函数y＝f(x)的图象以直线y＝1为渐近线．结合图象可得当0<a<1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有三个不同的交点，故若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(0,1)．故选A.7．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝，Q＝(a>0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为(　　)A.  B．5        C.  D．2答案：A解析：设投入x万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝＋·.令y≥5，则＋·≥5对0≤x≤20恒成立．∴a≥10－，∴a≥对0≤x<20恒成立．∵f(x)＝的最大值为，且x＝20时，a≥10－也成立，∴amin＝.故选A.8．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln2，则p(60)＝(　　)A．150毫克/升     B．300毫克/升C．150ln2毫克/升  D．300ln2毫克/升答案：C解析：因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln2，所以－10ln2＝，所以p0＝600ln2，因为p(t)＝p02，所以p(60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升)．二、非选择题9．已知函数f(x)＝log2x＋2x－m有唯一零点，若它的零点在区间(1,2)内，则实数m的取值范围是____________．答案：(2,5)解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数的零点在区间(1,2)内，所以f(1)f(2)<0，即(log21＋21－m)·(log22＋22－m)<0⇒(2－m)(5－m)<0，解得2<m<5，所以实数m的取值范围是(2,5)．10．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则g(x0)等于________．答案：2解析：∵f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－>0，∴x0∈(2,3)，∴g(x0)＝[x0]＝2.11．我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN矩形健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10,20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为元(k为正常数)．(1)试用x表示S，并求S的取值范围；(2)求总造价T关于面积S的函数T＝f(S)；(3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)?解析：(1)在Rt△PMC中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝(30－x)，∴矩形AMPN的面积S＝|PM|·|AM|＝x(30－x)，x∈[10,20]，∴200≤S≤225.即S的取值范围[200，225]．(2)矩形AMPN健身场地造价T1＝37k，又∵△ABC的面积为450，∴草坪造价T2＝(450－S)．∴总造价T＝T1＋T2＝25k，(200≤S≤225)．(3)∵＋≥12，当且仅当＝，即S＝216时等号成立，此时x(30－x)＝216，解得x＝12或x＝18.答：选取|AM|为12米或18米时总造价T最低．