高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习17《平面向量的基本定理及坐标表示》 (教师版)

刷题增分练 17　平面向量的基本定理及坐标表示

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一、选择题

1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，则|2a－b|＝(　　)

A.　　B．2

C.   D．10

答案：C

解析：由已知，易得2a－b＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a－b|＝＝.故选C.

2．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)

A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)

B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)

C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝

答案：B

解析：两个不共线的非零向量构成一组基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，故选B.

3．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)

①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；

③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝.

④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.

A．①②  B．②③

C．③④  D．②

答案：B

解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B.

4．若向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则a＋b的坐标为(　　)

A．(1,5)  B．(1,1)

C．(3,1)  D．(3,5)

答案：A

解析：∵向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，∴a＋b＝(1,5)．故选A.

5．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)

A.－  B.－      C.＋  D.＋

答案：A

解析：作出示意图如图所示．

＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.

故选A.

6．已知向量a＝，b＝(cosα，1)，α∈，且a∥b，则sin＝(　　)

A．－       B.       C.        D．－

答案：C

解析：因为向量a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，

所以＝tanαcosα＝sinα.因为α∈，

所以sin＝－cosα＝＝.故选C.

7．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(　　)

A.  B.     C.  D.

答案：A

解析：因为＝(3，－4)，所以与同方向的单位向量为＝.

8．若A，B，C，D四点共线，且满足＝(3a,2a)(a≠0)，＝(2，t)，则t等于(　　)

A.       B.        C．3     D．－3

答案：B

解析：因为A，B，C，D四点共线，所以∥，故3a·t＝2a·2，t＝.故选B.

二、非选择题

9．在平面直角坐标系xOy中，已知a＝(，1)，若将向量－2a绕坐标原点O逆时针旋转120°得到向量b，则b的坐标为________．

答案：(2，－2)

解析：因为a＝(，1)，所以－2a＝(－2，－2)，如图所示，易知向量－2a与x轴正半轴的夹角α＝150°.向量－2a绕坐标原点O逆时针旋转120°得到向量b，由图可知，b在第四象限，且与x轴正半轴的夹角β＝30°，所以b＝(2，－2)．

10．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.

答案：－6

解析：由题意知－2m－12＝0，m＝－6.

11．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．

答案：(－4，－2)

解析：因为b＝(2,1)，且a与b的方向相反，所以设a＝(2λ，λ)(λ<0)，因为|a|＝2.所以4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.所以a＝(－4，－2)．

12．已知A(2,1)，B(3,5)，C(3,2)，＝＋t(t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．

答案：(－5，－3)

解析：设点P(x，y)，则由＝＋t(t∈R)，得(x－2，y－1)＝(1,4)＋t(1,1)＝(1＋t,4＋t)，所以解得由点P在第二象限，得解得－5<t<－3，所以实数t的取值范围为(－5，－3)．

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一、选择题

1．已知向量a＝(－3，－4)，则下列能使a＝λ e1＋μ e2(λ，μ∈R)成立的一组向量e1，e2是(　　)

A．e1＝(0,0)，e2＝(－1,2)

B．e1＝(－1,3)，e2＝(2，－6)

C．e1＝(－1,2)，e2＝(3，－1)

D．e1＝，e2＝(1，－2)

答案：C

解析：作为基底，其应该满足的条件为不共线向量．A中，零向量与任意向量共线；B中，e1＝(－1,3)，e2＝(2，－6)共线；C中，e1＝(－1,2)，e2＝(3，－1)不共线；D中，e1＝，e2＝(1，－2)共线．

2．已知向量与向量a＝(1，－2)反向共线，||＝2，点A的坐标为(3，－4)，则点B的坐标为(　　)

A．(1,0)　　　 B．(0,1)

C．(5，－8)    D．(－8,5)

答案：A

解析：依题意，设＝λa，其中λ<0，则有||＝|λa|＝－λ|a|，即2＝－λ，∴λ＝－2，＝－2a＝(－2,4)，因此点B的坐标是(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)，故选A.

3．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为(　　)

A．e1＋e2   B．－2e1＋e2      C．2e1－e2  D．2e1＋e2

答案：B

解析：由题意可取e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3,1)，设a＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)＝(x－y，y)，则解得故a＝－2e1＋e2.

4．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)∥b，则m＝(　　)

A．－  B.      C．－8  D．8

答案：A

解析：由题意得a＋b＝(4，m－2)．因为(a＋b)∥b，所以＝，解得m＝－.故选A.

5．已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A，B，C，其中·＝0，存在实数λ，μ满足＋λ＋μ＝0，则实数λ，μ的关系为(　　)

A．λ2＋μ2＝1    B.＋＝1   C．λμ＝1       D．λ＋μ＝1

答案：A

解析：解法一　取特殊点，取C点为优弧AB的中点，

此时易得λ＝μ＝，只有A符合．故选A.

解法二　依题意得||＝||＝||＝1，－＝λ＋μ，两边平方得1＝λ2＋μ2.故选A.

6.如图，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n等于(　　)

A.  B.        C.  D.

答案：C

解析：因为＝2，所以C为AB中点，故＝＋＝2，所以＝＋OB.由＝m，＝n，所以＝，＝，所以＝＋，因为M，P，N三点共线，故＋＝1，当m＝时，n＝.故选C.

7．已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC分别交于点M，N，且＝x，＝y(x，y>0)，则3x＋y的最小值是(　　)

A.     B.         C.     D.＋

答案：D

解析：如图．

＝，＝，又∵＝＋，∴＝＋，

又∵M，G，N三点共线，∴＋＝1.∵x>0，y>0，

∴3x＋y＝(3x＋y)＝1＋＋＋≥＋.当且仅当y＝x时取等号．故选D.

8.在Rt△ABC中，∠C是直角，CA＝4，CB＝3，△ABC的内切圆与CA，CB分别切于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若＝x＝y，则x＋y的值可以是(　　)

A．1  B．2       C．4  D．8

答案：B

解析：设△ABC内切圆的圆心为O，半径为r，连接OD，OE，则OD⊥AC，OE⊥BC，所以3－r＋4－r＝5，解得r＝1，故CD＝CE＝1，连接DE，则当x＋y＝1时，P在线段DE上，但线段DE均不在阴影区域内，排除A；在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM＝2CD，CN＝2CE，连接MN，所以＝＋，则当点P在线段MN上时，＋＝1，故x＋y＝2.同理，当x＋y＝4或x＋y＝8时，点P不在△ABC内部，排除C，D，故选B.

二、非选择题

9.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用向量a和b表示)．

答案：a＋b

解析：由＝2知，AB∥DC且||＝2||，从而||＝2||.

所以＝＝(－)＝(a－b)，所以＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.

10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.

答案：

解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝.

11．已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．

(1)求实数λ的值；若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；

(2)已知点D(3,5)，在(1)的条件下，若ABCD四点构成平行四边形，求点A的坐标．

解析：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.

∵A，E，C三点共线，

∴存在实数k，使得＝k，

即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，

得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.

∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，

∴解得k＝－，λ＝－.

＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．

(2)∵ABCD四点构成平行四边形，∴＝.

设A(x，y)，则＝(3－x,5－y)，

又＝(－7，－2)，∴

解得点A(10,7)．