高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习22《数列求和》 (教师版)

刷题增分练 22　数列求和

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一、选择题

1．已知等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于(　　)

A．9　　 B．18

C．36    D．72

答案：B

解析：∵a2·a8＝4a5，即a＝4a5，∴a5＝4，

∵a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2.∴S9＝9b5＝18，故选B.

2．数列1，2，3，4，…，n，…的前n项和等于(　　)

A.＋        B．－＋＋1

C．－＋     D．－＋

答案：B

解析：设数列{an}的通项公式为an＝n＋，是一个等差数列与一个等比数列对应项的和的形式，适用分组求和，所以1＋2＋3＋4＋…＋n＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝＋1－n.故选B.

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，点(a1 008，a1 010)在直线x＋y－2＝0上，则S2 017＝(　　)

A．4 034  B．2 017

C．1 008  D．1 010

答案：B

解析：因为点(a1 008，a1 010)在直线x＋y－2＝0上，所以a1 008＋a1 010＝2，S2 017＝＝＝＝2 017，故选B.

4．数列的前2 017项的和为(　　)

A.＋1  B.－1

C.＋1  D.－1

答案：B

解析：通过已知条件得到＝－，裂项累加得S2 017＝－＋－＋…＋－1＝－1，故选B.

5．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)

A．1 121  B．1 122

C．1 123  D．1 124

答案：C

解析：由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1 123.选C.

6．]已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，bn＝log2an，那么数列{bn}的前10项和等于(　　)

A．130  B．120

C．55   D．50

答案：C

解析：由题意知数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，得an＝2n，所以bn＝log22n＝n，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，所以其前10项和S10＝＝55，故选C.

7．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝(　　)

A．3  B．2

C．1  D．0

答案：A

解析：∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2 018＝336×0＋a2 017＋a2 018＝a1＋a2＝3.故选A.

8．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是(　　)

A．2n＋1＋n－2  B．2n＋1－n＋2

C．2n－n－2    D．2n＋1－n－2

答案：D

解析：因为Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①

2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n，②

所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2.

二、非选择题

9．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－5＋9－13＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31＝________.

答案：－76

解析：因为Sn＝1－5＋9－13＋…＋(－1)n－1(4n－3)，所以Sn＝Sn＝

S15＝29，S22＝－44，S31＝61，S15＋S22－S31＝－76.

10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＋a11＝6，则S9＝________.

答案：18

解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a1＋a3＋a11＝6，∴3a1＋12d＝6，即a1＋4d＝2，∴a5＝2，∴S9＝＝＝18.

11．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝6，若a1，a3，a7成等比数列，则S8的值为________．

答案：88

解析：由题意得a＝a1a7，∴(6＋d)2＝(6－d)(6＋5d)，∴6d2＝12d.∵d≠0，∴d＝2，所以a1＝6－2＝4，S8＝8×4＋×8×7×2＝88.

12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.

答案：n·2n－1

解析：an＋1－2an＝2n两边同除以2n＋1，可得－＝，又＝，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝n·2n－1.

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一、选择题

1．已知数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)在经过点(10,6)的定直线l上，则数列{an}的前19项和S19＝(　　)

A．110  B．114

C．119  D．120

答案：B

解析：因为点(n，an)(n∈N*)在经过点(10,6)的定直线l上，故数列{an}为等差数列，且a10＝6，所以S19＝＝＝19×a10＝19×6＝114，选B.

2．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为(　　)

A．250  B．200

C．150  D．100

答案：D

解析：当n＝2k－1时，a2k＋a2k－1＝2，∴{an}的前100项和＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝50×2＝100，故选D.

3．已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，设bn＝log2an，则＋＋…＋的值是(　　)

A.  B.    C.  D.

答案：B

解析：由Sn＋1＝2Sn可知，数列{Sn}是首项为S1＝a1＝2，公比为2的等比数列，所以Sn＝2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.bn＝log2an＝当n≥2时，＝＝－，所以＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.故选B.

4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天，共走378里．”请问第四天走了(　　)

A．12里  B．24里

C．36里  D．48里

答案：B

解析：设第一天走a1里，则每天走的里数组成的数列{an}是以a1为首项，以为公比的等比数列，由题意得S6＝＝378，解得a1＝192(里)，∴a4＝a1×3＝192×＝24(里)，故选B.

5．在等差数列{an}中，a4＝5，a7＝11.设bn＝(－1)n·an，则数列{bn}的前100项和 S100＝(　　)

A．－200   B．－100

C．200     D．100

答案：D

解析：因为数列{an}是等差数列，a4＝5，a7＝11，所以公差d＝＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，所以bn＝(－1)n(2n－3)，所以b2n－1＋b2n＝2，n∈N*.因此数列{bn}的前100项和S100＝2×50＝100，故选D.

6．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn为(　　)

A.  B.－

C.     D.－

答案：B

解析：因为a1＋a2＋…＋an＝＝n(n＋2)，所以bn＝＝，故Tn＝＝－，故选B.

7．已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 018＝(　　)

A．22 018－1  B．32 018－6

C.2 018－  D.2 018－

答案：A

解析：∵3Sn＝2an－3n，∴当n＝1时，3S1＝3a1＝2a1－3，∴a1＝－3.当n≥2时，3an＝3Sn－3Sn－1＝(2an－3n)－(2an－1－3n＋3)，∴an＝－2an－1－3，∴an＋1＝－2(an－1＋1)，∴数列{an＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，∴an＋1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n，∴an＝(－2)n－1，∴a2 018＝(－2)2 018－1＝22 018－1，故选A.

8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，数列的前n项和为Tn，若Tn<M对一切正整数n都成立，则M的最小值为(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

答案：D

解析：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由已知可得解得d＝q＝2，所以an＝2n＋1，bn＝2n－1，则＝，故Tn＝3×＋5×＋7×＋…＋(2n＋1)×，由此可得Tn＝3×＋5×＋7×＋…＋(2n＋1)×，以上两式相减可得Tn＝3＋2－(2n＋1)×＝3＋2－－，即Tn＝10－－，又当n→＋∞时，→0，→0，此时Tn→10，所以M的最小值为10，故选D.

二、非选择题

9．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝________.

答案：－1

解析：由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝，

则f(x)＝x，∴an＝＝＝－.

S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1.

10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝2，Sn＋1＝an＋2－an＋1(n∈N*)，则Sn＝________.

答案：2n－1

解析：∵Sn＋1＝an＋2－an＋1(n∈N*)，∴Sn＋1＝Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)，则Sn＋2＋1＝2(Sn＋1＋1)．由a1＝1，a2＝2，可得S2＋1＝2(S1＋1)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)对任意的n∈N*都成立，∴数列{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴Sn＋1＝2n，即Sn＝2n－1.

11．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．

(1)求an；

(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

解析：(1)∵a1,2a2＋2,5a3成等比数列，

∴(2a2＋2)2＝5a3·a1，

整理得d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4，

当d＝－1时，an＝10－(n－1)＝－n＋11；

当d＝4时，an＝10＋4(n－1)＝4n＋6.

所以an＝－n＋11或an＝4n＋6.

(2)设数列{an}前n项和为Sn，

∵d<0，∴d＝－1，an＝－n＋11，

当n≤11时，an＝－n＋11≥0，

∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n；

当n≥12时，an＝－n＋11<0，

|a1|＋|a2|＋…＋|a11|＋|a12|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a11－a12－…－an

＝S11－(Sn－S11)＝－Sn＋2S11

＝n2－n＋110.

综上，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝