高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习24《基本不等式及简单的线性规划》 (教师版)

刷题增分练 24　基本不等式及简单的线性规划

刷题增分练         小题基础练提分快

一、选择题

1．不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是(　　)

答案：C

解析：由y·(x＋y－2)≥0，得或所以不等式y·(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项，故选C.

2．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)

A.　　　B.       C.      D.

答案：B

解析：∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.

当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．

3．已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　)

A．8      B．9         C．12     D．16

答案：B

解析：由4x＋y＝xy得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.

4．若直线mx＋ny＋2＝0(m>0，n>0)被圆(x＋3)2＋(y＋1)2＝1截得的弦长为2，则＋的最小值为(　　)

A．4  B．6          C．12  D．16

答案：B

解析：由题意，圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，直线被圆截得的弦长为2，所以直线过圆心，即－3m－n＋2＝0,3m＋n＝2.所以＋＝(3m＋n)＝≥＝6，当且仅当＝时取等号，因此＋的最小值为6，故选B.

5．已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2a，则△ABC是(　　)

A．等边三角形      B．锐角三角形

C．等腰直角三角形  D．钝角三角形

答案：C

解析：∵＋＝2a，由正弦定理可得，2sinA＝＋≥2＝2，即sinA≥1，∴sinA＝1，当且仅当＝，即B＝C时，等号成立，∴A＝，b＝c，∴△ABC是等腰直角三角形，故选C.

6．已知实数x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值是(　　)

A.      B.          C．32     D．64

答案：C

解析：解法一　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

设u＝x－2y，由图知，当直线u＝x－2y经过点A(1,3)时，u取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此时z＝x－2y取得最大值，即zmax＝－5＝32，故选C.

解法二　由题易知z＝x－2y的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝x－2y，即可求得最大值．联立得解得A(1,3)，代入可得z＝32；联立得解得B，代入可得z＝；联立得解得C(－2,0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1,3)处，z＝x－2y取得最大值32，故选C.

7．若实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为12，最小值为0，则实数k＝(　　)

A．2     B．1

C．－2   D．3

答案：D

解析：作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝kx－y可化为y＝kx－z，若k≤0，则z的最小值不可能为0，若k>0，当直线y＝kx－z过点(1,3)时，z取最小值0，得k＝3，此时直线y＝kx－z过点(4,0)时，z取得最大值12，符合题意，故k＝3.

8．设x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为2，则＋的最小值为(　　)

A．25  B．19

C．13  D．5

答案：A

解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分，当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值2，即2a＋3b＝1，所以(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为25，故选A.

二、非选择题

9．已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．

答案：1

解析：因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.

10．若x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．

答案：16

解析：因为x>0，y>0，且＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当9x2＝y2，即y＝3x＝12时等号成立．故x＋y的最小值是16.

11．若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．

答案：6

解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．

由z＝3x＋2y得y＝－x＋.

作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋

过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.

12．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．

答案：216 000

解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线性约束条件为

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．

刷题课时增分练         综合提能力　课时练　赢高分

一、选择题

1．[2019·河北卓越联盟联考]已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－7,24)　　　B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)

C．(－24,7)      D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)

答案：A

解析：由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)(a－24)<0，所以－7<a<24.故选A.

2．[2019·甘肃诊断]已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　)

A.      B.

C．8     D．24

答案：C

解析：因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以＋＝(2x＋3y)＝≥＝8，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为8，故选C.

3．若正数x，y，a满足ax＋y＋6＝xy，且xy的最小值为18，则a的值为(　　)

A．1  B．2

C．4  D．9

答案：B

解析：正数x，y，a满足ax＋y＋6＝xy，且ax＋y≥2，当且仅当ax＝y时等号成立，所以xy≥6＋2.令t＝，则t2－2t－6≥0，由xy的最小值为18得t≥3，所以3为方程t2－2t－6＝0的一个解，则18－6－6＝0，得a＝2.故选B.

4．[2019·山东济宁模拟]已知a>0，b>0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为(　　)

A．16  B．9

C．5   D．4

答案：A

解析：∵，，成等差数列，∴＋＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝且＋＝1即a＝4，b＝时等号成立，故选A.

5．已知a，b为正实数，函数y＝2aex＋b的图象过点(0,1)，则＋的最小值是(　　)

A．3＋2   B．3－2

C．4        D．2

答案：A

解析：因为函数y＝2aex＋b的图象过点(0,1)，所以2a＋b＝1.又a>0，b>0，所以＋＝＋＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即b＝a时取等号，所以＋的最小值是3＋2.

6．已知x，y满足约束条件若z＝x＋4y的最大值与最小值之差为5，则实数λ的值为(　　)

A．3  B.

C.    D．1

答案：A

解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1,4)，B(λ－3，λ)．由z＝x＋4y，得y＝－x＋，作出直线y＝－x，并平移，知当该直线经过点A时，z取得最大值，且最大值为1＋4×4＝17；当该直线经过点B时，z取得最小值，且最小值为λ－3＋4λ＝5λ－3.因为z＝x＋4y的最大值与最小值之差为5，所以17－(5λ－3)＝20－5λ＝5，得λ＝3.故选A.

7．[2019·太原模拟]已知点(x，y)所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)，若使目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为(　　)

A．4     B.

C.      D.

答案：D

解析：因为目标函数z＝ax＋y，所以y＝－ax＋z，易知z是直线y＝－ax＋z在y轴上的截距．分析知当直线y＝－ax＋z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，此时－a＝＝－，即a＝，故选D.

8．[2019·湖北联考]已知实数x，y满足则z＝|2x－3y＋4|的最小值为(　　)

A.      B.

C.      D.

答案：D

解析：由题意得，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，设m＝2x－3y＋4，在直线2x－3y＋4＝0上方并满足约束条件的区域使得m的值为负数，在点A处m取得最小值，联立解得x＝1，y＝4，此时mmin＝2×1－3×4＋4＝－6，则|m|max＝6，在直线2x－3y＋4＝0下方并满足约束条件的区域使得m的值为正数，在点C处m取得最大值，联立解得x＝2，y＝1，即C(2,1)，此时mmax＝5，|m|max＝5，故|m|max＝6，故z＝|2x－3y＋4|在点A(1,4)处取得最小值，最小值为z＝6＝，故选D.

二、非选择题

9．[2018·全国卷Ⅱ]若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

答案：9

解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看做常数)的横截距最大，

由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．

由得点C(5,4)，

∴ zmax＝5＋4＝9.

10．[2019·郑州模拟]已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．

答案：

解析：区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可．

由方程组解得A(1,0)．

由方程组解得B(2,3)．

所以AB的中点坐标为，代入直线方程y＝kx＋1得，＝k＋1，解得k＝.

11．设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；

(2)当0<a<1时，求函数f(x)的最小值．

解析：(1)当a＝2时，f(x)＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时取等号，所以f(x)min＝2－1.

(2)当0<a<1时，任取0≤x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2).

因为0<a<1，(x1＋1)(x2＋1)>1，

所以1－>0，

因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，

所以f(x1)－f(x2)<0，故f(x1)<f(x2)，

即f(x)在[0，＋∞)上为增函数．

所以f(x)min＝f(0)＝a.