高考数学(理数)三轮冲刺 难点题型拔高练习卷六（教师版）

高考数学(理数)三轮冲刺 难点题型拔高练习卷六

1．已知函数f(x)＝，当x>0时，函数f(x)的图象恒在直线y＝kx的下方，则k的取值范围是(　　)

A.　　　　　　 B.

C.   D．

解析：选B　f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)在x＝＋2kπ，k∈Z时取得极大值，当直线y＝kx与f(x)＝的图象在原点处相切时，可得k＝f′(0)＝，由图(图略)易得k的取值范围是.

2．已知f(x)是定义在R上的可导函数，若3f(x)>f′(x)恒成立，且f(1)＝e3(e为自然对数的底数)，则下列结论正确的是(　　)

A．f(0)＝1   B．f(0)<1

C．f(2)<e6   D．f(2)>e6

解析：选C　由3f(x)>f′(x)可得3f(x)－f′(x)>0，

令h(x)＝＝f(x)e－3x，

则h′(x)＝e－3x[f′(x)－3f(x)]<0，

所以函数h(x)在R上单调递减，

所以h(0)>h(1)，即>＝＝1，

所以f(0)>1，同理有h(2)<h(1)，

即<＝＝1，所以f(2)<e6.

3．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，若anan－1＋2anan＋1＝3an－1an＋1(n≥2，n∈N*)，则an＝________.

解析：由anan－1＋2anan＋1＝3an－1an＋1(n≥2，n∈N*)，

得anan－1－an－1an＋1＝2(an－1an＋1－anan＋1)(n≥2，n∈N*)，

得－＝2 (n≥2，n∈N*)，

因为－＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

所以－＝2n，所以＝＋＋…＋＋＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1，所以an＝.

答案：

4．已知F1，F2分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且|PF1|＋|PF2|＝4.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于点A，C和点B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得 ，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)因为|PF1|＋|PF2|＝4，所以2a＝4，a＝2，

椭圆E的方程为＋＝1.

将P代入可得b2＝3，

所以椭圆E的方程为＋＝1.

(2)若直线AC的斜率为零或不存在，易知＋＝＋＝，

此时，存在λ＝，使，λ，成等差数列．

若直线AC的斜率存在，且不为0，设直线AC的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入方程＋＝1，

化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.

设A(x1，y1)，C(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

于是|AC|＝|x1－x2|

＝＝，

将k换为－，得|BD|＝，

所以＋＝＋＝，

此时，存在λ＝，使得，λ，成等差数列 .

综上，存在λ＝，使得，λ，成等差数列．

5．已知函数f(x)＝，曲线y＝f(x)在点(e2，f(e2))处的切线与直线2x＋y＝0垂直．

(1)求f(x)的解析式及单调递减区间；

(2)若存在x∈[e，＋∞)，使函数g(x)＝aeln x＋x2－ln x·f(x)≤a成立，求实数a的取值范围．

解：(1)因为ln x≠0，x>0，

所以x∈(0,1)∪(1，＋∞)，

f′(x)＝，

所以f′(e2)＝＝，解得m＝2，

所以f(x)＝，

f′(x)＝，

由f′(x)<0得0<x<1或1<x<e，

所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1，e)．

(2)g(x)＝aeln x＋x2－ln x·f(x)

＝aeln x＋x2－(a＋e)x，

若存在x∈[e，＋∞)，使函数g(x)＝aelnx＋x2－(a＋e)x≤a成立，

只需x∈[e，＋∞)时，g(x)min≤a.

因为g′(x)＝＋x－(a＋e)＝

＝，

若a≤e，则g′(x)≥0在[e，＋∞)上恒成立，

所以g(x)在[e，＋∞)上单调递增，

g(x)min＝g(e)＝ae＋e2－e(a＋e)＝－，

所以a≥－，

又a≤e，所以－≤a≤e.

若a>e，则g(x)在[e，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，

所以g(x)在[e，＋∞)上的最小值g(x)min＝g(a)，

又g(a)<g(e)＝－，a>e，所以一定满足条件．

综上，实数a的取值范围是.