初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步练习题

沪科版九年级数学下册第24章圆专题训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ）

A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断

2、已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切

3、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且，则光盘的直径是（    ）

A．6 B． C．3 D．

4、如图，是△ABC的外接圆，已知，则的大小为（      ）

A．55° B．60° C．65° D．75°

5、在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ）

A．  B． 

C．  D．

6、在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

7、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（    ）

A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上三种都不对

8、如图，是的直径，、是上的两点，若，则（    ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

9、如图，△ABC外接于⊙O，∠A＝30°，BC＝3，则⊙O的半径长为（    ）

A．3 B． C． D．

10、如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转60°得到，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、将点绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点，当点恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为________．

2、如图，以面积为20cm2的Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若，则AC＋BC＝_____．

3、如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B．若，，则AB的长为______．

4、边长相等、各内角均为120°的六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，，点B在原点，把六边形ABCDEF沿x轴正半轴绕顶点按顺时针方向，从点B开始逐次连续旋转，每次旋转60°，经过2021次旋转之后，点B的坐标是_____________．

5、如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，作的外接圆，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．

（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；

（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．

2、如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．

3、在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”

已知点O（0，0），Q（1，0）

（1）在P1（0，-1），P2（，），P3（-1，1）中是线段OQ的“潜力点”是_____________；

（2）若点P在直线y＝x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；

（3）直线y＝2x＋b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ 的“潜力点”时，直接写出b的取值范围

4、如图，为的直径，为的切线，弦，直线交的延长线于点，连接．

求证：（1）；

（2）．

5、如图，正方形ABCD的顶点A、B在x轴的负半轴上，顶点CD在第二象限．将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转，B、C、D的对应点分别为B1、C1、D1，且D1、C1、O三点在一条直线上．记点D1的坐标是（m，n），C1的坐标是（p，q）．

（1）设∠DAD1＝30°，n＝2，求证：OD1的长度；

（2）若∠DAD1＜90°，m，n满足m+n＝﹣4，p2+q2＝25，求p+q的值．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．

【详解】

解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．

故选：B．

【点睛】

本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．

2、B

【分析】

圆的半径为 圆心O到直线l的距离为 当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.

【详解】

解： ⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，

  ⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离，

直线l与⊙O的位置关系为相切，

故选B

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.

3、D

【分析】

如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，由切线的性质可知∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，即可证明Rt△OCA≌Rt△OBA得到∠OAC=∠OAB，则，∠AOB=30°，推出OA=2AB=6，利用勾股定理求出，即可得到圆O的直径为．

【详解】

解：如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，

∵AC，AB都是圆O的切线，

∴∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，

又∵OA=OA，

∴Rt△OCA≌Rt△OBA（HL），

∴∠OAC=∠OAB，

∵∠DAC=60°，

∴，

∴∠AOB=30°，

∴OA=2AB=6，

∴，

∴圆O的直径为，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．

4、C

【分析】

由OA=OB，，求出∠AOB=130°，根据圆周角定理求出的度数．

【详解】

解：∵OA=OB，，

∴∠BAO=．

∴∠AOB=130°．

∴=∠AOB=65°．

故选：C．

【点睛】

此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．

5、B

【分析】

根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.

【详解】

解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；

C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意.

故选B.

【点睛】

本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.

6、B

【分析】

根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系

【详解】

解：连接,

，点O为AB中点．

CO为⊙C的半径，

是的切线，

⊙C 与AB的位置关系是相切

故选B

【点睛】

本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．

7、C

【详解】

解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，

故选：C．

【点睛】

本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．

8、C

【分析】

根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．

【详解】

解：∵∠BOC=130°，

∴∠BDC=∠BOC=65°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADC=90°-65°=25°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

9、A

【分析】

分析：连接OA、OB，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO是等边三角形，即可求出⊙O的半径．

【详解】

解：连接BO，并延长交⊙O于D，连结DC，

∵∠A=30°，

∴∠D=∠A=30°，

∵BD为直径，

∴∠BCD=90°，

在Rt△BCD中，BC=3，∠D=30°，

∴BD=2BC=6，

∴OB=3．

故选A．

【点睛】

本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．

10、B

【分析】

由题意以及旋转的性质可得为等边三角形，则BD=2，故CD=BC-BD=2．

【详解】

由题意以及旋转的性质知AD=AB，∠BAD=60°

∴∠ADB=∠ABD

∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°

∴∠ADB=∠ABD=60°

故为等边三角形，即AB= AD =BD=2

则CD=BC-BD=4-2=2

故选：B．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定及性质，等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于，等边三角形判定的方法有：三边相等的三角形是等边三角形（定义）；三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形；两个内角为60度的三角形是等边三角形．

二、填空题

1、或

【分析】

设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，由全等三角形求出点坐标，由点在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G的坐标．

【详解】

设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，

如图所示：

∵，

∴，，

∵点A绕点G顺时针旋转90°后得到点，

∴，，

∴，

∵轴，轴，

∴，

∴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得：，

解得：或，

∴或．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．

2、##

【分析】

连接，延长交于点，连接，先根据圆周角定理和圆的性质可得，再根据特殊角的三角函数值可得，从而可得，作，交于点，从而可得，然后在中，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，设，从而可得，利用直角三角形的面积公式可求出的值，由此即可得．

【详解】

解：如图，连接，延长交于点，连接，

都是的直径，

，

，

，

在中，，

，

平分，且，

，

，

，

，

如图，作，交于点，

，

在中，，

，

设，则，

，

，

解得或（不符题意，舍去），

则，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值、圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形是解题关键．

3、3

【分析】

由切线长定理和，可得为等边三角形，则．

【详解】

解：连接，如下图：

，分别为的切线，

，

为等腰三角形，

，

，

为等边三角形，

，

，

．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和切线长定理，解题的关键是作出相应辅助线．

4、

【分析】

根据旋转找出规律后再确定坐标．

【详解】

∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，

∴每6次翻转为一个循环组循环，

∵，

∴经过2021次翻转为第337循环组的第5次翻转，点B在开始时点C的位置，

∵，

∴，

∴翻转前进的距离为：，

如图，过点B作BG⊥x于G，

则∠BAG=60°，

∴，

，

∴，

∴点B的坐标为．

故答案为：．

【点睛】

题考查旋转的性质与正多边形，由题意找出规律是解题的关键．

5、

【分析】

先求出A、B、C坐标，再证明三角形BOC是等边三角形，最后根据扇形面积公式计算即可．

【详解】

过C作CD⊥OA于D

∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴当时，，B点坐标为（0,1）

当时，，A点坐标为

∴

∵作的外接圆，

∴线段AB中点C的坐标为,

∴三角形BOC是等边三角形

∴

∵C的坐标为

∴

∴

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了一次函数的综合运用，求扇形面积．用已知点的坐标表示相应的线段是解题的关键．

三、解答题

1、

（1）65°

（2）

【分析】

（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50°，根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；

（2）根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到BE=BC=6，EF=AC=8，根据勾股定理即可得到结论．

【小题1】

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，

∴∠ABC=50°，

∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，

∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，

∴∠BAF=∠BFA=（180°-50°）=65°；

【小题2】

∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，

∴BE=BC=6，EF=AC=8，

∴AE=AB-BE=10-6=4，

∴AF=．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

2、

（1）见解析

（2）3，2

【分析】

（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA=∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，进而得到∠OCD=90°，即可得出结论；

（2）根据平行线分线段成比例定理得到，设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x=1，即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．

（1）

证明：∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵∠DCB＝∠OAC，

∴∠OCA＝∠DCB，     

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠OCA+∠OCB＝90°，

∴∠DCB+∠OCB＝90°，

即∠OCD＝90°，

∴OC⊥DC，     

∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）

∵OE∥BC，

∴，

∵CD=4，CE=6，

∴，

设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，

∵OC⊥DC，

∴△OCD是直角三角形，

在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，

∴（3x）2+42=（5x）2，

解得，x=1，

∴OC=3x=3，即⊙O的半径为3，

∵BC∥OE，

∴∠OCB=∠EOC，

在Rt△OCE中，tan∠EOC=，

∴tan∠OCB=tan∠EOC=2．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．

3、（1）；（2）；（3）或

【分析】

（1）分别计算出OQ、PO和PQ的长度，比较即可得出答案；

（2）先判断点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在线段OQ垂直平分线的左侧，结合PO≤2，点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，可得点P在如图所示的线段AB上（不包含点B），过作轴，过作轴，垂足分别为 再根据图形的性质求解 从而可得答案；

（3）由（2）得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，而PO＜PQ，点P在线段OQ垂直平分线的左侧，再分两种情况讨论：当时，当时，分别画出两种情况下的临界直线 再根据临界直线经过的特殊点求解的值，再确定范围即可.

【详解】

解：（1） O（0，0），Q（1，0），

P1（0，-1），P2（，），P3（-1，1）

不满足OQ＜PO＜PQ且PO≤2，

所以不是线段OQ的“潜力点”，

同理：

所以不满足OQ＜PO＜PQ且PO≤2，

所以不是线段OQ的“潜力点”，

同理：

所以满足：OQ＜PO＜PQ且PO≤2，

所以是线段OQ的“潜力点”，

故答案为：P3

（2）∵点P为线段OQ的“潜力点”，

∴OQ＜PO＜PQ且PO≤2，

∵OQ＜PO，

∴点P在以O为圆心，1为半径的圆外

∵PO＜PQ，

∴点P在线段OQ垂直平分线的左侧，而的垂直平分线为：

∵PO≤2，

∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内

又∵点P在直线y＝x上，

∴点P在如图所示的线段AB上（不包含点B）

过作轴，过作轴，垂足分别为

由题意可知△BOC和 △AOD是等腰三角形，

∴

∴-≤xp＜-

（3）由（2）得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，

而PO＜PQ，点P在线段OQ垂直平分线的左侧

当时，过时，

即函数解析式为：

此时 则

当与半径为2的圆相切于时，则

由

而

当时，如图，同理可得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，

而PO＜PQ，点P在线段OQ垂直平分线的左侧，

同理：当过 则 直线为

在直线上，

此时

当过时， 则

所以此时：

综上：的范围为：1＜b≤或＜b＜-1

【点睛】

本题考查的是新定义情境下的知识运用，圆的基本性质，圆的切线的性质，一次函数的综合应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，数形结合是解本题的关键.

4、（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）连接，根据，可证．从而可得，，即可证明，故；

（2）证明，可得，即可证明．

【详解】

证明：（1）连接，如图：

∵为的直径，为的切线，

∴，

∵，

∴，．

∵，

∴，

∴．

在和中，

，

∴，

∴，

∵为的直径，

∴，即，

∴，

∵，

∴， 

∴，即，

∵，

∴；

（2）由（1）知：，

又∵，

∴，

∴，

∴， 

∵，

∴．

【点睛】

本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明，从而得到．

5、（1）4；（2）-1或-7

【分析】

（1）如图，且三点在一条直线上的情况，连接，过点向作垂线交点为，在直角三角形中，，，可求的长；

（2）如图，过点向作垂线交点为，过点作轴垂线交于点，作交点为；由，知，，点G坐标为，得，由知的值，从而得到的值．

【详解】

解：（1）∵∠DAD1＝30°且D1、C1、O三点在一条直线上

∴如图所示，连接，过点向作垂线交点为

∴

∵

．

（2）如图过点向作垂线交点为，过点作轴垂线交于点，作交点为

，

在和中

点横坐标可表示为

∴p+q=-7或-1．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数值，三角形全等,图形旋转的性质等知识．解题的关键与难点是找出线段之间的关系．