2021学年第24章 圆综合与测试课时练习

沪科版九年级数学下册第24章圆专题练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（　　）

A．10 B．2 C．2 D．4

2、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

3、将等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，那么n的最小值是（      ）

A．60 B．90 C．120 D．180

4、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

5、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P． A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（   ）

A．20 m B．20m

C．（20 - 20）m D．（40 - 20）m

6、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（   ）

A．3 B．2 C．1 D．

7、下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

8、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且，则光盘的直径是（    ）

A．6 B． C．3 D．

9、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A．  B．

C． D．

10、下列判断正确的个数有（    ）

①直径是圆中最大的弦；

②长度相等的两条弧一定是等弧；

③半径相等的两个圆是等圆；

④弧分优弧和劣弧；

⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、两直角边分别为6、8，那么的内接圆的半径为____________．

2、如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小为________（度）．

3、如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为_______．

4、如图，在平面直角坐标系中，点N是直线上动点，M是上动点，若点C的坐标为，且与y轴相切，则长度的最小值为____________．

5、把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转________度，可以与自身重合．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在中，，，将绕着点A顺时针旋转得到，连接BD，连接CE并延长交BD于点F．

（1）求的度数；

（2）若，且，求DF的长．

2、如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图：

（1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上．

（2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上．

（3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上．

3、如图，ABC是⊙O的内接三角形，，，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AD＝6，求线段AE的长．

4、如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，点、在上，过点作的延长线于点，已知平分．

（1）求证：是切线；

（2）若，，求的半径和的长．

5、问题：如图，是的直径，点在内，请仅用无刻度的直尺，作出中边上的高.

小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．

作法：如图，

①延长交于点，延长交于点；

②分别连接，并延长相交于点；

③连接并延长交于点．

所以线段即为中边上的高．

（1）根据小芸的作法，补全图形；

（2）完成下面的证明．

证明：∵是的直径，点，在上，

∴________°．（______）（填推理的依据）

∴，．

∴，________是的两条高线．

∵，所在直线交于点，

∴直线也是的高所在直线．

∴是中边上的高．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．

【详解】

解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，

∴，

由旋转性质可知，AB= AB'=6，BC= B'C'=8，

∴B'C=10-6=4，

在Rt△B'C'C中，，

故选：D．

【点睛】

本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．

2、A

【分析】

根据直径所对的圆角为直角，可得 ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．

【详解】

解：∵AB是⊙O的直径，

∴ ，

∵∠BAC＝30°，BC＝2，

∴．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．

3、C

【分析】

根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．

【详解】

解：等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是=120°．

故选C．

【点睛】

本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．

4、A

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

5、D

【分析】

根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．

【详解】

∵人工湖面积尽量小，

∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，

过点B作BC ⊥，垂足为C，

∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，

∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，

∴OC=CB=CP=20，

∴OP=40，OB==，

∴最小的距离PE=PO-OE=40 - 20（m），

故选D．

【点睛】

本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．

6、B

【分析】

连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．

【详解】

解：连接OC，如图

∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．

7、C

【分析】

根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．

【详解】

A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、不是中心对称图形，不符合题意；

C、是中心对称图形，符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．

8、D

【分析】

如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，由切线的性质可知∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，即可证明Rt△OCA≌Rt△OBA得到∠OAC=∠OAB，则，∠AOB=30°，推出OA=2AB=6，利用勾股定理求出，即可得到圆O的直径为．

【详解】

解：如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，

∵AC，AB都是圆O的切线，

∴∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，

又∵OA=OA，

∴Rt△OCA≌Rt△OBA（HL），

∴∠OAC=∠OAB，

∵∠DAC=60°，

∴，

∴∠AOB=30°，

∴OA=2AB=6，

∴，

∴圆O的直径为，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．

9、B

【分析】

根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析

【详解】

解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；

C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

故选B

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．

10、B

【详解】

①直径是圆中最大的弦；故①正确，

②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确

③半径相等的两个圆是等圆；故③正确

④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确

⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．

综上所述，正确的有①③

故选B

【点睛】

本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．

二、填空题

1、5

【分析】

直角三角形外接圆的直径是斜边的长．

【详解】

解：由勾股定理得：AB==10，

∵∠ACB=90°，

∴AB是⊙O的直径，

∴这个三角形的外接圆直径是10，

∴这个三角形的外接圆半径长为5，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等．

2、20

【分析】

先利用旋转的性质得到∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，再利用四边形内角和计算出∠BAD‘=70°，然后利用互余计算出∠DAD′，从而得到α的值．

【详解】

∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，

∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，

∵∠ABC=90°，

∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，

∴∠DAD′=90°-70°=20°，

即α=20°．

故答案为20．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

3、45

【分析】

连接OC，OD，根据同底等高可知S△ACD=S△OCD，把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式S=来求解．

【详解】

解：连接OC，OD，

∵直径AB=30，

∴OC=OD=，

∴CD∥AB，

∴S△ACD=S△OCD，

∵长为6π，

∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=，

故答案为：45π．

【点睛】

本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键．

4、-2

【分析】

由图可知，当CN⊥AB且C、M、N三点共线时，长度最小，利用勾股定理求出CN的长，故可求解．

【详解】

由图可知，当CN⊥AB且C、M、N三点共线时，长度最小

∵直线AB的解析式为

当x=0时，y=5，当y=0时，x=5

∴B（0，5），A（5，0）

∴AO=BO，△AOB是等腰直角三角形

∴∠BAO=90°

当CN⊥AB时，则△ACN是等腰直角三角形

∴CN=AN

∵C

∴AC=7

∵AC2=CN2+AN2=2CN2

∴CN=

当 C、M、N三点共线时，长度最小

即MN=CN-CM=-2

故答案为：-2．

【点睛】

此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意找到符合题意的位置，利用等腰直角三角形的性质求解．

5、60

【分析】

正六边形连接各个顶点和中心，这些连线会将360°分成6分，每份60°因此至少旋转60°，正六边形就能与自身重合．

【详解】

360°÷6=60°

故答案为：60

【点睛】

本题考查中心对称图形的性质，根据图形特征找到最少旋转度数是本题关键．

三、解答题

1、（1）45°；（2）

【分析】

（1）根据旋转的性质得，，，，通过等量代换及三角形内角和得，根据四点共圆即可求得；

（2）连接EB，先证明出，根据全等三角形的性质得，在中利用勾股定理，即可求得．

【详解】

解：（1）由旋转可知：

，，，，

∴，，．

由三角形内角和定理得，

∴点A，D，F，E共圆．

∴．

（2）连接EB，

∵，

∴．

∵，

∴．

又∵，，

∴．

∴，．

∴．

在中，，，，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、三角形全等判定及性质、勾股定理、三角形内角和等，解题的关键是掌握旋转的性质．

2、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】

（1）因为AB=5，作腰为5的等腰三角形即可（答案不唯一）；

（2）作边长为2，高为4的平行四边形即可；

（3）根据（1）的结论，作BG边的中线，即可得解．

【详解】

解：（1）如图①中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；

（2）如图②中，平行四边形ABCD即为所求作；

（3）如图③中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；

∵AB=AG，BC=CG，

∴AC⊥BG，

∵△ABG的面积为，

∴△ABC的面积为5，且∠ACB=90°．

【点睛】

本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

3、（1）见解析；（2）6

【分析】

（1）连接OC，根据CE是⊙O的切线，可得∠OCE＝，根据圆周角定理，可得∠AOC=，从而得到∠AOC+∠OCE＝，即可求证；

（2）过点A作AF⊥EC交EC于点F，由∠AOC＝，OA＝OC，可得∠OAC＝，从而得到∠BAD＝，再由AD∥EC，可得，然后证得四边形OAFC是正方形，可得，从而得到AF=3，再由直角三角形的性质，即可求解．

【详解】

证明：（1）连接OC，

∵CE是⊙O的切线，

∴∠OCE＝，

∵∠ABC＝，

∴∠AOC＝2∠ABC＝，

∵∠AOC+∠OCE＝，

∴AD∥EC；

（2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F，

∵∠AOC＝，OA＝OC，

∴∠OAC＝，

∵∠BAC＝，

∴∠BAD＝，

∵AD∥EC，

∴，

∵∠OCE＝，∠AOC＝，∠AFC=90°，

∴四边形OAFC是矩形，

∵OA＝OC，

∴四边形OAFC是正方形，

∴，

∵，

∴，

在Rt△AFE中，，

∴AE=2AF=6．

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

4、

（1）证明见解析

（2）

【分析】

（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；

（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．

（1）

证明：如图，连接OA，

∵AE⊥CD，

∴∠DAE+∠ADE=90°．

∵DA平分∠BDE，

∴∠ADE=∠ADO，

又∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠DAE+∠OAD=90°，

∴OA⊥AE，

∴AE是⊙O切线；

（2）

解：如图，取CD中点F，连接OF，

∴OF⊥CD于点F．

∴四边形AEFO是矩形，

∵CD=6，

∴DF=FC=3．

在Rt△OFD中，OF=AE=4，

∴，

在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，

∴，

∴AD的长是．

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．

5、（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD．

【分析】

（1）根据作图步骤作出图形即可；

（2）根据题意填空，即可求解．

【详解】

解：（1）如图，CH为△ABC中AB边上的高；

（2）证明：∵是的直径，点，在上，

∴___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据）

∴，．

∴，_BD__是的两条高线．

∵，所在直线交于点，

∴直线也是的高所在直线．

∴是中边上的高．

故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．

【点睛】

本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．