2021学年第24章 圆综合与测试课后作业题

沪科版九年级数学下册第24章圆综合测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列判断正确的个数有（    ）

①直径是圆中最大的弦；

②长度相等的两条弧一定是等弧；

③半径相等的两个圆是等圆；

④弧分优弧和劣弧；

⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P． A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（   ）

A．20 m B．20m

C．（20 - 20）m D．（40 - 20）m

3、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ）

A．  B． 

C．  D．

4、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽cm，则水的最大深度为（    ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

5、下列各点中，关于原点对称的两个点是（　　）

A．（﹣5，0）与（0，5） B．（0，2）与（2，0）

C．（﹣2，﹣1）与（﹣2，1） D．（2，﹣1）与（﹣2，1）

6、已知⊙O的半径为4，，则点A在（      ）

A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定

7、如图，AB是的直径，的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，于点E，，，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

8、如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转90°得到，则的度数为（    ）

A．105° B．120° C．135° D．150°

9、的边经过圆心，与圆相切于点，若，则的大小等于（    ）

A． B． C． D．

10、如图，与的两边分别相切，其中OA边与相切于点P．若，，则OC的长为（    ）

A．8 B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知O、I分别是△ABC的外心和内心，∠BIC＝125°，则∠BOC的大小是 ___度．

2、一条弧所对的圆心角为，弧长等于，则这条弧的半径为________．

3、边长为2的正三角形的外接圆的半径等于___．

4、如图，在Rt△ABC，∠B=90°，AB=BC=1，将△ABC绕着点C逆时针旋转60°，得到△MNC，那么BM=______________．

5、如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD．

2、解题与遐想．

如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．

王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…

赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了…

数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？

霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？

计算验证

（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．

拼图演绎

（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．

尺规作图

（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

3、如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．

4、如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．

（1）求证：AC为⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．

5、如图，已知AB是⊙O的直径，，连接OC，弦，直线CD交BA的延长线于点．

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）若，，求OC的长．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【详解】

①直径是圆中最大的弦；故①正确，

②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确

③半径相等的两个圆是等圆；故③正确

④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确

⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．

综上所述，正确的有①③

故选B

【点睛】

本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．

2、D

【分析】

根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．

【详解】

∵人工湖面积尽量小，

∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，

过点B作BC ⊥，垂足为C，

∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，

∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，

∴OC=CB=CP=20，

∴OP=40，OB==，

∴最小的距离PE=PO-OE=40 - 20（m），

故选D．

【点睛】

本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．

3、C

【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误．

B、不是中心对称图形，故B错误．

C、是中心对称图形，故C正确．

D、不是中心对称图形，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．

4、B

【分析】

连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．

【详解】

解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：

∵AB=8cm，

∴BD=AB=4（cm），

由题意得：OB=OC==5cm，

在Rt△OBD中，OD=（cm），

∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），

即水的最大深度为2cm，

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

5、D

【分析】

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．

【详解】

解：A、（﹣5，0）与（0，5）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故A错误；

B、（0，2）与（2，0）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故B错误；

C、（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）关于x轴对称，故C错误；

D、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故D正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

6、C

【分析】

根据⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5知d>r，据此可得答案．

【详解】

解：∵⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5，

∴d>r，

∴点A在⊙O外，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．

7、B

【分析】

由垂径定理可知，AE=CE，则阴影部分的面积等于扇形AOD的面积，求出，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．

【详解】

解：根据题意，如图：

∵AB是的直径，OD是半径，，

∴AE=CE，

∴阴影CED的面积等于AED的面积，

∴，

∵，，

∴，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．

8、B

【分析】

由题意易得，然后根据三角形外角的性质可求解．

【详解】

解：由旋转的性质可得：，

∴；

故选B．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．

9、A

【分析】

连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．

【详解】

解：连接，

，

，

与圆相切于点，

，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

10、C

【分析】

如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到∠CPO=90°，∠COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．

【详解】

解：如图所示，连接CP，

∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点，

∴∠CPO=90°，∠COP=45°，

∴∠PCO=∠COP=45°，

∴CP=OP=4，

∴，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．

二、填空题

1、140

【分析】

作的外接圆，根据三角形内心的性质可得：，，再由三角形内角和定理得出：，最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得．

【详解】

解：如图所示，作的外接圆，

∵点I是的内心，

∴BI，CI分别平分和，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵点O是的外心，

∴，

故答案为：140．

【点睛】

题目主要考查三角形内心与外心的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键．

2、9cm

【分析】

由弧长公式即可求得弧的半径．

【详解】

∵

∴

故答案为：9cm

【点睛】

本题考查了扇形的弧长公式，善于对弧长公式变形是关键．

3、

【分析】

过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径．

【详解】

如图所示，是正三角形，故O是的中心，，

∵正三角形的边长为2，OE⊥AB

∴，，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

∴，

∴(负值舍去)．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了正多边形和圆，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．

4、

【分析】

设BN与AC交于D，过M作MF⊥BA于F，过M作ME⊥BC于E，连接AM，先证明△EMC≌△FMA得ME=MF，从而可得∠CBD=45°，∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°，再在Rt△BCD、Rt△CDM中，分别求出BD和DM，即可得到答案．

【详解】

解：设BN与AC交于D，过M作MF⊥BA于F，过M作ME⊥BC于E，连接AM，如图：

∵△ABC绕着点C逆时针旋转60°，

∴∠ACM=60°，CA=CM，

∴△ACM是等边三角形，

∴CM=AM①，∠ACM=∠MAC=60°，

∵∠B=90°，AB=BC=1，

∴∠BCA=∠CAB=45°，AC==CM，

∴∠BCM=∠BCA+∠ACM=105°，∠BAM=∠CAB+∠MAC=105°，

∴∠ECM=∠MAF=75°②，

∵MF⊥BA，ME⊥BC，

∴∠E=∠F=90°③，

由①②③得△EMC≌△FMA，

∴ME=MF，

而MF⊥BA，ME⊥BC，

∴BM平分∠EBF，

∴∠CBD=45°，

∴∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°，

Rt△BCD中，BD=BC=，

Rt△CDM中，DM=CM =，

∴BM=BD+DM=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查等腰三角形性质、等边三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠CDB=90°．

5、       

【分析】

过O作OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，然后由OA=OB，且∠AOB为直角，得到三角形OAB为等腰直角三角形，由斜边AB的长，利用勾股定理求出直角边OA的长即可；再由C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角形OAC中，由OA及AC的长，利用勾股定理即可求出OC的长，即为O点到AB的距离．

【详解】

解：过O作OC⊥AB，则有C为AB的中点，

∵OA=OB，∠AOB=90°，AB=a，

∴根据勾股定理得： OA2+OB2=AB，

∴OA=，

在Rt△AOC中，OA=，AC=AB=，

根据勾股定理得：OC==．

故答案为：；

【点睛】

此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，在圆中遇到弦，常常过圆心作弦的垂线，根据近垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．

三、解答题

1、见解析

【分析】

由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．

【详解】

证明：根据题意作图如下：

∵BD是圆周角ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

∴，

∴AD=CD．

【点睛】

本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．

2、（1）S△ABC＝20；（2）见解析；（3）见解析．

【分析】

（1）设⊙O的半径为r，由切线长定理得，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，CE＝CF＝r，由勾股定理得，（r+4）2+（r+5）2＝92，进而求得结果；

（2）根据切线长定理可证明甲和乙两个三角形全等，丙丁两个三角形全等，故将甲乙图形放在OE为边的上方，将丙丁以OP为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；

（3）可先计算∠AFB＝135°，根据“定弦对定角”作F点的轨迹，根据切线性质，过点F作AB的垂线，再根据直径所对的圆周角是90°，确定点C．

【详解】

解：（1）如图1，

设⊙O的半径为r，

连接OE，OF，

∵⊙O内切于△ABC，

∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，

∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，

∴四边形ECFO是矩形，

∴CF＝OE＝r，CE＝OF＝r，

∴AC＝4+r，BC＝5+r，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

（r+4）2+（r+5）2＝92，

∴r2+9r＝20，

∴S△ABC＝

＝

＝

＝

＝20；

（2）

如图2，

（3）设△ABC的内切圆记作⊙F，

∴AF和BF平分∠BAC和∠ABC，FD⊥AB，

∴∠BAF＝∠CAB，∠ABF＝，

∴∠BAF+∠ABF＝（∠BAC+∠ABC）＝＝45°，

∴∠AFB＝135°，

可以按以下步骤作图（如图3）：

①以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E，

②以E为圆心，AE为半径作圆，

③过点D作AB的垂线，交圆于F，

④连接EF并延长交圆于C，连接AC，BC，

则△ABC就是求作的三角形．

【点睛】

本题考查三角形的内切圆性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质、尺规作图-作垂线，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

3、

（1）见解析

（2）3，2

【分析】

（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA=∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，进而得到∠OCD=90°，即可得出结论；

（2）根据平行线分线段成比例定理得到，设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x=1，即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．

（1）

证明：∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵∠DCB＝∠OAC，

∴∠OCA＝∠DCB，     

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠OCA+∠OCB＝90°，

∴∠DCB+∠OCB＝90°，

即∠OCD＝90°，

∴OC⊥DC，     

∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）

∵OE∥BC，

∴，

∵CD=4，CE=6，

∴，

设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，

∵OC⊥DC，

∴△OCD是直角三角形，

在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，

∴（3x）2+42=（5x）2，

解得，x=1，

∴OC=3x=3，即⊙O的半径为3，

∵BC∥OE，

∴∠OCB=∠EOC，

在Rt△OCE中，tan∠EOC=，

∴tan∠OCB=tan∠EOC=2．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．

4、（1）见解析；（2）4

【分析】

（1）连接OB，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠ACO＝∠ABO＝90°，即可证明AC为⊙O的切线；

（2）在Rt△BOD中，勾股定理求得BD，根据sinD＝＝，代入数值即可求得答案

【详解】

解：（1）连接OB，

∵AB是⊙O的切线，

∴OB⊥AB，

即∠ABO＝90°，

∵BC是弦，OA⊥BC，

∴CE＝BE，

∴AC＝AB，

在△AOB和△AOC中，

，

∴△AOB≌△AOC（SSS），

∴∠ACO＝∠ABO＝90°，

即AC⊥OC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）在Rt△BOD中，由勾股定理得，

BD＝＝2，

∵sinD＝＝，⊙O半径为2，OD＝4．

∴＝，

解得AC＝2，

∴AD＝BD+AB＝4．

【点睛】

本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．

5、（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连接OD，由AD∥OC及OD=OA，即可得到∠COB=∠DOC，从而可证得△OBC≌△ODC，即可证得CD是⊙O的切线；

（2）由AD∥OC可得△EAD∽△EOC，可得，再由△OBC≌△ODC得BC=CD，

从而可得，则可求得OC的长．

【详解】

（1）连接OD，

∵，

∴．

又∵，

∴，

∴．

在与中，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴是的切线．

（2）∵，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴OC=15

【点睛】

本题是圆的综合，它考查了切线的判定，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识；证明圆的切线时，往往作半径．