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2021-2022学年安徽省合肥市肥西县九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年安徽省合肥市肥西县九年级（上）期末数学试卷 解析版，共20页。试卷主要包含了填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省合肥市肥西县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每个小题的下面给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个答案是正确的，请把所选项前的字母代号填入下表内。
1．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
2．（3分）若反比例函数的图象经过点（2，4），则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都缩小5倍，则sinA的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
4．（3分）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
5．（3分）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
6．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；
②抛物线与y轴的交点为（0，6）；
③抛物线的对称轴是直线x＝1；
④在对称轴左侧y随x增大而增大．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．6 D．8
9．（3分）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
10．（3分）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，点A在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象过斜边OB的中点D，与AB交于点C．若△OBC的面积为3，则k的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）比较大小：sin48° cos48°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．（4分）若，则的值为 ．
13．（4分）把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是 ．
14．（4分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的从小到大的关系是 ．
15．（4分）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为 ．
三、解答题（本题共6题，第16题4分，第17题6分，第18题8分，第19，20题每题10分，第21题12分，共50分，有解题的主要过程）．
16．（4分）计算：sin30°+cos60°﹣tan45°•tan60°．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1；
（2）分别写出A1，B1，C1三个点的坐标．
18．（8分）“南水北调工程”（中线）有一段堤坝如图所示，其横断面为梯形ABCD，高DH＝10米，斜坡CD的坡度是1：1，但是，为了建设高铁线路，电力部门要在堤坝的正上方通过一组高压线，且高压线的最低点P与点D，H在同一条直线上（PD⊥AD），∠PCD＝26°．
（1）求斜坡CD的坡角α．
（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，则此段大坝是否达到了安全要求？（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）
19．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣2，﹣5）、C（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OC，求△AOC的面积；
（3）直接写出y1＜y2时x的取值范围．
20．（10分）凤凰县某超市销售一种大米，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元斤千克）
6
6.5
7
7.5
销售量y（千克）
1000
900
800
700
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．（12分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BA，AD的延长线上，AE＝AF，BF交CD于点O，ED的延长线交BF于点G，连接CG．
（1）求证：EG⊥BF；
（2）求∠BGC的度数；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣FG＝AG．
2021-2022学年安徽省合肥市肥西县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每个小题的下面给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个答案是正确的，请把所选项前的字母代号填入下表内。
1．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+1，
∴此函数的顶点坐标为（3，1），
故选：A．
2．（3分）若反比例函数的图象经过点（2，4），则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【分析】把点（2，4）代入，求出k的数值即可．
【解答】解：把点（2，4）代入得4＝，
解得k＝8．
故选：C．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都缩小5倍，则sinA的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：C．
4．（3分）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【分析】证明△ABC是等边三角形，可得结论．
【解答】解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC：AD＝2：，
∴tanB＝＝，
∴∠B＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
故选：C．
5．（3分）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.≠2×3，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，再利用相似三角形对应边成比例即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，故A不正确，B正确，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，故C、D不正确，
故选：B．
7．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；
②抛物线与y轴的交点为（0，6）；
③抛物线的对称轴是直线x＝1；
④在对称轴左侧y随x增大而增大．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】从表中知道当x＝﹣2时，y＝0，当x＝0时，y＝6，由此可以得到抛物线与x轴的一个交点坐标和抛物线与y轴的交点坐标，从表中还知道当x＝﹣1和x＝2时，y＝4，由此可以得到抛物线的对称轴方程，同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．
【解答】解：从表中知道：
当x＝﹣2时，y＝0，
当x＝0时，y＝6，
∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），抛物线与y轴的交点为（0，6），
从表中还知道：
当x＝﹣1和x＝2时，y＝4，
∴抛物线的对称轴方程为x＝×（﹣1+2）＝0.5，
同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．
所以①②④正确．
故选：C．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．6 D．8
【分析】如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．解直角三角形求出AE，EC，再利用勾股定理求出BC．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，
∴AE＝AC•cos60°＝4，EC＝AC•sin60°＝4，
∵AB＝4，
∴BE＝AB+AE＝8，
∴BC＝＝＝4，
故选：B．
9．（3分）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠A，＝，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
B、根据＝和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
C、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
故选：B．
10．（3分）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，点A在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象过斜边OB的中点D，与AB交于点C．若△OBC的面积为3，则k的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△ODE＝S△OAC＝|k|，由中点的定义和相似三角形的性质可得＝，在根据S△OBC＝3＝S△OAB﹣S△OAC＝|k|，可求出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，则S△ODE＝S△OAC＝|k|，
∵D是OB的中点，
∴OD＝BD＝OB，
∵DE⊥OA，∠OAB＝90°，
∴DE∥AB，
∴△ODE∽△OBA，
∴＝（）2＝，
∴S△OAB＝4S△ODE＝2|k|，
∴S△OBC＝3＝S△OAB﹣S△OAC＝|k|，
又∵k＞0，
∴k＝2，
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）比较大小：sin48° ＞ cos48°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】求出sin48°＝cos42°，再比较即可．
【解答】解：sin48°＝cos（90°﹣48°）＝cos42°，
∵42°＜48°，
∴sin48°＞cos48°，
故答案为：＞．
12．（4分）若，则的值为 ．
【分析】先根据比例得性质得出4（2a﹣3b）＝6b，求出8a＝18b，再根据比例的性质求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴4（2a﹣3b）＝6b，
∴8a﹣12b＝6b，
∴8a＝6b+12b，
∴8a＝18b，
两边都除以18a，得
＝，
即＝，
∴＝，
故答案为：．
13．（4分）把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是 y＝（x﹣2）2+3 ．
【分析】先确定y＝x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得对应点的坐标为（2，3），所以平移后抛物线的表达式为y＝（x﹣2）2+3．
故答案为y＝（x﹣2）2+3．
14．（4分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的从小到大的关系是 y3＜y1＜y2 ．
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣3＜0，﹣1＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵2＞0，
∴点C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
15．（4分）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为 或 ．
【分析】分两种情况进行分析，①当BF如图位置时，②当BF为BG位置时；根据相似三角形的性质即可求得BM的长．
【解答】解：如图，当BF如图位置时，
∵AB＝AB，∠BAF＝∠ABE＝90°，AE＝BF，
∴△ABE≌△BAF（HL），
∴∠ABM＝∠BAM，
∴AM＝BM，AF＝BE＝3，
∵AB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝＝5，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS＝2，SM是△ABE的中位线，
∴BM＝AE＝×5＝，
当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，
∴BG＝AE＝5，∠AEB＝∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，
∴BH：BC＝BE：BG，
∴BH＝．
故答案为：或．
三、解答题（本题共6题，第16题4分，第17题6分，第18题8分，第19，20题每题10分，第21题12分，共50分，有解题的主要过程）．
16．（4分）计算：sin30°+cos60°﹣tan45°•tan60°．
【分析】sin30°＝，cos60，tan45°＝1，tan60°＝，先代入，再进行计算即可．
【解答】解：原式＝+﹣1×
＝1﹣．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1；
（2）分别写出A1，B1，C1三个点的坐标．
【分析】（1）（2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到A1，B1，C1三个点的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）A1（﹣4，2），B1（﹣6，4），C1（﹣2，8）．
18．（8分）“南水北调工程”（中线）有一段堤坝如图所示，其横断面为梯形ABCD，高DH＝10米，斜坡CD的坡度是1：1，但是，为了建设高铁线路，电力部门要在堤坝的正上方通过一组高压线，且高压线的最低点P与点D，H在同一条直线上（PD⊥AD），∠PCD＝26°．
（1）求斜坡CD的坡角α．
（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，则此段大坝是否达到了安全要求？（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）
【分析】（1）根据斜坡CD的坡度i＝1：1，得tanα＝DH：CH＝1，进而可得α的度数；
（2）由（1）可得CH＝DH＝10米，α＝45°．则∠PCH＝71°，再根据锐角三角函数定义可得PD的长，与18进行比较即可．
【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡度i＝1：1，
∴tanα＝DH：CH＝1：1＝1，
∴α＝45°．
即斜坡CD的坡角α为45°；
（2）此次改造达到了安全要求，理由如下：
由（1）可知：CH＝DH＝10米，α＝45°．
∴∠PCH＝∠PCD+α＝26°+45°＝71°，
在Rt△PCH中，tan∠PCH＝≈2.90，
解得：PD＝19.0（米）．
∵19.0＞18，
∴此次改造达到了安全要求．
19．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣2，﹣5）、C（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OC，求△AOC的面积；
（3）直接写出y1＜y2时x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得点C坐标，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）利用△AOB与△BOC的面积之和得出△AOC的面积；
（3）利用图象观察直线在双曲线下方对应的x的值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝的图象经过点A（﹣2，﹣5），
∴﹣5＝．
∴m＝10．
∴反比例函数的解析式为：y＝．
∵C（5，n）在反比例函数y＝图象上，
∴5n＝10，
∴n＝2．
∴C（5，2）．
∴，
解得：．
∴一次函数的表达式为：y＝x﹣3．
（2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥⊥y轴于点F，如图，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴B（0，﹣3）．
∴OB＝3．
∵A（﹣2，﹣5）、C（5，2），
∴AE＝2，CF＝5．
∴S△AOC＝S△AOB+S△COB＝OB•AE+OB•CF＝×3×2+×3×5＝；
（3）观察图象可知：直线在双曲线下方有两部分，它们对应的x的值为：
x＜﹣2或0＜x＜5．
∴当y1＜y2时x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜5．
20．（10分）凤凰县某超市销售一种大米，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元斤千克）
6
6.5
7
7.5
销售量y（千克）
1000
900
800
700
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法即可求出解析式；
（2）根据销售利润＝销售量×（销售单价﹣成本）即可得出方程；
（3）设利润为w，列出w关于x的函数，根据函数的性质即可求出最大利润．
【解答】解：（1）设一次函数为：y＝kx+b，依题意得：
，
解得：，
∴y与x的函数表达式为：y＝﹣200x+2200；
（2）依题意得：（x﹣5）（﹣200x+2200）＝1600，
整理得：x2﹣16x+63＝0，
解得：x1＝7，x2＝9（舍去），
∵要惠及客户，
∴x＝7．
答：该天的销售单价应定为7元；
（3）设利润为w元，依题意得：
w＝（x﹣5）（﹣200x+2200）
＝﹣200x2+3200x﹣11000
＝﹣200（x﹣8）2+1800，
∵﹣200＜0，
∴当x＝8时，w有最大值，最大值为1800，
∴当定价为8元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润为1800元．
21．（12分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BA，AD的延长线上，AE＝AF，BF交CD于点O，ED的延长线交BF于点G，连接CG．
（1）求证：EG⊥BF；
（2）求∠BGC的度数；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣FG＝AG．
【分析】（1）由题意可得△ADE≌△ABF（SAS），则∠E＝∠F，通过倒角可得到∠F+∠FDG＝90°，即∠DGF＝90°，得证；
（2）连接BD，可得∠CBG＝∠F＝∠E＝∠CDG，可知点C，G，D，B四点共线，由同弧所对圆周角相等，可得∠BGC＝∠BDC＝45°；
（3）在EG上截取EH＝FG，连接AH，可得△AEH≌△AFG（SAS），进而∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，可得△GAH是等腰直角三角形，结论得证．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝∠DAB＝90°，
∵AE＝AG，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴∠E＝∠F，
∵∠ADE+∠E＝90°，∠ADE＝∠FDG，
∴∠F+∠FDG＝90°，
∴∠DGF＝90°，即EG⊥BF；
（2）如图，连接BD，则∠CDB＝45°，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CDG＝∠E，∠F＝∠CBF，
由（1）知∠E＝∠F，
∴∠CDG＝∠CBF，
∴点C，G，D，B四点共线，
∴∠BGC＝∠CDB＝45°；
（3）如图，在EG上截取EH＝FG，连接AH，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∵∠EAH+∠DAH＝90°，
∴∠EAH+∠DAG＝90°，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴HG＝AG，
∴EG﹣EH＝EG﹣FG＝AG．
2021-2022学年安徽省合肥市肥西县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每个小题的下面给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个答案是正确的，请把所选项前的字母代号填入下表内。
1．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
2．（3分）若反比例函数的图象经过点（2，4），则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都缩小5倍，则sinA的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
4．（3分）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
5．（3分）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
6．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；
②抛物线与y轴的交点为（0，6）；
③抛物线的对称轴是直线x＝1；
④在对称轴左侧y随x增大而增大．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．6 D．8
9．（3分）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
10．（3分）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，点A在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象过斜边OB的中点D，与AB交于点C．若△OBC的面积为3，则k的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）比较大小：sin48° cos48°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．（4分）若，则的值为 ．
13．（4分）把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是 ．
14．（4分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的从小到大的关系是 ．
15．（4分）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为 ．
三、解答题（本题共6题，第16题4分，第17题6分，第18题8分，第19，20题每题10分，第21题12分，共50分，有解题的主要过程）．
16．（4分）计算：sin30°+cos60°﹣tan45°•tan60°．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1；
（2）分别写出A1，B1，C1三个点的坐标．
18．（8分）“南水北调工程”（中线）有一段堤坝如图所示，其横断面为梯形ABCD，高DH＝10米，斜坡CD的坡度是1：1，但是，为了建设高铁线路，电力部门要在堤坝的正上方通过一组高压线，且高压线的最低点P与点D，H在同一条直线上（PD⊥AD），∠PCD＝26°．
（1）求斜坡CD的坡角α．
（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，则此段大坝是否达到了安全要求？（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）
19．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣2，﹣5）、C（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OC，求△AOC的面积；
（3）直接写出y1＜y2时x的取值范围．
20．（10分）凤凰县某超市销售一种大米，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元斤千克）
6
6.5
7
7.5
销售量y（千克）
1000
900
800
700
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．（12分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BA，AD的延长线上，AE＝AF，BF交CD于点O，ED的延长线交BF于点G，连接CG．
（1）求证：EG⊥BF；
（2）求∠BGC的度数；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣FG＝AG．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每个小题的下面给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个答案是正确的，请把所选项前的字母代号填入下表内。
1．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+1，
∴此函数的顶点坐标为（3，1），
故选：A．
2．（3分）若反比例函数的图象经过点（2，4），则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【分析】把点（2，4）代入，求出k的数值即可．
【解答】解：把点（2，4）代入得4＝，
解得k＝8．
故选：C．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都缩小5倍，则sinA的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：C．
4．（3分）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【分析】证明△ABC是等边三角形，可得结论．
【解答】解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC：AD＝2：，
∴tanB＝＝，
∴∠B＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
故选：C．
5．（3分）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.≠2×3，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，再利用相似三角形对应边成比例即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，故A不正确，B正确，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，故C、D不正确，
故选：B．
7．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）
①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；
②抛物线与y轴的交点为（0，6）；
③抛物线的对称轴是直线x＝1；
④在对称轴左侧y随x增大而增大．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】从表中知道当x＝﹣2时，y＝0，当x＝0时，y＝6，由此可以得到抛物线与x轴的一个交点坐标和抛物线与y轴的交点坐标，从表中还知道当x＝﹣1和x＝2时，y＝4，由此可以得到抛物线的对称轴方程，同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．
【解答】解：从表中知道：
当x＝﹣2时，y＝0，
当x＝0时，y＝6，
∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），抛物线与y轴的交点为（0，6），
从表中还知道：
当x＝﹣1和x＝2时，y＝4，
∴抛物线的对称轴方程为x＝×（﹣1+2）＝0.5，
同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．
所以①②④正确．
故选：C．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．6 D．8
【分析】如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．解直角三角形求出AE，EC，再利用勾股定理求出BC．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，
∴AE＝AC•cos60°＝4，EC＝AC•sin60°＝4，
∵AB＝4，
∴BE＝AB+AE＝8，
∴BC＝＝＝4，
故选：B．
9．（3分）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠A，＝，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
B、根据＝和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
C、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
故选：B．
10．（3分）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，点A在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象过斜边OB的中点D，与AB交于点C．若△OBC的面积为3，则k的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△ODE＝S△OAC＝|k|，由中点的定义和相似三角形的性质可得＝，在根据S△OBC＝3＝S△OAB﹣S△OAC＝|k|，可求出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，则S△ODE＝S△OAC＝|k|，
∵D是OB的中点，
∴OD＝BD＝OB，
∵DE⊥OA，∠OAB＝90°，
∴DE∥AB，
∴△ODE∽△OBA，
∴＝（）2＝，
∴S△OAB＝4S△ODE＝2|k|，
∴S△OBC＝3＝S△OAB﹣S△OAC＝|k|，
又∵k＞0，
∴k＝2，
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）比较大小：sin48° ＞ cos48°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】求出sin48°＝cos42°，再比较即可．
【解答】解：sin48°＝cos（90°﹣48°）＝cos42°，
∵42°＜48°，
∴sin48°＞cos48°，
故答案为：＞．
12．（4分）若，则的值为 ．
【分析】先根据比例得性质得出4（2a﹣3b）＝6b，求出8a＝18b，再根据比例的性质求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴4（2a﹣3b）＝6b，
∴8a﹣12b＝6b，
∴8a＝6b+12b，
∴8a＝18b，
两边都除以18a，得
＝，
即＝，
∴＝，
故答案为：．
13．（4分）把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是 y＝（x﹣2）2+3 ．
【分析】先确定y＝x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得对应点的坐标为（2，3），所以平移后抛物线的表达式为y＝（x﹣2）2+3．
故答案为y＝（x﹣2）2+3．
14．（4分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的从小到大的关系是 y3＜y1＜y2 ．
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣3＜0，﹣1＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵2＞0，
∴点C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
15．（4分）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为 或 ．
【分析】分两种情况进行分析，①当BF如图位置时，②当BF为BG位置时；根据相似三角形的性质即可求得BM的长．
【解答】解：如图，当BF如图位置时，
∵AB＝AB，∠BAF＝∠ABE＝90°，AE＝BF，
∴△ABE≌△BAF（HL），
∴∠ABM＝∠BAM，
∴AM＝BM，AF＝BE＝3，
∵AB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝＝5，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS＝2，SM是△ABE的中位线，
∴BM＝AE＝×5＝，
当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，
∴BG＝AE＝5，∠AEB＝∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，
∴BH：BC＝BE：BG，
∴BH＝．
故答案为：或．
三、解答题（本题共6题，第16题4分，第17题6分，第18题8分，第19，20题每题10分，第21题12分，共50分，有解题的主要过程）．
16．（4分）计算：sin30°+cos60°﹣tan45°•tan60°．
【分析】sin30°＝，cos60，tan45°＝1，tan60°＝，先代入，再进行计算即可．
【解答】解：原式＝+﹣1×
＝1﹣．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1；
（2）分别写出A1，B1，C1三个点的坐标．
【分析】（1）（2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到A1，B1，C1三个点的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）A1（﹣4，2），B1（﹣6，4），C1（﹣2，8）．
18．（8分）“南水北调工程”（中线）有一段堤坝如图所示，其横断面为梯形ABCD，高DH＝10米，斜坡CD的坡度是1：1，但是，为了建设高铁线路，电力部门要在堤坝的正上方通过一组高压线，且高压线的最低点P与点D，H在同一条直线上（PD⊥AD），∠PCD＝26°．
（1）求斜坡CD的坡角α．
（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，则此段大坝是否达到了安全要求？（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）
【分析】（1）根据斜坡CD的坡度i＝1：1，得tanα＝DH：CH＝1，进而可得α的度数；
（2）由（1）可得CH＝DH＝10米，α＝45°．则∠PCH＝71°，再根据锐角三角函数定义可得PD的长，与18进行比较即可．
【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡度i＝1：1，
∴tanα＝DH：CH＝1：1＝1，
∴α＝45°．
即斜坡CD的坡角α为45°；
（2）此次改造达到了安全要求，理由如下：
由（1）可知：CH＝DH＝10米，α＝45°．
∴∠PCH＝∠PCD+α＝26°+45°＝71°，
在Rt△PCH中，tan∠PCH＝≈2.90，
解得：PD＝19.0（米）．
∵19.0＞18，
∴此次改造达到了安全要求．
19．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣2，﹣5）、C（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OC，求△AOC的面积；
（3）直接写出y1＜y2时x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得点C坐标，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）利用△AOB与△BOC的面积之和得出△AOC的面积；
（3）利用图象观察直线在双曲线下方对应的x的值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝的图象经过点A（﹣2，﹣5），
∴﹣5＝．
∴m＝10．
∴反比例函数的解析式为：y＝．
∵C（5，n）在反比例函数y＝图象上，
∴5n＝10，
∴n＝2．
∴C（5，2）．
∴，
解得：．
∴一次函数的表达式为：y＝x﹣3．
（2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥⊥y轴于点F，如图，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴B（0，﹣3）．
∴OB＝3．
∵A（﹣2，﹣5）、C（5，2），
∴AE＝2，CF＝5．
∴S△AOC＝S△AOB+S△COB＝OB•AE+OB•CF＝×3×2+×3×5＝；
（3）观察图象可知：直线在双曲线下方有两部分，它们对应的x的值为：
x＜﹣2或0＜x＜5．
∴当y1＜y2时x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜5．
20．（10分）凤凰县某超市销售一种大米，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元斤千克）
6
6.5
7
7.5
销售量y（千克）
1000
900
800
700
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法即可求出解析式；
（2）根据销售利润＝销售量×（销售单价﹣成本）即可得出方程；
（3）设利润为w，列出w关于x的函数，根据函数的性质即可求出最大利润．
【解答】解：（1）设一次函数为：y＝kx+b，依题意得：
，
解得：，
∴y与x的函数表达式为：y＝﹣200x+2200；
（2）依题意得：（x﹣5）（﹣200x+2200）＝1600，
整理得：x2﹣16x+63＝0，
解得：x1＝7，x2＝9（舍去），
∵要惠及客户，
∴x＝7．
答：该天的销售单价应定为7元；
（3）设利润为w元，依题意得：
w＝（x﹣5）（﹣200x+2200）
＝﹣200x2+3200x﹣11000
＝﹣200（x﹣8）2+1800，
∵﹣200＜0，
∴当x＝8时，w有最大值，最大值为1800，
∴当定价为8元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润为1800元．
21．（12分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BA，AD的延长线上，AE＝AF，BF交CD于点O，ED的延长线交BF于点G，连接CG．
（1）求证：EG⊥BF；
（2）求∠BGC的度数；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣FG＝AG．
【分析】（1）由题意可得△ADE≌△ABF（SAS），则∠E＝∠F，通过倒角可得到∠F+∠FDG＝90°，即∠DGF＝90°，得证；
（2）连接BD，可得∠CBG＝∠F＝∠E＝∠CDG，可知点C，G，D，B四点共线，由同弧所对圆周角相等，可得∠BGC＝∠BDC＝45°；
（3）在EG上截取EH＝FG，连接AH，可得△AEH≌△AFG（SAS），进而∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，可得△GAH是等腰直角三角形，结论得证．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝∠DAB＝90°，
∵AE＝AG，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴∠E＝∠F，
∵∠ADE+∠E＝90°，∠ADE＝∠FDG，
∴∠F+∠FDG＝90°，
∴∠DGF＝90°，即EG⊥BF；
（2）如图，连接BD，则∠CDB＝45°，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CDG＝∠E，∠F＝∠CBF，
由（1）知∠E＝∠F，
∴∠CDG＝∠CBF，
∴点C，G，D，B四点共线，
∴∠BGC＝∠CDB＝45°；
（3）如图，在EG上截取EH＝FG，连接AH，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∵∠EAH+∠DAH＝90°，
∴∠EAH+∠DAG＝90°，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴HG＝AG，
∴EG﹣EH＝EG﹣FG＝AG．
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