2021-2022学年湖南省长沙市开福区九年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市开福区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市开福区九年级（上）期末数学试卷
一、单选题。（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的倒数是（　　）
A．﹣ B．3 C． D．±
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．5ab﹣3a＝2b B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．2a2b÷b＝2a2
3．（3分）如图，水平放置的下列几何体，主视图不是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）2021年是中国共产党建党百年，走过百年光辉历程的中国共产党，成为拥有9100多万名党员的世界最大的马克思主义执政党．将“9100万”用科学记数法表示应为（　　）
A．9.1×103 B．0.91×104 C．9.1×107 D．91×106
5．（3分）下列说法中正确的是（　　）
A．一组数据2、3、3、5、5、6，这组数据的众数是3
B．袋中有10个蓝球，1个绿球，随机摸出一个球是绿球的概率是0.1
C．为了解长沙市区全年水质情况，适合采用全面调查
D．画出一个三角形，其内角和是180°为必然事件
6．（3分）正多边形的每个内角都是144°，则它的边数是（　　）
A．10 B．13 C．15 D．19
7．（3分）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5 B．m＜5且m≠3 C．m≠3 D．m≤5且m≠3
8．（3分）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（　　）

A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm
10．（3分）甲、乙、丙三个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若已知：①甲不在A校学习；②乙不在B校学习；③在B校学习的学数学；④在A校学习的不学化学；⑤乙不学物理，则（　　）
A．甲在B校学习，丙在A校学习
B．甲在B校学习，丙在C校学习
C．甲在C校学习，丙在B校学习
D．甲在C校学习，丙在A校学习
二、填空题。（每小题3分，共18分）
11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 　 　．
12．（3分）若是方程2x+y＝10的解，求6a+3b﹣4的值是　 　．
13．（3分）已知菱形的两条对角线长分别为10和24，则菱形的边长为　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝6．以点A为圆心，AC长为半径画弧，与AB的延长线交于点D，则图中阴影部分面积为　 　．

15．（3分）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 　 　海里．（结果保留根号）

16．（3分）如图，有一张直角三角形的纸片ABC，其中∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，D为AC边上的一点，现沿过点D的直线折叠，使直角顶点C恰好落在斜边AB上的点E处，当△ADE是直角三角形时，CD的长为 　 　．

三、解答题。（第17-19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各9分，第24、25题各10分，共72分）
17．（6分）计算：（﹣1）2021+（π﹣3）0﹣+4cos60°．
18．（6分）先化简：（x﹣）÷，再从﹣＜x＜中选取一个合适的代入求值．
19．（6分）为了践行“绿水青山就是金山银山”的重要理念，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，古树AB直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了25米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.6米．在E点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡CD的坡度i＝3：4．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
（1）求斜坡CD的高；
（2）求古树的高AB．（结果保留1位小数）

20．（8分）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）此次调查的总人数为 　 　；
（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是 　 　°；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE，BC＝BE．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积．

22．（9分）随着全球疫情的扩散、疫苗需求仍存在较大缺口．某制药企业及时引进一条疫苗生产线生产新冠疫苗．开工第一天生产疫苗10000盒，第三天生产疫苗12100盒，若每天增长的百分率相同．
（1）求每天增长的百分率．
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天、若每增加1条生产线，则每条生产线的产能将减少500盒/天．现该厂要保证每天生产疫苗105000盒．在增加产能的同时又要节省投人的条件下（生产线越多，投入越大）．应该增加几条生产线？
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为（3，0），点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作ME⊥CP于点E，交BP于点N，连结AN．
（1）求⊙M的半径长；
（2）当BP平分∠ABC时，求点P的坐标；
（3）当点P运动时，求线段AN的最小值．

24．（10分）在平面直角坐标系中，若直线l：y＝kx+b（k≠0）与函数G的图象有且只有一个交点P．则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，点P称为“联络点”．
（1）直线y＝﹣x+1是函数的“联络直线”吗？请说明理由；
（2）已知函数，求该函数关于“联络点”（3，4）的“联络直线”的解析式；
（3）若关于x的函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，分别过点P作函数y＝ax2﹣2ax﹣3a关于点M，N的“联络直线”PM、PN．若直线y＝kx﹣1恰好经过M、N两点，请用含a的式子表示线段PC的长．
25．（10分）如图，已知E为正方形ABCD的边AD上一点，连结CE，点B'是点B关于CE的对称点，连结B'D并延长，交BA的延长线于点F，交CE的延长线于点G，连结BG．
（1）请写出图中所有与∠CBG相等，且能用题中已给出的字母表示的角；
（2）连接BB'，若，求的值；
（3）设tan∠ADF＝m（m为常数），求tan∠DCE的值．（用含m的代数式表示）


2021-2022学年湖南省长沙市开福区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题。（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的倒数是（　　）
A．﹣ B．3 C． D．±
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣．
故选：A．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．5ab﹣3a＝2b B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．2a2b÷b＝2a2
【分析】根据合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式、单项式除以单项式的法则分别判断即可．
【解答】解：A．5ab与3a不是同类项，不能合并成一项，故本选项计算错误，不符合题意；
B．（﹣3a2b）2＝9a4b2，故本选项计算错误，不符合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项计算错误，不符合题意；
D．2a2b÷b＝2a2，故本选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，水平放置的下列几何体，主视图不是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：A、为圆柱体，它的主视图应该为矩形；
B、为长方体，它的主视图应该为矩形；
C、为三棱柱，它的主视图应该为矩形；
D、为圆锥，它的主视图应该为三角形；
故选：D．
4．（3分）2021年是中国共产党建党百年，走过百年光辉历程的中国共产党，成为拥有9100多万名党员的世界最大的马克思主义执政党．将“9100万”用科学记数法表示应为（　　）
A．9.1×103 B．0.91×104 C．9.1×107 D．91×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：9100万＝91000000＝9.1×107．
故选：C．
5．（3分）下列说法中正确的是（　　）
A．一组数据2、3、3、5、5、6，这组数据的众数是3
B．袋中有10个蓝球，1个绿球，随机摸出一个球是绿球的概率是0.1
C．为了解长沙市区全年水质情况，适合采用全面调查
D．画出一个三角形，其内角和是180°为必然事件
【分析】根据众数，概率公式，全面调查和抽样调查，事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、一组数据2、3、3、5、5、6，这组数据的众数是3和5，本选项说法不符合题意；
B、袋中有10个蓝球，1个绿球，随机摸出一个球是绿球的概率是＝，本选项说法不符合题意；
C、为了解长沙市区全年水质情况，适合采用抽样调查，本选项说法不符合题意；
D、画出一个三角形，其内角和是180°为必然事件，本选项说法符合题意．
故选：D．
6．（3分）正多边形的每个内角都是144°，则它的边数是（　　）
A．10 B．13 C．15 D．19
【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得
（n﹣2）180°＝144°×n，解得
n＝10，
故选：A．
7．（3分）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5 B．m＜5且m≠3 C．m≠3 D．m≤5且m≠3
【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝2时分式方程的增根，求出此时m的值，即可得到答案．
【解答】解：去分母得，3＝x﹣2+m，
解得，x＝5﹣m，
∵分式方程的解为非负数，
∴5﹣m≥0，
∴m≤5，
又∵x≠2，
∴5﹣m≠2，m≠3，
∴m的取值范围是m≤5且m≠3，
故选：D．
8．（3分）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．
【解答】解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线y＝
k
x
（k＜0）上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（2，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（　　）

A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，可求出BE，再利用勾股定理列式求出BC，最后根据三角形的周长列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
由勾股定理得，BC＝＝8，
∴△BDE的周长＝BE+BD+CD＝BE+BD+CD＝BE+BC＝4+8＝12（cm）．
故选：B．
10．（3分）甲、乙、丙三个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若已知：①甲不在A校学习；②乙不在B校学习；③在B校学习的学数学；④在A校学习的不学化学；⑤乙不学物理，则（　　）
A．甲在B校学习，丙在A校学习
B．甲在B校学习，丙在C校学习
C．甲在C校学习，丙在B校学习
D．甲在C校学习，丙在A校学习
【分析】先判断哪个学校学什么，在B校学习的学数学，在A校学习的不学化学，那么看判断A学校学习的是物理，C学校学习的是化学，因为乙不在B校学习，乙不学物理，那么乙在C学校学习，因为甲不在A校学习，甲就在B学校学习，丙就在A学校学习．
【解答】解：因为在B校学习的学数学，在A校学习的不学化学，那么看判断A学校学习的是物理，C学校学习的是化学，
因为乙不在B校学习，乙不学物理，那么乙在C学校学习，
因为甲不在A校学习，甲就在B学校学习，丙就在A学校学习．
故选：A．
二、填空题。（每小题3分，共18分）
11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 　x≤5且x≠3　．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出5﹣x≥0且x﹣3≠0，再求出即可．
【解答】解：要使有意义，必须x﹣3≠0，解得：x≠3，
要使有意义，必须5﹣x≥0，解得：x≤5，
所以自变量x的取值范围是x≤5且x≠3，
故答案为：x≤5且x≠3．
12．（3分）若是方程2x+y＝10的解，求6a+3b﹣4的值是　26　．
【分析】先代入求出2a+b＝10，再变形，最后代入求出即可．
【解答】解：∵是方程2x+y＝10的解，
∴2a+b＝10，
∴6a+3b﹣4
＝3（2a+b）﹣4
＝3×10﹣4
＝26．
故答案为：26．
13．（3分）已知菱形的两条对角线长分别为10和24，则菱形的边长为　13　．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由平行四边形的性质，可得OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD，继而利用勾股定理，求得这个菱形的边长．
【解答】解：如图，BD＝10，AC＝24，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD，
∴AB＝＝13，
故答案为：13．

14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝6．以点A为圆心，AC长为半径画弧，与AB的延长线交于点D，则图中阴影部分面积为　9π﹣9　．

【分析】利用图中的阴影部分的面积＝S扇形CAD﹣S△ABC计算即可．
【解答】解：作BE⊥AC于E，
∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝6，
∴∠A＝∠ACB＝30°，AE＝CE，
∴BE＝AB＝3，
∴AE＝＝3，
∴AC＝6，
∴图中的阴影部分的面积＝S扇形CAD﹣S△ABC
＝﹣
＝9π﹣9．
故答案为9π﹣9．

15．（3分）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 　20　海里．（结果保留根号）

【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在Rt△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．
【解答】解：作BD⊥AC于点D．
∵∠CBA＝25°+50°＝75°，∠CAB＝（90°﹣70°）+（90°﹣50°）＝20°+40°＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝30°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABD＝75°﹣30°＝45°．
在Rt△ABD中，∠CAB＝60°，AB＝2×20＝40，
BD＝AB•sin∠CAB＝40•sin60°＝40×＝20．
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，cosC＝，
∴∠C＝90﹣∠CBD＝45°，
则BC＝BD＝20（海里）．
故答案为：20．

16．（3分）如图，有一张直角三角形的纸片ABC，其中∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，D为AC边上的一点，现沿过点D的直线折叠，使直角顶点C恰好落在斜边AB上的点E处，当△ADE是直角三角形时，CD的长为 　或3　．

【分析】△ADE是直角三角形分两种情况，一是∠ADE＝90°，则ED＝EF＝CD，可证明△AED∽△ABC，△EBF∽△ABC，由相似三角形的性质可得AE＝ED，BE＝EF，列方程求出ED的长即可；二是将△ABC沿∠ABC的平分线BD折叠，则BC边落在斜边BA上，此时∠AED＝90°，则△ADE是直角三角形，根据勾股定理列方程求出CD的长即可．
【解答】解：如图1，∠ADE＝90°，
∵∠CDE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EDF＝∠CDF＝∠CDE＝45°，
∵∠DEF＝∠C＝90°，
∴∠EDF＝∠EFD＝45°，
∴ED＝EF＝CD，
设ED＝EF＝CD＝m，
∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6，
∵∠ADE＝∠C，
∴ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴AE＝＝ED＝m，
∵∠DEF＝∠ADE，
∴EF∥AC，
∴△EBF∽△ABC，
∴，
∴BE＝＝EF＝m，
∴m+m＝10，
解得m＝；
如图2，将△ABC沿∠ABC的平分线BD折叠，则BC边落在斜边BA上，
∵∠BED＝∠C＝90°，
∴∠AED＝180°﹣90°＝90°，
∴△ADE是直角三角形，
∵AB＝10，BE＝BC＝6，
∴AE＝10﹣6＝4，
∴ED＝CD，
∵ED2+AE2＝AD2，且AD＝8﹣CD，
∴CD2+42＝（8﹣CD）2，
解得CD＝3，
综上所述，CD的长为或3，
故答案为：或3．


三、解答题。（第17-19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各9分，第24、25题各10分，共72分）
17．（6分）计算：（﹣1）2021+（π﹣3）0﹣+4cos60°．
【分析】原式利用乘方的意义，零指数幂法则，算术平方根性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣3+4×
＝﹣1+1﹣3+2
＝﹣1．
18．（6分）先化简：（x﹣）÷，再从﹣＜x＜中选取一个合适的代入求值．
【分析】先把括号内分式相减，再利用分式乘除法法则化简，根据x的取值范围取合适的值代入计算可求解．
【解答】解：原式＝，
由分式有意义的条件可知：x≠﹣1，0，1，且，
∴当x＝2时，原式＝．
19．（6分）为了践行“绿水青山就是金山银山”的重要理念，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，古树AB直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了25米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.6米．在E点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡CD的坡度i＝3：4．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
（1）求斜坡CD的高；
（2）求古树的高AB．（结果保留1位小数）

【分析】（1）过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝3：4可设DG＝3x米，则CG＝4x米，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长；
（2）可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．
【解答】解：（1）过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝3：4，BC＝CD＝25米，
∴设DG＝3x米，则CG＝4x米．
在Rt△CDG中，
∵DG2+CG2＝DC2，即（3x）2+（4x）2＝252，解得x＝5，
∴DG＝15米，CG＝20米，
答：斜坡CD的高为15米；
（2）∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∵EG＝ED+DG＝0.6+15＝15.6米，BG＝BC+CG＝25+20＝45米．
∴EM＝BG＝45米，BM＝EG＝15.6米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝15°，
∴AM＝EM•tan15°≈45×0.27＝12.15米，
∴AB＝AM+BM＝12.15+15.6≈27.8（米）．
答：古树的高AB约为27.8米．

20．（8分）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）此次调查的总人数为 　20　；
（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是 　36　°；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．
【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用360°乘以“不达标”所占的百分比即可得出答案；
（3）先求出C等级的女生和D等级的男生，然后补全统计图即可；
（4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）调查的总人数为：3÷15%＝20（人），
故答案为：20；

（2）360°×（1﹣50%﹣25%﹣15%）＝36°，
答：扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是36°；
故答案为：36；

（3）C等级的人数有：20×25%＝5（人），
C等级的女生人数有：5﹣2＝3（人），
D等级的男生人数有：20﹣（1+2+6+4+5+1）＝1（人），
补全统计图如下：


（4）由题意画树形图如下：

从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）＝＝．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE，BC＝BE．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积．

【分析】（1）根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，由等腰三角形的性质得出∠EAO＝∠AEO，∠CEB＝∠ACB，证出∠OEB＝90°，则可得出结论；
（2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半、直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质可得∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，利用直角三角形的边角关系求出OB、BC利用矩形的面积计算方法进行计算即可．
【解答】证明：（1）连接OE，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵OA＝OE，BE＝BC
∴∠EAO＝∠AEO，∠CEB＝∠ACB
∴∠ACB+∠CAB＝∠AEO+∠CEB＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∵OE为⊙O的半径
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，点E为AC的中点，
∴BE＝CE＝AE＝BC，
∴∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠EBO＝30°，
在Rt△BOE中，OE＝1，
∴OB＝2OE＝2，BE＝OE＝，
∴AB＝1+2＝3，BC＝BE＝，
∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝3．
22．（9分）随着全球疫情的扩散、疫苗需求仍存在较大缺口．某制药企业及时引进一条疫苗生产线生产新冠疫苗．开工第一天生产疫苗10000盒，第三天生产疫苗12100盒，若每天增长的百分率相同．
（1）求每天增长的百分率．
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天、若每增加1条生产线，则每条生产线的产能将减少500盒/天．现该厂要保证每天生产疫苗105000盒．在增加产能的同时又要节省投人的条件下（生产线越多，投入越大）．应该增加几条生产线？
【分析】（1）设每天增长的百分率为x，利用第三天生产口罩的数量＝第一天生产口罩的数量×（1+每天增长的百分率）2，进而得出答案；
（2）设增加y条生产线，则每条生产线的产量为（15000﹣500y）盒/天，利用生产线条数×每条生产线产能＝总生产数，即可得出关于y的一元二次方程，求出答案．
【解答】解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意得：10000（1+x）2＝12100，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为10%；

（2）设增加y条生产线，则每条生产线的产量为（15000﹣500y）盒/天，
依题意得：（1+y）（15000﹣500y）＝105000，
整理得：y2﹣29y+180＝0，
解得：y1＝9，y2＝20，
又∵要节省投入，
∴y＝9．
答：应该增加9条生产线．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为（3，0），点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作ME⊥CP于点E，交BP于点N，连结AN．
（1）求⊙M的半径长；
（2）当BP平分∠ABC时，求点P的坐标；
（3）当点P运动时，求线段AN的最小值．

【分析】（1）连接CM，由CD＝2OM，CD⊥MB，得CM＝＝2OM，得∠MCO＝30°，∠CMO＝60°，从而证明结论；
（2）连接AP，过点P作PF⊥AB于F，由BP平分∠ABC，得∠ABP＝30°，则AP＝，在Rt△PFB中，由∠ABP＝30°，得PF＝，BF＝＝9，从而得出点P的坐标；
（3）由∠PNE＝∠BNM＝60°，BM＝6，可知点N在以G为圆心，GM为半径的圆上，连接AG，此时AN的最小值为AG﹣GM，再利用勾股定理分别求出AG和GM的长即可．
【解答】解：（1）如图，连接CM，

∵CD＝2OM，
∴OM，
∵CD⊥MB，
∴CM＝＝2OM，
∴∠MCO＝30°，∠CMO＝60°，
∵MC＝MB，
∴△CMB为等边三角形，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
∴MB＝2OB＝6，
∴⊙M的半径长为6；
（2）连接AP，过点P作PF⊥AB于F，

∵AB为⊙M的直径，AB＝2MB＝12，
∴∠APB＝90°，
∴△APB为直角三角形，
由（1）得△CMB是等边三角形，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝30°，
∴AP＝，
∴BP＝＝6，
在Rt△PFB中，由∠ABP＝30°，
∴PF＝，
∴BF＝＝9，
∴OF＝BF﹣OB＝6，
∴OF＝6，PF＝3，
∴P（﹣6，3）；
（3）∵CD垂直平分MB，
∴在OC上取点G，使∠GMB＝30°，连接GM，GB，
∵ME⊥PC，
∴∠PEM＝90°，
∵∠CPB＝∠CMB＝30°，
∴∠PNE＝∠BNM＝60°，
∴BM＝6，
∴点N在以G为圆心，GM为半径的圆上，连接AG，此时AN的最小值为AG﹣GM，

∵BM＝6，∠GMB＝30°，
∴OG＝，GM＝2，
在Rt△AOG中，由勾股定理得，AG＝，
∴AN的最小值为﹣2．
24．（10分）在平面直角坐标系中，若直线l：y＝kx+b（k≠0）与函数G的图象有且只有一个交点P．则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，点P称为“联络点”．
（1）直线y＝﹣x+1是函数的“联络直线”吗？请说明理由；
（2）已知函数，求该函数关于“联络点”（3，4）的“联络直线”的解析式；
（3）若关于x的函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，分别过点P作函数y＝ax2﹣2ax﹣3a关于点M，N的“联络直线”PM、PN．若直线y＝kx﹣1恰好经过M、N两点，请用含a的式子表示线段PC的长．
【分析】（1）根据题意，联立y＝﹣x+1和，构成一元二次方程，根据两个函数只有一个交点，判断即可；
（2）设“联络直线”的解析式为y＝kx+b，根据它与函数只有一个交点，联立方程组，得出一元二次方程，利用根的判别式可解答；
（3）点M，N在函数y＝ax2﹣2ax﹣3a上，且直线y＝kx﹣1恰好经过点M，N两点，令ax2﹣2ax﹣3a＝kx﹣1，整理得，ax2﹣（2a+k）x﹣3a+1＝0，设P（0，m），M（x1，kx1﹣1），N（x2，kx2﹣1），利用根与系数的关系可得x1+x2＝，x1x2＝，可表达直线PM和PN的表达式，联立可得[（2a+k）2+（12a2+4ma）]x12﹣2（2a+k）（1+m）x1+（1+m）2＝0，再次运用根与系数的关系表达两根之和和两根之积，化简即可求出点P的坐标，即可表达线段PC的长．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+1不是函数的“联络直线”，理由如下：
将y＝﹣x+1代入得：﹣x+1＝，
整理得：x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴直线y＝﹣x+1与函数的图象没有交点，
∴直线y＝﹣x+1不是函数的“联络直线”；
（2）点（3，4）在函数的图象上，设经过点（3，4）的“联络直线”的解析式为y＝kx+b，
则3k+b＝4，
∴b＝4﹣3k，
∴y＝kx+4﹣3k，
∴kx+4﹣3k＝，
整理得：kx2+（4﹣3k）x﹣12＝0，
∴Δ＝（4﹣3k）2﹣4k×（﹣12）＝0，
解得：k＝﹣，
∴b＝4﹣3k＝4﹣3×（﹣）＝8，
∴函数y＝关于“联络点”（3，4）的“联络直线”的解析式为y＝﹣x+8；
（3）由y＝ax2﹣2ax﹣3a，令x＝0，得y＝﹣3a，
∴C（0，﹣3a），
∵点M，N在函数y＝ax2﹣2ax﹣3a上，且直线y＝kx﹣1恰好经过点M，N两点，
∴令ax2﹣2ax﹣3a＝kx﹣1，整理得，ax2﹣（2a+k）x﹣3a+1＝0，
设P（0，m），M（x1，kx1﹣1），N（x2，kx2﹣1），
则x1+x2＝，x1x2＝，
则直线PM：y＝x+m，
直线PN：y＝x+m，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝x+m，整理得，ax1x2﹣（2ax1+kx1﹣1﹣m）x﹣（3a+mx1）＝0，
∴Δ＝（2ax1+kx1﹣1﹣m）2﹣4ax1（3a+mx1）＝0，
即[（2a+k）2+（12a2+4ma）]x12﹣2（2a+k）（1+m）x1+（1+m）2＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴＝，＝，
整理可得m＝1﹣6a，
∴PC＝|1﹣6a﹣（﹣3a）|＝|1﹣3a|．
25．（10分）如图，已知E为正方形ABCD的边AD上一点，连结CE，点B'是点B关于CE的对称点，连结B'D并延长，交BA的延长线于点F，交CE的延长线于点G，连结BG．
（1）请写出图中所有与∠CBG相等，且能用题中已给出的字母表示的角；
（2）连接BB'，若，求的值；
（3）设tan∠ADF＝m（m为常数），求tan∠DCE的值．（用含m的代数式表示）

【分析】（1）连接BB′，根据对称性即可得与∠CBG相等的角有：∠CB'G、∠CDB'、∠F；
（2）作CH⊥B′D于点H，连结BB'交CG于点M，证明BM＝BG，即可解决问题；
（3）由（2）得∠DCH＝∠ADF，BM＝BG，∠BMC＝90°，根据tan∠ADF＝m，可得tan∠DCH＝＝m，设GH＝CH＝x，则B′H＝DH＝mx，BG＝B′G＝mx+x＝（m+1）x，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）与∠CBG相等的角：∠CB'G、∠CDB'、∠F，理由如下：
如图1，连接BB′，

∵点B与B'关于CG对称，
∴B'C＝BC，B'G＝BG，
∴∠CBB′＝∠CB'B，∠GBB′＝∠GB'B，
∴∠CBG＝∠CB'G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵B'C＝BC，
∴B'C＝CD，
∴∠CBG＝∠CB'G＝∠CDB′，
∴∠ADF+∠CDB′＝90°，
∵∠ADF+∠F＝90°，
∴∠CDB′＝∠F，
∴∠CBG＝∠F，
∴与∠CBG相等的角有：∠CB'G、∠CDB'、∠F；
（2）解：如图1中，作CH⊥B′D于点H，连结BB'交CG于点M，

∴GM⊥BB′，BM＝B′M，
∵∠CDG+∠CDB'＝180°，∠CBG＝∠CDB′，
∴∠CDG+∠CBG＝180°，
∴∠BCD+∠BGB'＝180°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BGB'＝90°，
∴∠BGC＝∠B'GC＝45°，
∵GM⊥BB′，
∴∠BMG＝∠B'MG＝90°，
∴∠GBM＝45°，
∴∠BGM＝∠GBM，
∴GM＝BM＝BB′，
∵BM2+GM2＝BG2，
∴BM＝BG，
∴BB′＝2BM＝BG，
∵CH⊥B′D，
∴CH∥B′D，
∴∠CGH＝∠GCH＝∠BGC＝45°，
∴CH＝GH，
∴CH＝CG，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDH＝90°，
∵∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠DCH＝∠ADF，
∴tan∠DCH＝tan∠ADF＝，
∴GH＝CH＝2DH，
∵B'C＝CD，
∴B'D＝2DH，
∴BG＝B′G＝CH＝CG，
∴B′B＝CG＝CG，
∴＝＝；
（3）由（2）得∠DCH＝∠ADF，BM＝BG，∠BMC＝90°，
∵tan∠ADF＝m，
∴tan∠DCH＝＝m，
∴设GH＝CH＝x，则B′H＝DH＝mx，
∴BG＝B′G＝mx+x＝（m+1）x，
∴BC＝CD＝＝x，
∴BM＝BG＝（m+1）x，
∴CM＝＝（1﹣m）x，
∴tan∠CBM＝＝，
∵∠BMC＝90°，
∴∠CBM+∠BCM＝90°，
∵∠DCE+∠BCM＝90°，
∴∠DCE＝∠CBM，
∴tan∠DCE的值为．