初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课后作业题

沪科版九年级数学下册第24章圆定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，PA是的切线，切点为A，PO的延长线交于点B，若，则的度数为（    ）．

A．20° B．25° C．30° D．40°

2、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（　　）

A．10 B．6 C．6 D．12

3、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（　　）

A．5 B． C． D．

5、如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转90°得到，则的度数为（    ）

A．105° B．120° C．135° D．150°

6、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C．  D．

7、在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

8、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（   ）

A．3 B．2 C．1 D．

9、如图，ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将ABC绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是（    ）

A．50° B．70° C．110° D．120°

10、点P(－3，1)关于原点对称的点的坐标是（    ）

A．(－3，1) B．(3，1) C．(3，－1) D．(－3，－1)

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠AOB=70º，那么∠C的度数为_______．

2、如图，在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A1OA0＝60°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠A2A1O＝90°，∠A2OA1＝60°，按此方法进行下去，得到 Rt△OA2A3，Rt△OA3A4…，若点A0的坐标是（1，0），则点A2021的横坐标是___________．

3、将点绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点，当点恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为________．

4、如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是______．

5、如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为_____cm．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．

（1）求证：AC为⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．

2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．

（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧的长．

3、下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：⊙O和⊙O外一点P．

求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，

（1）连接OP；

（2）分别以点O和点P为圆心，大于的长半径作弧，两弧相交于M，N两点；

（3）作直线MN，交OP于点C；

（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；

（5）作直线PA，PB．直线PA，PB即为所求作⊙O的切线

完成如下证明：

证明：连接OA，OB，

∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上

∴∠OAP=90°（___________）（填推理的依据）．

∴OA⊥AP．

又∵点A在⊙O上，

∴直线PA是⊙O的切线（___________）（填推理的依据）．

同理可证直线PB是⊙O的切线．

4、如图，在中，，，将绕着点A顺时针旋转得到，连接BD，连接CE并延长交BD于点F．

（1）求的度数；

（2）若，且，求DF的长．

5、如图，点A是外一点，过点A作出的一条切线．（使用尺规作图，作出一条即可，不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．

【详解】

解：连接OA，如图，

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∴∠PAO=90°，

∵∠P=40°，

∴∠AOP=50°，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB，

∵∠AOP=∠B+∠OAB，

∴∠B=∠AOP=×50°=25°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．

2、D

【分析】

连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．

【详解】

解：连接OB，OC，

∵∠BAC=30°，

∴∠BOC=60°．

∵OB=OC，BC=6，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC=6．

∴⊙O的直径等于12．

故选：D．

【点睛】

本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．

3、D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4、D

【分析】

连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分，OC平分，利用平行线的性质及角之间的关系得出，利用勾股定理得出，再由三角形的等面积法即可得．

【详解】

解：连接OF，OE，OG，

∵AB、BC、CD分别与相切，

∴，，，且，

∴OB平分，OC平分，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

5、B

【分析】

由题意易得，然后根据三角形外角的性质可求解．

【详解】

解：由旋转的性质可得：，

∴；

故选B．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．

6、B

【详解】

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

7、B

【分析】

根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系

【详解】

解：连接,

，点O为AB中点．

CO为⊙C的半径，

是的切线，

⊙C 与AB的位置关系是相切

故选B

【点睛】

本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．

8、B

【分析】

连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．

【详解】

解：连接OC，如图

∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．

9、B

【分析】

根据旋转可得，，得．

【详解】

解：，，

，

将绕点逆时针旋转得到△，使点的对应点恰好落在边上，

，，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．

10、C

【分析】

据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（x，y），然后直接作答即可．

【详解】

解：根据中心对称的性质，可知：点P（3，1）关于原点O中心对称的点的坐标为（3，1）．

故选：C．

【点睛】

本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．

二、填空题

1、35°

【分析】

利用圆周角定理求出所求角度数即可．

【详解】

解：与都对，且，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．

2、22020

【分析】

根据，，点的坐标是，得，点 的横坐标是，点 的横坐标是-，同理可得点 的横坐标是，点 的横坐标是，点 的横坐标是，点 的横坐标是，点 的横坐标是，依次进行下去，可得点的横坐标，进而求得的横坐标．

【详解】

解：∵∠OA0A1＝90°，∠A1OA0＝60°，点A0的坐标是（1，0），

∴OA0＝1，

∴点A1 的横坐标是 1＝20，

∴OA1＝2OA0＝2，

∵∠A2A1O＝90°，∠A2OA1＝60°，

∴OA2＝2OA1＝4，

∴点A2 的横坐标是- OA2＝-2＝-21，

 依次进行下去，Rt△OA2A3，Rt△OA3A4…，

同理可得：

点A3 的横坐标是﹣2OA2＝﹣8＝﹣23，

点A4 的横坐标是﹣8＝﹣23，

点A5 的横坐标是 OA5＝×2OA4＝2OA3＝4OA2＝16＝24，

点A6 的横坐标是2OA5＝2×2OA4＝23OA3＝64＝26，

点A7 的横坐标是64＝26，

…

发现规律，6次一循环，

即

，

，

2021÷6=336……5

则点A2021的横坐标与的坐标规律一致是 22020．

故答案为：22020．

【点睛】

本题考查了规律型——点的坐标，解决本题的关键是理解动点的运动过程，总结规律，发现规律，点A3n在轴上，且坐标为．

3、或

【分析】

设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，由全等三角形求出点坐标，由点在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G的坐标．

【详解】

设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，

如图所示：

∵，

∴，，

∵点A绕点G顺时针旋转90°后得到点，

∴，，

∴，

∵轴，轴，

∴，

∴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得：，

解得：或，

∴或．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．

4、2

【分析】

连接OC，利用半径相等以及三角形的外角性质求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性质即可求解．

【详解】

解：连接OC，

∵OA=OC，∠A=30°，

∴∠COH=2∠A=60°，

∵弦CD⊥AB于H，

∴∠OHC=90°，

∴∠OCH=30°，

∵OH=1，

∴OC=2OH=2，

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了垂径定理和含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握垂径定理是解题的关键．

5、

【分析】

如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，通过△OCD≌△OBE（SAS），可得OE＝OD，通过旋转观察如图可知当DO⊥AB时，DO最长，此时OE最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，先证明△MED≌△MEB，得MD＝BM．再利用勾股定理计算即可．

【详解】

解：如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，

∵四边形BCDE是正方形，

∴∠BCD＝∠CBE＝90°，CD＝BC＝BE＝DE，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠BCD+∠OCB＝∠CBE+∠OBC，即∠OCD＝∠OBE，

∴△OCD≌△OBE（SAS），

∴OE＝OD，

根据旋转的性质，观察图形可知当DO⊥AB时，DO最长，即OE最长，

∵∠MCB＝∠MOB＝×90°＝45°，

∴∠DCM＝∠BCM＝45°，

∵四边形BCDE是正方形，

∴C、M、E共线，∠DEM＝∠BEM，

在△EMD和△EMB中，

，

∴△MED≌△MEB（SAS），

∴DM＝BM＝＝＝2（cm），

∴OD的最大值＝2+2，即OE的最大值＝2+2；

故答案为：（2+2）cm．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是OD取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）4

【分析】

（1）连接OB，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠ACO＝∠ABO＝90°，即可证明AC为⊙O的切线；

（2）在Rt△BOD中，勾股定理求得BD，根据sinD＝＝，代入数值即可求得答案

【详解】

解：（1）连接OB，

∵AB是⊙O的切线，

∴OB⊥AB，

即∠ABO＝90°，

∵BC是弦，OA⊥BC，

∴CE＝BE，

∴AC＝AB，

在△AOB和△AOC中，

，

∴△AOB≌△AOC（SSS），

∴∠ACO＝∠ABO＝90°，

即AC⊥OC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）在Rt△BOD中，由勾股定理得，

BD＝＝2，

∵sinD＝＝，⊙O半径为2，OD＝4．

∴＝，

解得AC＝2，

∴AD＝BD+AB＝4．

【点睛】

本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．

2、（1）作图见解析；（2）

【分析】

（1）由于D点为⊙O的切点，即可得到OC=OD，且OD⊥AB，则可确定O点在∠A的角平分线上，所以应先画出∠A的角平分线，与BC的交点即为O点，再以O为圆心，OC为半径画出圆即可；

（2）连接CD和OD，根据切线长定理，以及圆的基本性质，求出∠DCB的度数，然后进一步求出∠COD的度数，并结合三角函数求出OC的长度，再运用弧长公式求解即可．

【详解】

解：（1）如图所示，先作∠A的角平分线，交BC于O点，以O为圆心，OC为半径画出⊙O即为所求；

（2）如图所示，连接CD和OD，

由题意，AD为⊙O的切线，

∵OC⊥AC，且OC为半径，

∴AC为⊙O的切线，

∴AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

∵CD=BD，

∴∠B=∠DCB，

∵∠ADC=∠B+∠BCD，

∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCB=90°，

即：3∠DCB=90°，

∴∠DCB=30°，

∵OC=OD，

∴∠DCB=∠ODC=30°，

∴∠COD=180°-2×30°=120°，

∵∠DCB=∠B=30°，

∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°，

∵AO平分∠BAC，

∴∠CAO=∠DAO=30°，

∴在Rt△ACO中，，

∴．

【点睛】

本题考查复杂作图-作圆，以及圆的基本性质和切线长定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键．

3、直径所对的圆周角是直角    经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线   

【分析】

连接OA，OB，根据圆周角定理可知∠OAP=90°，再依据切线的判定证明结论；

【详解】

证明：连接OA，OB，

∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上，

∴∠OAP=90°（直径所对的圆周角是直角），

∴OA⊥AP．

又∵点A在⊙O上，

∴直线PA是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），

同理可证直线PB是⊙O的切线，

故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

4、（1）45°；（2）

【分析】

（1）根据旋转的性质得，，，，通过等量代换及三角形内角和得，根据四点共圆即可求得；

（2）连接EB，先证明出，根据全等三角形的性质得，在中利用勾股定理，即可求得．

【详解】

解：（1）由旋转可知：

，，，，

∴，，．

由三角形内角和定理得，

∴点A，D，F，E共圆．

∴．

（2）连接EB，

∵，

∴．

∵，

∴．

又∵，，

∴．

∴，．

∴．

在中，，，，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、三角形全等判定及性质、勾股定理、三角形内角和等，解题的关键是掌握旋转的性质．

5、见解析

【分析】

先作线段的垂直平分线．确定的中点，再以中点为圆心，一半为半径作圆交于点，然后作直线，则根据圆周角定理可得为所求．

【详解】

如图，直线AB就是所求作的，

（作法不唯一，作出一条即可，需要有作图痕迹）

【点睛】

本题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．