2021学年第24章 圆综合与测试课时训练

沪科版九年级数学下册第24章圆综合测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（　　）

A．5厘米 B．4厘米 C．厘米 D．厘米

2、如图，ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将ABC绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是（    ）

A．50° B．70° C．110° D．120°

3、如图，边长为5的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（    ）

A． B．1 C．2 D．

4、如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（　　）

A．10 B．6 C．6 D．12

6、下列语句判断正确的是（　　）

A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形

B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形

D．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

7、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8、如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转90°得到，则的度数为（    ）

A．105° B．120° C．135° D．150°

9、将等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，那么n的最小值是（      ）

A．60 B．90 C．120 D．180

10、如图，在中，，，，将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、半径为6cm的扇形的圆心角所对的弧长为cm，这个圆心角______度．

2、在平面直角坐标系中，点，圆C与x轴相切于点A，过A作一条直线与圆交于A，B两点，AB中点为M，则OM的最大值为______．

3、如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为______．

4、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．

5、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，和中，，，，连接，点M，N，P分别是的中点．

（1）请你判断的形状，并证明你的结论．

（2）将绕点A旋转，若，请直接写出周长的最大值与最小值．

2、如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，作∠FAC=∠BAC，过点C作CF⊥AF于点F．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若sin∠CAB=，求=_______．（直接写出答案）

3、如图，四边形是的内接四边形，，，．

（1）求的度数．

（2）求的度数．

4、如图，已知为的直径，切于点C，交的延长线于点D，且．

（1）求的大小；

（2）若，求的长．

5、如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，于点．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若，，求的长.．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据题意先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．

【详解】

解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，

∴AC=8-2=6厘米，

过点O作OB⊥AC于点B，

则AB=AC=×6=3厘米，

设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，

在Rt△AOB中，

OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，

解得r=厘米．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

2、B

【分析】

根据旋转可得，，得．

【详解】

解：，，

，

将绕点逆时针旋转得到△，使点的对应点恰好落在边上，

，，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．

3、A

【分析】

取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．

【详解】

解：如图，取BC的中点G，连接MG，

∵旋转角为60°，

∴∠MBH+∠HBN=60°，

又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，

∴∠HBN=∠GBM，

∵CH是等边△ABC的对称轴，

∴HB=AB，

∴HB=BG，

又∵MB旋转到BN，

∴BM=BN，

在△MBG和△NBH中，

，

∴△MBG≌△NBH（SAS），

∴MG=NH，

根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，

此时∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×5=2.5，

∴MG=CG=，

∴HN=，

故选A．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

4、A

【分析】

先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得．

【详解】

由旋转的性质得：，

，

是等边三角形，

，

，

．

故选：A．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．

5、D

【分析】

连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．

【详解】

解：连接OB，OC，

∵∠BAC=30°，

∴∠BOC=60°．

∵OB=OC，BC=6，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC=6．

∴⊙O的直径等于12．

故选：D．

【点睛】

本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．

6、A

【分析】

根据等边三角形的对称性判断即可．

【详解】

∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，

∴B，C，D都不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．

7、B

【分析】

由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．

【详解】

∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，

∴，，

∴在和中，，

∴，

∴．

故选：B

【点睛】

本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．

8、B

【分析】

由题意易得，然后根据三角形外角的性质可求解．

【详解】

解：由旋转的性质可得：，

∴；

故选B．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．

9、C

【分析】

根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．

【详解】

解：等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是=120°．

故选C．

【点睛】

本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．

10、C

【分析】

过点A作AC⊥x轴于点C，设 ，则 ，根据勾股定理，可得，从而得到 ，进而得到∴ ，可得到点 ，再根据旋转的性质，即可求解．

【详解】

解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，

设 ，则 ，

∵ ，，

∴，

∵， ，

∴ ，

解得： ，

∴ ，

∴ ，

∴点 ，

∴将绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是，

∴将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是．

故选：C

【点睛】

本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点A的坐标，属于中考常考题型．

二、填空题

1、60

【分析】

根据弧长公式求解即可．

【详解】

解：，

解得，，

故答案为：60．

【点睛】

本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键.

2、##

【分析】

如图所示，取D（-2，0），连接BD，连接CD与圆C交于点，先求出A点坐标，从而可证OM是△ABD的中位线，得到，则当BD最小时，OM也最小，即当B运动到时，BD有最小值，由此求解即可．

【详解】

解：如图所示，取D（-2，0），连接BD，连接CD与圆C交于点

∵点C的坐标为（2，2），圆C与x轴相切于点A，

∴点A的坐标为（2，0），

∴OA=OD=2，即O是AD的中点，

又∵M是AB的中点， 

∴OM是△ABD的中位线，

∴，

∴当BD最小时，OM也最小，

∴当B运动到时，BD有最小值，

∵C（2，2），D（-2，0），

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了坐标与图形，一点到圆上一点的距离得到最小值，两点距离公式，三角形中位线定理，把求出OM的最小值转换成求BD的最小值是解题的关键．

3、

【分析】

先由切线的性质得到∠OBC=90°，再由平行四边形的性质得到BO=BC，则∠BOC=∠BCO=45°，由OD=OB，得到∠ODB=∠OBD，由∠ODB+∠OBD=∠BOC，即可得到∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°．

【详解】

解：∵BC是圆O的切线，

∴∠OBC=90°，

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴AO=BC，

又∵AO=BO，

∴BO=BC，

∴∠BOC=∠BCO=45°，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠ODB+∠OBD=∠BOC，

∴∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°，

故答案为：22.5°．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知切线的性质是解题的关键．

4、六

【分析】

设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，则，由此即可得到答案．

【详解】

解：设这个正多边形的边数为n，

∵正多边形的半径与边长相等，

∴OA=OB=AB，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴，

∴，

∴正多边形的边数是六，

故答案为：六．

【点睛】

本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．

5、

【分析】

由勾股定理求得圆锥母线长为，再由圆锥的侧面积公式即可得出圆锥侧面积为．

【详解】

∵是一个圆锥在某平面上的正投影

∴为等腰三角形

∵AD⊥BC

∴

在中有

即

由圆锥侧面积公式有．

故答案为：。

【点睛】

本题考查了计算圆锥的侧面积，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为．

三、解答题

1、

（1）是等腰直角三角形，证明见解析

（2）周长最小值为。最大值为

【分析】

（1）连接BD，CE，根据SAS证明得BD=CE，根据三角形中位线性质可证明PM=PN；，进而可得结论；

（2）当BD最小时即点D在AB上，此时周长最小，当点D在BA的延长线上时，BD最大，此时周长最大，均为，求出BD的长即可解决问题．

（1）

连接BD，CE，如图，

∵，，，

∴

∴

∴

∴BD=CE，

∵点M，N，P分别是的中点

∴//，，PN//BD，PN=BD

∴PM=PN，

∵PN//BD

∴∠PNC=∠DBC

∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECA+∠ACD+∠PCN+∠PNC=∠ACB+∠DBC+∠ABD=∠ACB+∠ABC=90°

∴

∴是等腰直角三角形；

（2）

由（1）知，是等腰直角三角形

∴

∴的周长为

∵

∴的周长为

当BD最小时即点D在AB上，此时周长最小，

∵AB=8，AD=3

∴BD的最小值为AB-AD=8-3=5

∴周长最小为

当点D在BA的延长线上时，BD最大，此时周长最大，

∴BD=AB+AD=8+3=11

∴周长最大为

【点睛】

此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理的应用等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．

2、

（1）见解析

（2）

【分析】

（1）如图，连接OC，根据等腰三角形的性质可得∠CAB=∠ACO，即可得出∠FAC=∠ACO，可得AF//OC，根据平行线的性质可得∠AFC+∠OCF=180°，根据CF⊥AF可得∠OCF=90°，即可得出CF是⊙O的切线；

（2）利用AAS可证明△AFC≌△AEC，可得S△AFC=S△AEC，根据垂径定理可得CE=DE，可得S△BCD=2S△BCE，根据AB是直径可得∠ACB=90°，根据角的和差关系可得∠BCE=∠CAB，根据正弦的定义可得，可得BE=，AB=，进而可得AE=，根据三角形面积公式即可得答案．

（1）

（1）如图，连接OC，

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠ACO，

∵∠FAC=∠BAC，

∴∠FAC=∠ACO，

∴AF//OC，

∴∠AFC+∠OCF=180°，

∵CF⊥AF，

∴∠OCF=90°，即OC⊥CF，

∴CF是⊙O的切线．

（2）

在△AFC和△AEC中，，

∴△AFC≌△AEC，

∴S△AFC=S△AEC，

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CE=DE，

∴S△BCD=2S△BCE，

∵∠BCE+∠CBA=90°，∠CAB+∠CBA=90°，

∴∠BCE=∠CBA，

∵sin∠CAB=，

∴sin∠CAB=sin∠BCE=，

∴BE=，AB=，

∴AE=，

∴====．

故答案为：

【点睛】

本题考查切线的判定、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的定义，经过半径的外端点，且垂直于这条半径的直线是圆的切线；直径所对的圆周角是90°；垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；在直角三角形中，锐角的正弦是锐角的对边与斜边的比值；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

3、（1）70°；（2）103°

【分析】

（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，得出，在三角形中利用三角形内角和定理求解即可得；

（2）由圆周角定理可得，结合（1）中结论及图形可得：，代入求解即可．

【详解】

解：（1），

，，

在中，

．

（2）由圆周角定理，得．

．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握运用圆周角定理是解题关键．

4、

（1）45°

（2）

【分析】

（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据圆周角定理得到∠DOC=2∠CAD，进而证明∠D=∠DOC，根据等腰直角三角形的性质求出∠D的度数；

（2）根据等腰三角形的性质求出OC，根据弧长公式计算即可．

（1）

连接．

∵ ，

∴ ，即 ．

∵ ，

∴ ．

∵ 是⊙的切线，

∴ ，即 ．

∴ ．

∴ ．

∴ ．

（2）

∵ ，，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴ 的长．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

5、（1）见详解；（2）7

【分析】

（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；

（2）根据切线长定理可得AB=AC，BE=DE，再利用勾股定理即可求解．

【详解】

（1）证明：∵，DE是的两条切线，于点

∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，

∴四边形是矩形；

（2）∵四边形是矩形，

∴EF=，CF=，

∵，，DE是的两条切线，

∴AB=AC，BE=DE，

设AB=AC=x，则AE=x+2，AF=x-2，

在中，，

解得：x=5，

∴AC=5+2=7．

【点睛】

本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．