初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课后测评

沪科版九年级数学下册第24章圆必考点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，为正六边形边上一动点，点从点出发，沿六边形的边以1cm/s的速度按逆时针方向运动，运动到点停止．设点的运动时间为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图像能大致反映与的函数关系的是（    ）

A． B．

C． D．

2、的边经过圆心，与圆相切于点，若，则的大小等于（    ）

A． B． C． D．

3、如图，是的直径，弦，垂足为，若，则（    ）

A．5 B．8 C．9 D．10

4、下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

5、如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ）

A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断

6、如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转60°得到，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7、如图，CD是的高，按以下步骤作图：

（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点．

（2）作直线GH交AB于点E．

（3）在直线GH上截取．

（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．

则下列说法错误的是（    ）

A． B． C． D．

8、如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转90°得到，则的度数为（    ）

A．105° B．120° C．135° D．150°

9、如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

10、如图，在Rt△ABC中，，，，以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点，，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是______．

2、如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为_______．

3、如图，⊙O的半径为5cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为 ___．

4、将点绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点，当点恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为________．

5、一条弧所对的圆心角为，弧长等于，则这条弧的半径为________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．（每个方格的边长均为1个单位长度）

（1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标；

（2）画出绕点O逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；

（3）写出经过怎样的旋转可直接得到．（请将20题（1）（2）小问的图都作在所给图中）

2、如图，在等边中，D为BC边上一点，连接AD，将沿AD翻折得到，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的大小；

（3）猜想CF，BF，AF之间的数量关系，并证明．

3、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．

（1）求证：

①BC是⊙O的切线；

②；

（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．

4、在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(，0)，B(0，)．

（1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝        ，d(B，⊙O)＝        ．

（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；

（3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围．

5、如图，为的直径，为的切线，弦，直线交的延长线于点，连接．

求证：（1）；

（2）．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

设正六边形的边长为1，当在上时，过作于 而 求解此时的函数解析式，当在上时，延长交于点 过作于 并求解此时的函数解析式，当在上时，连接 并求解此时的函数解析式，由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，在上的图象与在上的图象是对称的，从而可得答案.

【详解】

解：设正六边形的边长为1，当在上时，

过作于 而

当在上时，延长交于点 过作于

同理：

则为等边三角形，

当在上时，连接

由正六边形的性质可得：

由正六边形的对称性可得： 而

由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，

在上的图象与在上的图象是对称的，

所以符合题意的是A，

故选A

【点睛】

本题考查的是动点问题的函数图象，锐角三角函数的应用，正多边形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.

2、A

【分析】

连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．

【详解】

解：连接，

，

，

与圆相切于点，

，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

3、C

【分析】

连接，根据垂径定理可得，设的半径为，则,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得

【详解】

解：如图，连接，

∵是的直径，弦，

∴

设的半径为，则

在中，，

即

解得

即

故选C

【点睛】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

4、A

【分析】

中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．

5、B

【分析】

根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．

【详解】

解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．

故选：B．

【点睛】

本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．

6、B

【分析】

由题意以及旋转的性质可得为等边三角形，则BD=2，故CD=BC-BD=2．

【详解】

由题意以及旋转的性质知AD=AB，∠BAD=60°

∴∠ADB=∠ABD

∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°

∴∠ADB=∠ABD=60°

故为等边三角形，即AB= AD =BD=2

则CD=BC-BD=4-2=2

故选：B．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定及性质，等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于，等边三角形判定的方法有：三边相等的三角形是等边三角形（定义）；三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形；两个内角为60度的三角形是等边三角形．

7、C

【分析】

连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，再根据可得∠AFE=45°，进而得出∠AFB＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．

【详解】

解：连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，

∴，故A正确；

∵CD是的高，

∴，故B正确；

∵，，

∴，故C错误；

∵，

∴∠AFE=45°，

同理可得∠BFE=45°，

∴∠AFB＝90°，

，故D正确；

故选：C．

【点睛】

本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．

8、B

【分析】

由题意易得，然后根据三角形外角的性质可求解．

【详解】

解：由旋转的性质可得：，

∴；

故选B．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．

9、D

【分析】

根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．

【详解】

解：设AB与CD交于点E，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，

∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∴∠OCE=30°，

∴，

∴，

又∵，即

∴，

在△OCE和△BDE中，

，

∴△OCE≌△BDE（AAS），

∴

∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，

故选D．

【点睛】

本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．

10、A

【分析】

连结OC，根据切线长性质DC=AC，OC平分∠ACD，求出∠OCD=∠OCA==30°，利用在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，利用三角形面积公式求出，，再求出扇形面积，利用割补法求即可．

【详解】

解：连结OC，

∵以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点A, ，

∴DC=AC，OC平分∠ACD，

∵，，

∴∠ACD=90°-∠B=60°，

∴∠OCD=∠OCA==30°，

在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，

在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，

∴OD=OA=1，DC=AC=，

∴，，

∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，

∴，

S阴影=．

故选择A．

【点睛】

本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．

二、填空题

1、6

【分析】

如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，再求出圆的半径即可．

【详解】

解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．

∵正六边形ABCDEF，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，

∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，

∵的周长为，

∴的半径为，

正六边形的边长是6；

【点睛】

本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键．

2、45

【分析】

连接OC，OD，根据同底等高可知S△ACD=S△OCD，把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式S=来求解．

【详解】

解：连接OC，OD，

∵直径AB=30，

∴OC=OD=，

∴CD∥AB，

∴S△ACD=S△OCD，

∵长为6π，

∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=，

故答案为：45π．

【点睛】

本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键．

3、

【分析】

根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．

【详解】

如图，连接BO，OC，OA，

由题意得：△BOC，△AOB都是等边三角形，

∴∠AOB＝∠OBC＝60°，

∴OA∥BC，

∴，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出．

4、或

【分析】

设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，由全等三角形求出点坐标，由点在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G的坐标．

【详解】

设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，

如图所示：

∵，

∴，，

∵点A绕点G顺时针旋转90°后得到点，

∴，，

∴，

∵轴，轴，

∴，

∴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得：，

解得：或，

∴或．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．

5、9cm

【分析】

由弧长公式即可求得弧的半径．

【详解】

∵

∴

故答案为：9cm

【点睛】

本题考查了扇形的弧长公式，善于对弧长公式变形是关键．

三、解答题

1、

（1）见解析，；

（2）见解析，

（3）绕点O顺时针时针旋转

【分析】

（1）根据题意得：关于原点的对称点为 ，再顺次连接，即可求解；

（2）根据题意得：绕点O逆时针旋转后的对称点为 ，再顺次连接；

（3）根据题意得：绕点O顺时针时针旋转后可直接得到，即可求解．

（1）

解：根据题意得：关于原点的对应点为 ，画出图形如下图所示：

（2）

解：根据题意得：绕点O逆时针旋转后的对应点为 ，画出图形如下图所示：

（3）

解：根据题意得：绕点O顺时针时针旋转后可直接得到．

【点睛】

本题主要考查了图形的变换——画关于原点对称，绕原点旋转后图形，得到图形关于原点对称，绕原点旋转后对应点的坐标是解题的关键．

2、（1）20°；（2）；（3）AF= CF+BF，理由见解析

【分析】

（1）由△ABC是等边三角形，得到AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，，∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；

（2）同（1）求解即可；

（3）如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC，然后证明∠AFE=∠AFC=60°，得到∠BFC=120°，即可证明F、C、G三点共线，得到△AFG是等边三角形，则AF=GF=CF+CG=CF+BF．

【详解】

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，

由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，

∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，

∴，

∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°，

由折叠的性质可知，，AC=AE，

∴ ，AB=AE，

∴，

∴；

（3）AF= CF+BF，理由如下：

如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，

∴AF=AG，∠FAG=60°，∠ACG=∠ABF，BF=CG

在△AEF和△ACF中，

，

∴△AEF≌△ACF（SAS），

∴∠AFE=∠AFC，

∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°，∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°，

∴∠BFD=∠ACD=60°，

∴∠AFE=∠AFC=60°，

∴∠BFC=120°，

∴∠BAC+∠BFC=180°，

∴∠ABF+∠ACF=180°，

∴∠ACG+∠ACF=180°，

∴F、C、G三点共线，

∴△AFG是等边三角形，

∴AF=GF=CF+CG=CF+BF．

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．

3、（1）①见解析；②见解析；（2）．

【分析】

（1）①连接OD，由角平分线的性质解得，再根据内错角相等，两直线平行，证明，继而由两直线平行，同旁内角互补证明即可解题；

②连接DE，由弦切角定理得到，再证明，由相似三角形对应边成比例解题；

（2）证明是等边三角形，四边形DOAF是菱形，，结合扇形面积公式解题．

【详解】

解：（1）①连接OD，

是∠BAC的平分线

是⊙O的切线；

②连接DE，

是⊙O的切线，

是直径

（2）连接DE、OD、DF、OF,

设圆的半径为R，

点F是劣弧AD的中点，

OF是DA中垂线

DF=AF，

是等边三角形，四边形DOAF是菱形，

．

【点睛】

本题考查圆的综合题，涉及切线的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、扇形面积等知识，综合性较强，有难度，掌握相关知识是解题关键．

4、（1）0，；（2）；（3）

【分析】

（1）根据新定义，即可求解；

（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得，再由d（⊙O，线段AB）=0，可得当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解；

（3）过点C作CN⊥AB于点N ，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解．

【详解】

解：（1）∵⊙O的半径为2，A(，0)，B(0，)．

∴，

∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，

∴d（A，⊙O）＝，

∴d（B，⊙O）＝；

（2）过点O作OD⊥AB于点D，

∵点A(，0)，B(0，)．

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴

∴，

∵d（⊙O，线段AB）=0，

∴当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，

∴r的取值范围是，

（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N ，

∵点A(，0)，B(0，)．

∴ ，

∴ ，

∴∠OAB=60°，

∵C(m，0)，

当点C在点A的右侧时， ，

∴ ，

∴ ，

∵d（⊙C，线段AB）<1，⊙C的半径为1，

∴ ，解得： ，

当点C与点A重合时， ，

此时d（⊙C，线段AB）=0，

当点C在点A的左侧时， ，

∴

，

∴ ，解得： ，

∴．

【点睛】

本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键．

5、（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）连接，根据，可证．从而可得，，即可证明，故；

（2）证明，可得，即可证明．

【详解】

证明：（1）连接，如图：

∵为的直径，为的切线，

∴，

∵，

∴，．

∵，

∴，

∴．

在和中，

，

∴，

∴，

∵为的直径，

∴，即，

∴，

∵，

∴， 

∴，即，

∵，

∴；

（2）由（1）知：，

又∵，

∴，

∴，

∴， 

∵，

∴．

【点睛】

本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明，从而得到．