华师大版九年级上册24.4 解直角三角形教学设计

第23课时

锐角三角函数与解直角三角形

考点一：锐角三角函数

1. 锐角三角函数定义

1、如图，在△ABC中，∠C=90°∠A, ∠B ,∠C的对边分别是a，b，c，则sinA=     cosA=     tanA    。

2.特殊角的三角函数值：

3.三角函数之间的关系：
（1）同角三角函数之间的关系：

（2）互余两角的三角函数关系

4、锐角三角函数的增减性：（同学们总结，教师归纳）

典型考题展示：

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（　　）

A．  B． C． D． 

考点： 锐角三角函数的定义．

分析： 利用两角互余关系得出∠B=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出即可．

解答： 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，

∴∠B=∠ACD，

∴sinB===，

故不能表示sinB的是．

故选：B．

点评： 此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．

2．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（　　）

A． 2 B．8 C．2 D． 4

考点： 锐角三角函数的定义．

专题： 计算题．

分析： 根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．

解答： 解：∵tanA==，AC=4，

∴BC=2，

故选：A．

点评： 本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．

3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（　　）

A．  B． C． D． 

考点： 锐角三角函数的定义．

专题： 网格型．

分析： 在直角△ABC中利用正切的定义即可求解．

解答： 解：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°，

∴tanA==．

故选：D．

点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（　　）

A．  B． C． D． 

考点： 互余两角三角函数的关系．

专题： 计算题．

分析： 根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．

解答： 解：∵sinA=，

∴设BC=5x，AB=13x，

则AC==12x，

故tan∠B==．

故选：D．

点评： 本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．

5．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（　　）

A． 2 B．1 C． D． 

考点： 特殊角的三角函数值．

专题： 计算题．

分析： 根据特殊角的三角函数值计算即可．

解答： 解：原式=（）2+×

=+

=2．

故选：A．

6．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（　　）

A． 45° B．60° C．75° D． 105°

考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．

专题： 计算题．

分析： 根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．

解答： 解：由题意，得 cosA=，tanB=1，

∴∠A=60°，∠B=45°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．

故选：C．

点评： 此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．

考点二  解直角三角形   

 1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的边角关系：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c

（1）三边之间的关系：（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

（3）边角之间的关系：

典型考题展示：

7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=　　．

考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理．

专题： 网格型．

分析： 根据勾股定理，可得AC的长，根据邻边比斜边，可得角的余弦值．

解答： 解：如图，

由勾股定理得AC=2，AD=4，

cosA=，

故答案为：．

点评： 本题考查了锐角三角函数的定义，角的余弦是角邻边比斜边．

8.⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD。若⊙O的半径r=，AC=2，则cosB的值是（     ） 

 解：在⊙O中， r=，AC=2

∵AD是⊙O的直径

∴∠ACD=90°

∴

∵∠B=∠D

∴cosB=cosD==

9．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=　　．

考点： 锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．

专题： 计算题．

分析： 先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．

解答： 解：过点A作AE⊥BC于点E，

∵AB=AC=5，

∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，

∵∠BPC=∠BAC，

∴∠BPC=∠BAE．

在Rt△BAE中，由勾股定理得

AE=，

∴tan∠BPC=tan∠BAE=．

故答案为：．

点评： 求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．

10．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．

考点： 解直角三角形；勾股定理．

专题： 计算题．

分析： 先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根据BC=BD+DC即可求解

解答： 解：在Rt△ABD中，∵，

又∵AD=1，

∴AB=3，

∵BD2=AB2﹣AD2，

∴．

在Rt△ADC中，∵∠C=45°，

∴CD=AD=1．

∴BC=BD+DC=+1．

点评： 本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADB与Rt△ADC，得出BD=2，DC=1是解题的关键．

11．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．

①求BD和AD的长；

②求tan∠C的值．

考点： 解直角三角形；勾股定理．

专题： 几何图形问题．

分析： （1）由BD⊥AC得到∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；

（2）先计算出CD=2，然后在Rt△BCD中，利用正切的定义求解．

解答： 解：（1）∵BD⊥AC，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，

∴BD=AB=3，

∴AD=BD=3；

（2）CD=AC﹣AD=5﹣3=2，

在Rt△BCD中，tan∠C===．

点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．

课后小结与作业：

（1）本节课你学习了哪些知识？

（2）利用所学的知识完成《复习指导》63-66页（1 ～13题 ）

（3）预习：考点三.解直角三角形的应用