专题61 带电粒子在有界磁场中的运动 2022届高中物理常考点归纳二轮复习

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常考点 带电粒子在有界磁场中的运动
【典例1】
如图所示，在足够大的屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，P为屏上一
小孔，PC与MN垂直。一束质量为m、电荷量为﹣q的粒子（不计重力）以相同的速率v从P处射入磁场
区域，粒子入射方向在与磁场垂直的平面里，且散开在与PC夹角为θ的范围内，则在屏MN上被粒子打中
区域的长度为（ ）
A．B．
C．D．
解：由Bqv＝m
可知：
R＝ 如图所示，取一粒子，设粒子与PC夹角为α，则由几何关系可知，打在屏上的距离与P点相距L＝2Rcsα
故可知，当α＝0时，打在屏上的距离最远，最远距离为2R；
当α＝θ时，打在屏上的距离最近，最近距离为L′＝2Rcsθ；
故有粒子打中的区域为L﹣L′＝
【典例2】
如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，∠A＝60°，AO＝a。
在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为v0，
且满足v0＝，发射方向由图中的角度θ表示。对于粒子进入磁场后的运动（不计重力作用），下列说法正确的是（ ）
A．粒子不可能打到A点
B．以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间最短
C．以θ＜30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等
D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出
解：A、由牛顿第二定律得：qv0B＝m，已知v0＝，解得：R＝a，因此当θ＝60°入射时，粒子恰好从A点飞出，见图1故A错误；
B、当θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时对应的弦长为a，对应的时间为，不管是从OA段射出，还是从AC段射出，这个弦长都是最大弦长，最大的弦长就对应着最大的弧长，而速度大小不变，所以弧长越大时间越长，即这个时间是最长时间，故B错误；
C、当θ＝0°飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC中点飞出，见图2，在磁场中运动时间也恰好是，所以：θ从0°到60°在磁场中运动时间先减小后增大，故C错误；
D、当θ＝0°飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC中点飞出，见图2，因此在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确.
【典例3】
(多选)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量相同的带电粒子a、b、c，以
不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列
说法的是正确（ ）
A．三个粒子都带正电荷
B．c粒子速率最小
C．a粒子在磁场中运动时间最长
D．它们做圆周运动的周期Ta＜Tb＜Tc
解：粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可知，粒子的轨道半径关系是：rc＞rb＞ra，粒子在磁场中转过的圆心角关系是：θa＞θb＞θc；
A、三个带电粒子均向上偏转，粒子刚射入磁场时所受的洛伦兹力均向上，由左手定则可知，三个粒子都带正电荷，故A正确；
B、粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，解得：v＝，由于三个带电粒子的m质量、电荷量q都相同，磁感应强度B相同，rc＞rb＞ra，则vc＞vb＞va，故B错误；
D、粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，由于三个带电粒子的m质量、电荷量q都相同，磁感应强度B相同，则Ta＝Tb＝Tc，故D错误；
C、粒子在磁场中的运动时间t＝T，由于Ta＝Tb＝Tc，θa＞θb＞θc，则Ta＞Tb＞Tc，a粒子在磁场中的运动时间最长，故C正确。
1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的思想方法和理论依据
一般说来，要把握好“一找圆心，二定半径，三求时间”的分析方法．在具体问题中，要依据题目条件和情景而定．解题的理论依据主要是由牛顿第二定律列式：qvB＝m eq \f(v2,r)，求半径r＝eq \f(mv,qB)及运动周期T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB).
2．圆心的确定方法
法一 若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．
法二 若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与过已知点速度方向的垂线的交点即为圆心，如图乙．
3．圆中三角关系
4．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：
t＝eq \f(α,360°)Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或t＝\f(α,2π)T))，t＝eq \f(l,v)(l为弧长)．
5．常见运动轨迹的确定
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图丙所示)．
(2)平行边界(存在临界条件，如图丁所示)．
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图戊所示)．
6．常用解题知识
(1)几何知识：三角函数、勾股定理、偏向角与圆心角关系．根据几何知识可以由已知长度、角度计算粒子运动的轨迹半径，或根据粒子运动的轨迹半径计算未知长度、角度．
(2)半径公式、周期公式：R＝eq \f(mv,qB)、T＝eq \f(2πm,qB).根据两个公式可由q、m、v、B计算粒子运动的半径、周期，也可根据粒子运动的半径或周期计算磁感应强度、粒子的电荷量、质量等．
(3)运动时间计算式：计算粒子的运动时间或已知粒子的运动时间计算圆心角或周期时，常用到t＝eq \f(θ,2π)T.
7． 圆形有界磁场问题（1）
8． 圆形有界磁场问题（2）
【变式演练1】
如图所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O
点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a、b、c三点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间ta、tb、tc，其大小关系是（ ）
ta＜tb＜tcB．ta＝tb＝tcC．ta＝tb＞tcD．ta＜tb＝tc
解：三种情况下从事abc射出的电子的轨迹如图所示，可以看出从ab射出的电子偏转了180°，从c射出的电子偏转角小于180°，而在磁场中运动的时间取决于圆心角的大小，即t＝，电子在磁场中做圆周运动的周期，与速度、半径无关。故由几何关系可知，αa＝αb＞αc，故时间关系为：
ta＝tb＞tc，故ABD错误，C正确。
【变式演练2】
如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，荷质比相同的两个粒子沿AB方向自A点射入磁场，分别
从AC边上的P、Q两点射出，则（ ）
A．从P射出的粒子速度大
B．从Q射出的粒子速度大
C．从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长
D．两粒子在磁场中运动的时间不一样长
解：AB、粒子运动轨迹如图所示，粒子在磁场中做圆周运动，分别从P点和Q点射出，由图知，粒子运动的半径rP＜rQ，
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力题干向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，
解得：v＝，粒子运动速度vP＜vQ，故A错误，B正确。
C、粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系（图示弦切角相等），粒子在磁场中偏转的圆心角相等，根据粒子在磁场中运动的时间：t＝T，又因为粒子在磁场中圆周运动的周期T＝，可知粒子在磁场中运动的时间相等，故C．错误.
【变式演练3】
(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面（未画出）。
一群比荷为的负离子体以相同速率v0（较大），由P点在圆平面内向不同方向射入磁场中，发生偏转后，
又飞出磁场，则下列说法正确的是（不计重力）（ ）
A．离子飞出磁场时的动能一定相等
B．离子在磁场中运动半径一定相等
C．由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
D．沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大
解：A、离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，洛伦兹力对离子不做功，粒子在磁场中运动时动能保持不变，由于不知离子初动能间的关系，离子初动能可能不相等，故离子飞出磁场时的动能不一定相同，故A错误；
B、离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，解得：r＝，因粒子的速率相同，比荷相同，故半径相同，故B正确；
C、离子在磁场中做圆周运动的周期：T＝相等，离子在磁场中的运动时间：t＝T，离子做圆周运动的轨道半径相等，离子运动轨迹对应的弦长越长，离子运动轨迹对应的圆心角θ越大，离子在磁场中的运动时间越长，由题意可知，从Q点射出的离子运动轨迹对应的弦长最长，它在磁场中的运动时间最长，故C正确；
D、从Q点射出的离子在磁场中的偏转角最大，沿PQ射入的离子不会从Q点射出，因此沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角不是最大的，故D错误；
故选：BC。
1．如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝．哪个图是正确的？（ ）

A B
C D
解：所有粒子的速率相等，由R＝可知所有粒子在磁场中圆周运动半径相同，由图可知，由O点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界，MO＝2r＝2R；
随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以O点为圆心以2R为半径转动；则可得出符合题意的范围应为A；故A正确，BCD错误。
2．如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，一个氢核从ab边的中点m沿着既垂直于ab边又垂直于磁场的方向，以一定速度v射入磁场，正好从ab边中点n射出磁场，若将磁场的感应强度B变为原来的一半，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是（ ）
A．a点B．b点
C．在a、n之间某点D．在b、n之间某点
解：设正方向的边长为l，由题意可知氢核从n点射出时其轨道半径：
氢核在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝
当磁感应强度变为原来的一半时，由洛伦兹力提供向心力得：
计算得出现在氢核的轨道半径：R＝2r＝l
再结合图中的几何关系可知氢核应从b、n点之间某点穿出，故D正确，ABC错误。
3．(多选)两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则（ ）
A．两粒子的轨道半径之比Ra：Rb＝1：
B．两粒子的质量之比ma：mb＝1：2
C．两粒子圆周运动的周期之比Ta：Tb＝2：1
D．两粒子的速率之比va：vb＝：2
解：A、由粒子做匀速圆周运动可得：粒子运动轨道圆心在AB的垂直平分线和过A点的速度垂直方向的交点，如图所示，
故Ra＝＝d，Rb＝＝，故Ra：Rb＝：1，故A错误；
C、由几何关系可得：从A运动到B，a粒子转过的中心角为60°，b粒子转过的中心角为120°，根据运动时间相同可得运动周期为：Ta：Tb＝2：1，故C正确；
BD、再根据洛伦兹力做向心力可得：qvB＝mm，所以，运动周期为：T＝＝；
根据电荷量相等可得：ma：mb＝Ta：Tb＝2：1，va：vb＝：2，故B错误，D正确
4．(多选)如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个质量和电荷量均相同的正、负离子，从O点以相同的速度射入磁场中，射入方向均与边界成θ角．若不计重力，关于正、负离子在磁场中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．运动的轨道半径不相同
B．运动的时间相同
C．重新回到边界的速度大小和方向都相同
D．重新回到边界的位置与O点距离相同
解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得：qvB＝m，解得：r＝，由题意可知q、v、B大小均相同，则r相同。故A错误；
B、粒子在磁场中运动周期为T＝，则知两个离子圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，重新回到边界时正离子的速度偏向角为2π﹣2θ，轨迹的圆心角也为2π﹣2θ，运动时间t＝T．同理，负离子运动时间t＝T，显然时间不等，故B错误。
C、正负离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同。故C正确。
D、根据几何知识得知重新回到边界的位置与O点距离S＝2rsinθ，r、θ相同，则S相同，故D正确；
5．(多选)如图所示，长方形abcd长ad＝0.6m，宽ab＝0.3m，e、f分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝0.25T。一群不计重力、质量m＝3×10﹣7kg、电荷量q＝+2×10﹣3C的带电粒子以速度v0＝5×102m/s从左右两侧沿垂直ad和bc方向射入磁场区域（不考虑边界粒子），则以下正确的是（ ）
A．从ae边射入的粒子，出射点分布在ab边
B．从ed边射入的粒子，出射点全部分布在bf边
C．从bf边射入的粒子，出射点全部分布在ae边
D．从fc边射入的粒子，全部从d点射出
解：根据牛顿第二定律得
解得
R＝＝＝0.3m
A.如果矩形区域全部存在磁场，则从e点射入的粒子，将从b点射出，但是磁场限定在半圆区域，则粒子离开磁场后做匀速直线运动，所以粒子会从b射出。因此从ae边射入的粒子，有部分靠近e点射入的粒子从bf边射出。A错误；
B.从d点射入的粒子，将从/f点射出，所以从ed边射入的粒子，将都从bf边射出。B正确；
C.从点射入的粒子，将从d点射出，所以从bf边射入的粒子，将有部分从ed边射出。C错误；
D.因为轨道半径等于磁场半径，所以从fc边射入的粒子，会发生磁聚焦，全部从d点射出。D正确。
6．(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是（ ）
A．所有从cd边射出磁场的该带电粒子在磁场中经历的时间都是t0
B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场
C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场
D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0＜t＜t0，则它一定从ab边射出磁场
解：如图所示，作出带电粒子以与Od成30°角的方向的速度射入正方形内时，刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④。由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。根据t＝T，由图中几何关系可知，恰好从ad边射出磁场，对应的圆心角为60°，经历的时间是t1＝＝t0，；恰好从ab边射出磁场，对应圆心角是150°，经历的时间是t2＝•2t0＝t0；恰好从bc边射出磁场，对应圆心角是240°，经历的时间是t3＝2t0＝t0；恰好从cd边射出磁场，对应的圆心角是300°，经历的时间是t4＝•2t0＝t0。则从ad边射出磁场经历的时间一定小于t0；所以从ab边射出磁场经历的时间一定大于t0，小于t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于t0，小于t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是t0。故ACD正确，B错误。
7．(多选)如图所示，边长为L的等边三角形ABC为两有界匀强磁场的理想边界，三角形内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，三角形外的磁场（足够大）方向垂直纸面向里，磁感应强度大小也为B．把粒子源放在顶点A处，它将沿∠A的角平分线发射质量为m、电荷量为q、初速度为v0的带负电的粒子（粒子重力不计）。则下列说法正确的是（ ）
A．若v0＝，则粒子第一次到达C点所用的时间为
B．若v0＝，则粒子第一次到达C点所用的时间为
C．若v0＝，则粒子第一次到达B点所用的时间为
D．若v0＝，则粒子第一次到达B点所用的时间为
解：A、C、若v0＝，带电粒子垂直进入磁场，做匀速圆周运动，则由牛顿第二定律可得：
qvB＝m；
T＝；
将速度代入可得：
r＝L；
从A射出粒子第一次通过圆弧从A点到达C点的运动轨迹如下图所示，可得：
tAC＝＝；故A错误；
带电粒子在一个周期内的运动如图；
带电粒子从C到B的时间：
tCB＝＝；
故从A到B的时间为：
tAB＝tAC+tCB＝+＝；故C正确；
B、D、若v0＝，带电粒子垂直进入磁场，做匀速圆周运动，则由牛顿第二定律可得：
qvB＝m；
T＝；
将速度代入可得：
r＝L；
故从A射出粒子第一次通过圆弧从A点到达C点的运动轨迹如下图所示，可得：
tAC＝×2＝×2＝，故B正确；
带电粒子从C到B的时间：
tCB＝
故从A到B的时间为：
tAB＝tAC+tCB＝+＝，故D错误；

8．如图所示，直角三角形OAC（α＝30°）区域内有B＝0.5T的匀强磁场，方向如图所示。两平行极板M、N接在电压为U的直流电源上，左板为高电势。一带正电的粒子从靠近M板由静止开始加速，从N板的小孔射出电场后，垂直OA的方向从P点进入磁场中。带电粒子的比荷为＝1.0×104C/kg，OP间距离为l＝1.2m。全过程不计粒子所受的重力（计算结果保留三位有效数字），问：
（1）粒子从OA边离开磁场时，粒子在磁场中运动的时间？
（2）粒子从OC边离开磁场时粒子在磁场中运动的最长时间？
（3）若加速电压U＝220V，通过计算说明粒子从三角形OAC的哪一边离开磁场？
解：（1）带电粒子在磁场做圆周运动的周期为：
T＝＝＝4π×10﹣4s，
当粒子从OA边射出时，粒子在磁场中恰好运动了半个周期：
t1＝T＝2π×10﹣4s；
（2）当带电粒子的轨迹与OC边相切时为临界状态，如图所示：
粒子OC边边离开磁场，最大圆心角为120°，
粒子从OC边离开磁场时粒子在磁场中运动的最长时间：tm＝T＝×10﹣4s；
（3）粒子在电场中加速，由动能定理得：qU＝，
粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB＝m，
代入数据解得：r≈0.420m，
粒子运动轨迹与OC相切时如同所示，
由几何知识得：R+＝OP，
解得：R＝0.4m＜r，
则粒子从OC边离开磁场；
答：（1）粒子从OA边离开磁场时，粒子在磁场中运动的时间为2π×10﹣4s；
（2）粒子从OC边离开磁场时粒子在磁场中运动的最长时间为×10﹣4s；
（3）粒子从三角形OAC的OC边离开磁场。
9．如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：
（1）电子在磁场中运动轨迹的半径R；
（2）电子在磁场中运动的时间t；
（3）圆形磁场区域的半径r。
解：（1）电子在磁场中受到的洛伦兹力提供电子做匀速圆周运动的向心力即：
由此可得电子做圆周运动的半径R＝＝
（2）
如图根据几何关系，可以知道电子在磁场中做圆周运动对圆心转过的角度α＝θ
则电子在磁场中运动的时间：
t＝＝
（3）由题意知，由图根据几何关系知：
∴
答：（1）电子在磁场中运动轨迹的半径R＝；
（2）电子在磁场中运动的时间t＝；
（3）圆形磁场区域的半径r＝。
10．在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿﹣x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B1，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B1多大？
（3）若磁感应强度的大小变为B2＝，带电粒子以速度v沿任意方向射入磁场，粒子在磁场中运动的最长时间t是多少？
解：（1）根据粒子偏转方向，由左手定则可判断，粒子带负电荷
由题意可知，粒子在磁场做圆周运动的半径R＝r
由 qvB＝m
解得：＝
（2）粒子运动轨迹如图甲，飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，即图中θ＝60°，由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径：R1＝，由qvB1＝m
解得：B1＝＝
（3）B2＝时，粒子在磁场做圆周运动的半径R2＝2r
粒子做圆周运动的周期为：T＝＝
当此粒子在磁场中运动的时间最长时，运动的轨迹对应的弦最长，如图乙所示t＝T＝
答：（1）可判断该粒子带负电荷，其比荷为
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B1，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，此时磁感应强度为；
（3）若磁感应强度的大小变为B2＝，带电粒子以速度v沿任意方向射入磁场，粒子在磁场中运动的最长时间为。
[来源:学_科_网]
(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，即φ＝α
(2)圆心角(α)等于弦切角(θ)的2倍，即α＝2θ（弦：圆上两点的连线，切：速度方向）
(3)相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°。
正对圆心射入圆形磁场区域
正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。
不对圆心射入圆形磁场区域
两个等腰三角形，一个共同的底边
若r=R，构成菱形