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初中数学北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试巩固练习
展开这是一份初中数学北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试巩固练习,共24页。试卷主要包含了若的余角为,则的补角为,下列说法中正确的是等内容,欢迎下载使用。
京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明同步训练
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,直线AB和CD相交于点O,若∠AOC=125°,则∠BOD等于( )
A.55° B.125° C.115° D.65°
2、如图,AB∥CD,AE∥CF,∠A=41°,则∠C的度数为( )
A.139° B.141° C.131° D.129°
3、如图,,交于点,,,则的度数是( )
A.34° B.66° C.56° D.46°
4、如图,将矩形纸条ABCD折叠,折痕为EF,折叠后点C,D分别落在点C′,D′处,D′E与BF交于点G.已知∠BGD′=26°,则∠α的度数是( )
A.77° B.64° C.26° D.87°
5、如图,下列给定的条件中,不能判定的是( )
A. B. C. D.
6、若的余角为,则的补角为( )
A. B. C. D.
7、已知一个角等于它的补角的5倍,那么这个角是( )
A.30° B.60° C.45° D.150°
8、下列说法中正确的是( )
A.一个锐角的补角比这个角的余角大90° B.-a表示的数一定是负数
C.射线AB和射线BA是同一条射线 D.如果︱x︱=5,那么x一定是5
9、如果一个角的补角是这个角的4倍,那么这个角为( )
A.36° B.30° C.144° D.150°
10、如图,已知AO⊥OC,OB⊥OD,∠COD=38°,则∠AOB的度数是( )
A.30º B.145º C.150º D.142º
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、若一个角的余角为35°,则它的补角度数为 ______.
2、如图,直线AB和CD交于O点,OD平分∠BOF,OE ⊥CD于点O,∠AOC=40,则∠EOF=_______.
3、已知:如图,在三角形ABC中,于点D,连接DE,当时,求证:DEBC.
证明:∵(已知),
∴(垂直的定义).
∴________,
∵(已知),
∴________(依据1:________),
∴(依据2:________).
4、已知:如图,直线AB、CD被直线GH所截,,求证: ABCD.完成下面的证明:
证明:∵AB被直线GH所截,
∴_____
∵
∴______
∴______________(________)(填推理的依据).
5、如图,,.则图中与互补的角是______.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、直线,直线分别交、于点、,平分.
(1) 如图1,若平分,则与的位置关系是 .
(2) 如图2,若平分,则与有怎样的位置关系?请说明理由.
(3) 如图3,若平分,则与有怎样的位置关系?请说明理由.
2、小明同学遇到这样一个问题:
如图①,已知:AB∥CD,E为AB、CD之间一点,连接BE,ED,得到∠BED.
求证:∠BED=∠B+∠D.
小亮帮助小明给出了该问的证明.
证明:
过点E作EF∥AB
则有∠BEF=∠B
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠FED=∠D
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D
请你参考小亮的思考问题的方法,解决问题:
(1)直线l1∥l2,直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点,点A、B分别在直线l1、l2上,猜想:如图②,若点P在线段CD上,∠PAC=15°,∠PBD=40°,求∠APB的度数.
(2)拓展:如图③,若点P在直线EF上,连接PA、PB(BD<AC),直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系.
3、如图,∠ENC+∠CMG=180°,AB∥CD.
(1)求证:∠2=∠3.
(2)若∠A=∠1+70°,∠ACB=42°,则∠B的大小为______.
4、已知AB∥CD,点E在AB上,点F在DC上,点G为射线EF上一点.
【基础问题】如图1,试说明:∠AGD=∠A+∠D.(完成图中的填空部分).
证明:过点G作直线MN∥AB,
又∵AB∥CD,
∴MN∥CD( )
∵MN∥AB,
∴∠A=( )( )
∵MN∥CD,
∴∠D= ( )
∴∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D.
【类比探究】如图2,当点G在线段EF延长线上时,直接写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系.
【应用拓展】如图3,AH平分∠GAB,DH交AH于点H,且∠GDH=2∠HDC,∠HDC=22°,∠H=32°,直接写出∠DGA的度数.
5、任意画两条相交的直线,在形成的四个角中,两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系?根据这种位置关系将它们分类.
---------参考答案-----------
一、单选题
1、B
【分析】
根据对顶角相等即可求解.
【详解】
解:∵直线AB和CD相交于点O,∠AOC=125°,
∴∠BOD等于125°.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了对顶角的性质,熟知对顶角相等的性质是解题的关键.
2、A
【分析】
如图,根据AECF,得到∠CGB=41°,根据ABCD,即可得到∠C=139°..
【详解】
解:如图,∵AECF,
∴∠A=∠CGB=41°,
∵ABCD,
∴∠C=180°-∠CGB=139°.
故选:A
【点睛】
本题考查了平行线的性质,熟知平行线的性质是解题关键.
3、C
【分析】
由余角的定义得出的度数,由两直线平行内错角相等即可得出结论.
【详解】
解:∵,,
∴,
∵,
∴,
故选:C
【点睛】
本题考查了平行线的性质和余角,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
4、A
【分析】
本题首先根据∠BGD′=26°,可以得出∠AEG=∠BGD′=26°,由折叠可知∠α=∠FED,由此即可求出∠α=77°.
【详解】
解:由图可知: AD∥BC
∴∠AEG=∠BGD′=26°,
即:∠GED=154°,
由折叠可知: ∠α=∠FED,
∴∠α==77°
故选:A.
【点睛】
本题主要考察的是根据平行得性质进行角度的转化.
5、A
【分析】
根据平行线的判定条件:同位角相等,两直线平行,同旁内角互补,两直线平行,内错角相等,两直线平行,进行逐一判断即可.
【详解】
解:A选项:当∠1=∠A时,可知是DE和AC被AB所截得到的同位角,可得到DE∥AC,而不是AB∥DF,故符合题意;
B选项:当∠A=∠3时,可知是AB、DF被AC所截得到的同位角,可得AB∥DF,故不符合题意;
C选项:当∠1=∠4时,可知是AB、DF被DE所截得到的内错角,可得AB∥DF,故不符合题意;
D选项:当∠2+∠A=180°时,是一对同旁内角,可得AB∥DF;故不符合题意;
故选A.
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定,熟知平行线的判定条件是解题的关键.
6、C
【分析】
根据余角和补角的定义,先求出,再求出它的补角即可.
【详解】
解:∵的余角为,
∴,
的补角为,
故选:C.
【点睛】
本题考查了余角和补角的运算,解题关键是明确两个角的和为90度,这两个角互为余角,两个角的和为180度,这两个角互为补角.
7、D
【分析】
列方程求出这个角即可.
【详解】
解:设这个角为x,
列方程得:x=5(180°−x)
解得x=150°.
故选:D.
【点睛】
本题考查了补角,若两个角的和等于180°,则这两个角互补,列方程求出这个角是解题的关键.
8、A
【分析】
根据补角和余角的概念即可判断A选项;根据负数的概念即可判断B选项;根据射线的概念即可判断C选项;根据绝对值的意义即可判断D选项.
【详解】
解:A、设锐角的度数为x ,
∴这个锐角的补角为,这个锐角的余角为,
∴.
故选项正确,符合题意;
B、当时,,
∴-a表示的数不一定是负数,
故选项错误,不符合题意;
C、射线AB是以A为端点,沿AB方向延长的的射线,射线BA是以B为端点,沿BA方向延长的的射线,
∴射线AB和射线BA不是同一条射线,
故选项错误,不符合题意;
D、如果︱x︱=5,,
∴x不一定是5,
故选项错误,不符合题意,
故选:A.
【点睛】
此题考查了补角和余角的概念,负数的概念,射线的概念,绝对值的意义,解题的关键是熟练掌握以上概念和性质.
9、A
【分析】
设这个角为 ,则它的补角为 ,根据“一个角的补角是这个角的4倍”,列出方程,即可求解.
【详解】
解:设这个角为 ,则它的补角为 ,根据题意得:
,
解得: .
故选:A
【点睛】
本题主要考查了补角的性质,一元一次方程的应用,明确题意,准确得到等量关系是解题的关键.
10、D
【分析】
根据垂直的定义得到∠AOC=∠DOB=90°,由互余关系得到∠BOC=52°,然后计算∠AOC+∠BOC即可.
【详解】
解:∵AO⊥OC,OB⊥OD,
∴∠AOC=∠DOB=90°,
而∠COD=38°,
∴∠BOC=90°-∠COD=90°-38°=52°,
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°+52°=142°.
故选:D.
【点睛】
本题考查了余角的概念:若两个,角的和为90°,那么这两个角互余.
二、填空题
1、125°度
【分析】
若两个角的和为 则这两个角互余,若两个角的和为 则这两个角互补,根据定义直接可得答案.
【详解】
解: 一个角的余角为35°,
这个角为:
则它的补角度数为:
故答案为:
【点睛】
本题考查的是余角与补角的计算,掌握“余角与补角的含义”是解本题的关键.
2、130°
【分析】
根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=40°.根据OD平分∠BOF,可得∠DOF=∠BOD=40°,根据OE⊥CD,得出∠EOD=90°,利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°即可.
【详解】
解:∵AB、CD相交于点O,
∴∠BOD=∠AOC=40°.
∵OD平分∠BOF,
∴∠DOF=∠BOD=40°,
∵OE⊥CD,
∴∠EOD=90°,
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°.
故答案为130°.
【点睛】
本题考查相交线对顶角性质,角平分线定义,垂直定义,掌握对顶角性质,角平分线定义,垂直定义是解题关键.
3、 同角的余角相等 内错角相等,两直线平行
【分析】
根据垂直的定义及平行线的判定定理即可填空.
【详解】
∵(已知),
∴(垂直的定义).
∴,
∵(已知),
∴(同角的余角相等),
∴(内错角相等,两直线平行).
故答案为:;;同角的余角相等;内错角相等,两直线平行.
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质,熟记 “内错角相等,两直线平行”是解题的关键.
4、3 180° AB CD 同旁内角互补,两直线平行
【分析】
先根据对顶角相等求得∠3的度数,进而得到∠2+∠3=180°,即可判定AB∥CD.
【详解】
证明:∵AB被直线GH所截,∠1=112°,
∴∠1=∠3=112°
∵∠2=68°,
∴∠2+∠3=180°,
∴AB∥CD,(同旁内角互补,两直线平行)
故答案为∠3,180°,AB,CD,同旁内角互补,两直线平行.
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定,两条直线被第三条所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
5、
【分析】
利用互补的定义得出与互补的角.
【详解】
解:∵,,
∴,,
∴,
即
∴与互补的角是:
故答案为:
【点睛】
本题考查了补角的概念和垂直的定义,如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角,简称“互补”,即其中一个角是另一个角的补角.
三、解答题
1、(1);(2),理由见解析;(3),理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据两直线平行,同位角相等可得,根据角平分线的意义可得,进而可得,即可判断;
(2)根据两直线平行,内错角相等,角平分线的意义可得,即可判断;
(3)设交于点,过点作根据两直线平行,同旁内角互补,角平分线的意义,可得,进而可得,进而判断.
【详解】
(1)如题图1,
平分,平分.
;
(2)如题图2,
平分,平分.
;
(3)如图,设交于点,过点作
,
平分,平分.
;
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定,角平分线的意义,掌握平行线的性质与判定是解题的关键.
2、(1)55°;(2)当P在线段CD上时,∠APB=∠PAC +∠PBD;当P在DC延长线上时,∠APB=∠PBD-∠PAC;当P在CD延长线上时,∠APB=∠PAC-∠PBD;
【解析】
【分析】
(1)过点P作PG∥l1,可得∠APG=∠PAC=15°,由l1∥l2,可得PG∥l2,则∠BPG=∠PBD=40°,即可得到∠APB=∠APG+∠BPG=55°;
(2)分当P在线段CD上时;当P在DC延长线上时;当P在CD延长线上时,三种情况讨论求解即可.
【详解】
解:(1)如图所示,过点P作PG∥l1,
∴∠APG=∠PAC=15°,
∵l1∥l2,
∴PG∥l2,
∴∠BPG=∠PBD=40°,
∴∠APB=∠APG+∠BPG=55°;
(2)由(1)可得当P在线段CD上时,∠APB=∠PAC +∠PBD;
如图1所示,当P在DC延长线上时,过点P作PG∥l1,
∴∠APG=∠PAC,
∵l1∥l2,
∴PG∥l2,
∴∠BPG=∠PBD=40°,
∴∠APB=∠BPG-∠APG=∠PBD-∠PAC;
如图2所示,当P在CD延长线上时,过点P作PG∥l1,
∴∠APG=∠PAC,
∵l1∥l2,
∴PG∥l2,
∴∠BPG=∠PBD=40°,
∴∠APB=∠APG-∠BPG=∠PAC-∠PBD;
∴综上所述,当P在线段CD上时,∠APB=∠PAC +∠PBD;当P在DC延长线上时,∠APB=∠PBD-∠PAC;当P在CD延长线上时,∠APB=∠PAC-∠PBD.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质,平行公理的应用,解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.
3、(1)见解析;(2)34°
【解析】
【分析】
(1)根据对顶角相等可得出∠ENC+∠FMN=180°,根据平行线的判定可得FG∥ED,由平行线的性质可得∠2=∠D,∠3=∠D,等量代换即可得出结论;
(2)由平行线的性质∠A+∠ACD=180°,结合已知可得∠1+70°+∠1+42°=180°,可求得∠1=34°,根据平行线的性质即可求解.
【详解】
(1)证明:∵∠ENC+∠CMG=180°,∠CMG=∠FMN,
∴∠ENC+∠FMN=180°,
∴FG∥ED,
∴∠2=∠D,
∵AB∥CD,
∴∠3=∠D,
∴∠2=∠3;
(2)解:∵AB∥CD,
∴∠A+∠ACD=180°,
∵∠A=∠1+70°,∠ACB=42°,
∴∠1+70°+∠1+42°=180°,
∴∠1=34°,
∵AB∥CD,
∴∠B=∠1=34°.
故答案为:34°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定定理,解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用.
4、基础问题:平行于同一条直线的两条直线平行;∠AGM;两直线平行,内错角相等;∠DGM,两直线平行,内错角相等;类比探究:∠AGD=∠A-∠D;应用拓展:42°.
【解析】
【分析】
基础问题:由MN∥AB,可得∠A=∠AGM,由MN∥CD,可得∠D=∠DGM,则∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D;
类比探究:如图所示,过点G作直线MN∥AB,同理可得∠A=∠AGM,∠D=∠DGM,则∠AGD=∠AGM-∠DGM=∠A-∠D.
应用拓展:如图所示,过点G作直线MN∥AB,过点H作直线PQ∥AB,由MN∥AB,PQ∥AB,得到∠BAG=∠AGM,∠BAH=∠AHP,由MN∥CD,PQ∥CD,得到∠CDG=∠DGM,∠CDH=∠DHP,再由∠GDH=2∠HDC,∠HDC=22°,∠AHD=32°,可得∠GDH=44°,∠DHP=22°,则∠CDG=66°,∠AHP=54°,∠DGM=66°,∠BAH=54°,再由AH平分∠BAG,即可得到∠AGM=108°,则∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°.
【详解】
解:基础问题:过点G作直线MN∥AB,
又∵AB∥CD,
∴MN∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行),
∵MN∥AB,
∴∠A=∠AGM(两直线平行,内错角相等),
∵MN∥CD,
∴∠D=∠DGM(两直线平行,内错角相等),
∴∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D.
故答案为:平行于同一条直线的两条直线平行;∠AGM;两直线平行,内错角相等;∠DGM,两直线平行,内错角相等;
类比探究:如图所示,过点G作直线MN∥AB,
又∵AB∥CD,
∴MN∥CD,
∵MN∥AB,
∴∠A=∠AGM,
∵MN∥CD,
∴∠D=∠DGM,
∴∠AGD=∠AGM-∠DGM=∠A-∠D.
应用拓展:如图所示,过点G作直线MN∥AB,过点H作直线PQ∥AB,
又∵AB∥CD,
∴MN∥CD,PQ∥CD
∵MN∥AB,PQ∥AB,
∴∠BAG=∠AGM,∠BAH=∠AHP,
∵MN∥CD,PQ∥CD,
∴∠CDG=∠DGM,∠CDH=∠DHP,
∵∠GDH=2∠HDC,∠HDC=22°,∠AHD=32°,
∴∠GDH=44°,∠DHP=22°,
∴∠CDG=66°,∠AHP=54°,
∴∠DGM=66°,∠BAH=54°,
∵AH平分∠BAG,
∴∠BAG=2∠BAH=108°,
∴∠AGM=108°,
∴∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质,平行公理,解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.
5、共组成6对角,位置关系有两种:①有公共顶点,一边重合,另一边互为反向延长线;②有公共顶点,角的两边互为反向延长线,具体分类见解析
【解析】
【分析】
根据题意画出图形,然后结合题意可进行求解.
【详解】
解:如图,
由图可知两条相交的直线,两两相配共组成6对角,
位置关系有两种:①有公共顶点,一边重合,另一边互为反向延长线;②有公共顶点,角的两边互为反向延长线,
这6对角中有:4对邻补角(即为∠AOD与∠AOC,∠AOD与∠BOD,∠BOD与∠BOC,∠BOC与∠AOC),
2对对顶角(即为∠AOD与∠BOC,∠BOD与∠AOC).
【点睛】
本题主要考查对顶角及邻补角的概念,熟练掌握对顶角及邻补角的概念是解题的关键.
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