初中北京课改版第七章 观察、猜想与证明综合与测试练习题

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明专项测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列命题中，真命题是（   ）

A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．相等的角是对顶角

C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．同旁内角互补

2、如图，下列条件中能判断直线的是（ ）

A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠5 C．∠2＝∠4 D．∠3＝∠5

3、下列命题是真命题的是（　　）

A．等角的余角相等 B．同位角相等

C．互补的角一定是邻补角 D．两个锐角的和是钝角

4、下列命题中，为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．同位角相等 D．对顶角相等

5、若的补角是125°，则的余角是（    ）

A．90° B．54° C．36° D．35°

6、如图，C、D在线段BE上，下列说法：

①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；

②图中至少有2对互补的角；

③若∠BAE=90°，∠DAC=40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和360°；

④若BC=2，CD=DE=3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（  ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，则∠DBC的度数为（ ）

A．45° B．25° C．15° D．20°

8、下列说法中正确的个数是（　　）

（1）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c

（2）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a⊥c

（3）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c

（4）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c．

A．1 B．2 C．3 D．4

9、下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

10、以下命题是假命题的是（    ）

A．的算术平方根是2

B．有两边相等的三角形是等腰三角形

C．三角形三个内角的和等于180°

D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、两个角和的两边互相平行，且角比角的2倍少30°，则这个角是____________度．

2、已知∠α＝65°14'15″，那么∠α的余角等于 _____．

3、图中∠AOB的余角大小是 _____°（精确到1°）．

4、如图，O是直线AB上一点，已知∠1＝36°，OD平分∠BOC，则∠AOD＝_____．

5、如图，∠1还可以用______ 表示，若∠1=62°，那么∠BCA=____ 度．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1所示，MN//PQ，∠ABC与MN，PQ分别交于A、C两点

（1）若∠MAB＝∠QCB＝20°，则B的度数为          度．

（2）在图1分别作∠NAB与∠PCB的平分线，且两条角平分线交于点F．

①依题意在图1中补全图形；

②若∠ABC＝n°，求∠AFC的度数（用含有n的代数式表示）；

（3）如图2所示，直线AE，CD相交于D点，且满足∠BAM＝m∠MAE， ∠BCP＝m∠DCP，试探究∠CDA与∠ABC的数量关系

2、填写推理理由：   如图，CD∥EF，∠1=∠2，求证：∠3=∠ACB．

证明：∵CD∥EF，

∴∠DCB=∠2

∵∠1=∠2，∴∠DCB=∠1．

∴GD∥CB ．

∴∠3=∠ACB ．

3、如图，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE比它的补角大100°，将一直角三角板AOB的直角点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为t秒．

（1）求∠COE的度数；

（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得∠BOC＝∠BOE？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；

（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒10°的速度顺时针旋转一周．从旋转开始多长时间．射线OC平分∠BOE．直接写出t的值．（本题中的角均为大0°且小180°的角）

4、如图，点O为直线AB上的一点，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠1+∠2﹣∠3的大小．

5、如图，∠AOD ＝ 130°，∠BOC：∠COD ＝ 1:2，∠AOB是∠COD补角的．

（1）∠COD ＝ _______ ；

（2）平面内射线OM满足∠AOM ＝ 2∠DOM，求∠AOM的大小；

（3）将∠COD固定，并将射线OA，OB同时以2°/s的速度顺时针旋转，到OA与OD重合时停止．在旋转过程中，若射线OP为∠AOB的平分线，OQ为∠COD的平分线，当∠POQ＋∠AOD＝50°时，求旋转时间t（秒）的取值范围．

---------参考答案-----------

一、单选题

1、C

【分析】

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【详解】

解：A、错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等；

B、错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角；

C、正确，必须强调在同一平面内；

D、错误，两直线平行同旁内角才互补．

故选：C．

【点睛】

主要考查命题的真假判断与平行线的性质、对顶角的特点，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

2、C

【分析】

利用平行线的判定方法判断即可得到结果．

【详解】

解：A、根据∠1=∠2不能判断直线l1∥l2，故本选项不符合题意．

B、根据∠1=∠5不能判断直线l1∥l2，故本选项不符合题意．

C、根据“内错角相等，两直线平行”知，由∠2=∠4能判断直线l1∥l2，故本选项符合题意．

D、根据∠3=∠5不能判断直线l1∥l2，故本选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．

3、A

【分析】

由同角或等角的余角相等可判断A，由平行线的性质可判断B，由邻补角的定义可判断C，通过举反例，比如 可判断D，从而可得答案.

【详解】

解：等角的余角相等，正确，是真命题，故A符合题意，

两直线平行，同位角相等，所以同位角相等是假命题，故B不符合题意；

互补的角不一定是邻补角，所以互补的角一定是邻补角是假命题，故C不符合题意；

两个锐角的和不一定是钝角，所以两个锐角的和是钝角是假命题，故D不符合题意；

故选：A

【点睛】

本题考查的是等角的余角相等，平行线的性质，邻补角的定义，锐角与钝角的含义，掌握判断命题真假的方法是解题的关键.

4、D

【分析】

利用互为相反数的两个数的平方也相等，有理数的大小比较，同位角和对顶角的概念性质进行分析判断即可．

【详解】

解：A、若，则或，故A错误．

B、当时，有，故B错误．

C、两直线平行，同位角相等，故C错误．

D、对顶角相等，D正确．

故选：D ．

【点睛】

本题主要是考查了平方、绝对值的比较大小、同位角和对顶角的性质，熟练掌握相关概念及性质，是解决本题的关键．

5、D

【分析】

根据题意，得=180°-125°，的余角是90°-（180°-125°）=125°-90°，选择即可．

【详解】

∵的补角是125°，

∴=180°-125°，

∴的余角是90°-（180°-125°）=125°-90°=35°，

故选D．

【点睛】

本题考查了补角，余角的计算，正确列出算式是解题的关键．

6、B

【分析】

按照两个端点确定一条线段即可判断①；根据补角的定义即可判断②；根据角的和差计算机可判断③；分两种情况讨论：当点F在线段CD上时点F到点B、C、D、E的距离之和最小，当点F和E重合时，点F到点B、C、D、E的距离之和最大计算即可判断④．

【详解】

解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故此说法正确；

②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故此说法正确；

③由∠BAE=90°，∠CAD=40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE=3∠BAE+∠CAD=310°，故此说法错误；

④如图1，当F不在CD上时，FB+FC+FD+FE=BE+CD+2FC，如图2当F在CD上时，FB+FC+FD+FE=BE+CD，如图3当F与E重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2ED，同理当F与B重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2BC，

∵BC=2，CD=DE=3，

∴当F在的线段CD上最小，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC=2+3+3+3=11，当F和E重合最大则点F到点B、C、D、E的距离之和FB+FE+FD+FC=17，故此说法错误．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了线段的数量问题，补角的定义，角的和差，线段的和差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

7、C

【分析】

直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．

【详解】

解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，

∵AB∥CF，

∴∠ABD=∠EDF=45°，

∴∠DBC=45°-30°=15°．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出∠ABD的度数是解题关键．

8、C

【分析】

根据平行线的性质分析判断即可；

【详解】

在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c，故（1）正确；

在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c，故（2）错误；

在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c，故（3）正确；

在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c．故（4）正确；

综上所述，正确的是（1）（3）（4）；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键．

9、C

【分析】

根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，逐一判断即可．

【详解】

解：①中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故①符合题意；

②中∠1和∠2是对顶角，故②不符合题意；

③中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故③符合题意；

④中∠1和∠2没有公共点，故④符合题意．

∴∠1 和∠2 不是对顶角的有3个，

故选C．

【点睛】

此题考查的是对顶角的识别，掌握对顶角的定义是解决此题的关键．

10、A

【分析】

分别利用算术平方根、等腰三角形的判定、三角形内角和公式、平行的相关内容，进行分析判断即可．

【详解】

解：A、的算术平方根应该是， A是假命题，

B、有两边相等的三角形是等腰三角形，B是真命题，

C、三角形三个内角的和等于180°，C是真命题，

D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D是真命题，

故选：A．

【点睛】

本题主要是考查了真假命题，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题，根据所学知识，对各个命题的正确与否进行分析，这是解决该题的关键．

二、填空题

1、或

【分析】

设为∠1和为∠2，根据图形可证得两角相等或互补，再利用方程建立等量关系求解即可．

【详解】

解：设的度数为，则的度数为，

如图1，和互相平行，可得：∠2＝∠3，

同理：∠1＝∠3，

∴∠2＝∠1，

∴当两角相等时：，

解得：，

如图2，和互相平行，可得：∠2＋∠3＝，

而和互相平行，得∠1＝∠3，

∴∠2＋∠1＝，

∴当两角互补时：，

解得：，

，

故填：或．

【点睛】

本题考查平行线的性质和方程的应用，分类讨论思想是关键.

2、

【分析】

根据互为余角的两角之和为90°，即可得出答案．

【详解】

解：＝65°14'15″，

的余角＝90°﹣65°14'15″＝24°45'45″．

故答案为：24°45'45″．

【点睛】

本题主要是考查了余角的定义以及角度的运算，熟记互余的两个角之和为90°，是解决本题的关键．

3、63

【分析】

根据余角的定义：如果两个角的度数和为90度，那么这两个角互为余角，进行求解即可．

【详解】

解：由量角器上的度数可知，∠AOB=27°，

∴∠AOB的余角的度数=90°-∠AOB=63°，

故答案为：63．

【点睛】

本题主要考查了量角器测量角的度数和求一个角的余角，熟知余角的定义是解题的关键．

4、108°

【分析】

首先根据邻补角的定义得到∠BOC，然后由角平分线的定义求得∠COD即可．

【详解】

解：∵∠1=36°，

∴∠COB=180°－36°=144°，

∵OD平分∠BOC，

∴∠COD=∠BOC=×144°=72°，

∴∠AOD=∠1+∠COD=36°+72°=108°．

故答案为：108°．

【点睛】

本题主要考查角平分线及邻补角，角的和差，熟练掌握邻补角及角平分线的定义是解题的关键．

5、       

【分析】

根据角的表示和邻补角的性质计算即可；

【详解】

∠1还可以用表示；

∵∠1=62°，，

∴；

故答案是：；．

【点睛】

本题主要考查了角的表示和邻补角的性质，准确计算是解题的关键．

三、解答题

1、（1）40；（2）①见解析；②；（3）m∠CDA＋∠ABC＝180°

【解析】

【分析】

（1）作MN、PQ的平行线HG，根据两直线平行，内错角相等即可解答；

（2）①根据题意作图即可，②过F作 ，根据两直线平行，同旁内角互补和内错角相等即可解答；

（3）延长AE交PQ于点G，设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，知∠BAM＝m∠MAE＝mx°，∠BCP＝m∠DCP＝my°，∠BCQ＝180°−my°，根据（1）中所得结论知∠ABC＝mx°＋180°−my°，即y°−x°＝ ，由MNPQ知∠MAE＝∠DGP＝x°，根据∠CDA＝∠DCP−∠DGC可得答案．

【详解】

解：（1）作 ，

∵MN//PQ，

∴，

∴ ，

∴ ；

（2）①如图所示，

②过点F作 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ；

（3）延长AE交PQ于点G，

设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，则∠BAM＝m∠MAE＝mx°，∠BCP＝m∠DCP＝my°，

∴∠BCQ＝180°−my°，

由（1）知，∠ABC＝mx°＋180°−my°，

∴y°−x°＝，

∵MNPQ，

∴∠MAE＝∠DGP＝x°，

则∠CDA＝∠DCP−∠DGC

＝y°−x°

＝，

即m∠CDA＋∠ABC＝180°．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和判定等知识点．

2、两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．

【解析】

【分析】

根据两直线平行，同位角相等可以求出∠DCB=∠2，等量代换得出∠DCB=∠1，再根据内错角相等，两直线平行得出GD∥CB，最后根据两直线平行，同位角相等，所以∠3=∠ACB．

【详解】

证明：∵CD∥EF，

 ∴∠DCB=∠2（两直线平行，同位角相等），

∵∠1=∠2，

∴∠DCB=∠1（等量代换）．

∴GD∥CB（内错角相等，两直线平行）．

∴∠3=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．

故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，并准确识图是解题的关键．

3、（1）140゜（2）存在，t=2秒或20秒；（3）秒

【解析】

【分析】

（1）设∠COE=x度，则其补角为(180−x)度，根据∠COE比它的补角大100°列方程即可求得结果；

（2）存在两种情况：当OC在直线DE上方时；当OC在直线DE下方时；就这两种情况考虑即可；

（3）画出图形，结合图形表示出∠COE与∠COB，根据角平分线的性质建立方程即可求得t值．

【详解】

（1）设∠COE=x度，则其补角为(180−x)度，由题意得：x−(180−x)=100

解得：x=140

即∠COE=140゜

（2）存在

当OC在直线DE上方时，此时OB平分∠BOC

∵∠COE=140゜

∴

当OB没有旋转时，∠BOC=50゜

所以OB旋转了70゜−50゜=20゜

则旋转的时间为：t=20÷10=2（秒）

当OC在直线DE下方时，如图

由图知：∠BOE+∠BOC+∠COE=360゜即：2∠BOE+∠COE=360゜

∵OB旋转了10t度

∴∠BOE=(10t−90)度

∴2(10t−90)+140=360

解得：t=20

综上所述，当t=2秒或20秒时，∠BOC=∠BOE

（3）OB、OC同时旋转10t度

如图所示，∠COE=(180゜+40゜)−(10t)゜=(220−10t)゜

∵2×(10t)゜−∠COB+50゜=360゜

∴∠COB=2× (10t)゜−310゜

∵∠COB=∠COE

∴2× 10t−310=220-10t

解得：

即当t的值为秒时，满足条件．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，角的和差运算，补角的概念，解一元一次方程等知识，注意数形结合及分类讨论．

4、107°30′

【解析】

【分析】

先求出∠1+∠2的和，再根据平角求出∠3，最后计算∠1+∠2﹣∠3即可．

【详解】

解：∵∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，∠1+∠2+∠3=180°，

∠1+∠2=65°15′＋78°30′=143°45′，

∴∠3=180°-∠1-∠2＝180°-（∠1+∠2）=180°-143°45′=36°15′，

∴∠1+∠2﹣∠3=143°45′-36°15′=107°30′．

【点睛】

本题考查角的单位互化，角的和差计算，平角，掌握角的单位互化方法，角的和差计算法则，平角应用是解题关键．

5、（1）；（2）∠AOM的大小为或（3）旋转时间t（秒）的取值范围为

【解析】

【分析】

（1），用分别表示出与的大小，利用角之间的关系，即可求解．

（2）分射线OM在∠AOD 的内部和外部两类情况进行讨论，利用角与角之间的关系，即可求出答案．

（3）先观察到，寻找临界情况，利用角的关系求出对应两种临界情况下的旋转角度，进而求出时间t（秒）的取值范围．

【详解】

（1）解：设：，

∠BOC：∠COD ＝ 1:2，∠AOB是∠COD补角的．

，。

，

，

解得：，

故．

（2）解：当射线OM在∠AOD 的内部时，如下图所示：

∠AOD ＝ 130°，且∠AOM ＝ 2∠DOM，

当射线OM在∠AOD 的外部时，如下图所示：

∠AOD ＝ 130°，且∠AOM ＝ 2∠DOM，

故∠AOM的大小为或．

（3）解：有（1）可得：，

射线OP为∠AOB的平分线，OQ为∠COD的平分线，

，，

可以观察到：，

若要求解时间的取值范围，需要找到临界情况，

当与重合时，此时恰好有，， 如下图所示：

可以观察到，若与未重合之前，必有一定不满足∠POQ＋∠AOD＝50°，故此时的时间恰好取到最小值，

由题意可知：一共旋转了，故时间，

，

当与重合时，此时有，，

如下图所示：

若此时继续往下旋转，必有，一定不满足∠POQ＋∠AOD＝50°，故此时的时间恰好取到最大值，

由题意可知：一共旋转了，故时间，

，

综上所述：．

【点睛】

本题主要是考查了求解角度大小、角平分线的性质以及角中的动点问题，熟练地利用角与角之间的关系，求解未知角的度数，针对求解动点的时间取值范围，尝试利用条件，找到满足题意的临界情况，是求解该题的关键．