初中数学北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试测试题

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明同步训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图：O为直线AB上的一点，OC为一条射线，OD平分，OE平分，图中互余的角共有（    ）

A．1对 B．2对 C．4对 D．6对

2、如图，将一副三角尺按不同位置摆放，下列选项的摆放方式中∠1与∠2互余的是（　　）

A． B．

C． D．

3、如图所示，直线l1l2，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝52°，那么∠2＝（　　）

A．138° B．128° C．52° D．152°

4、如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（　　）

A．55° B．125° C．115° D．65°

5、下列命题是假命题的有（    ）

①在同一个平面内，不相交的两条直线必平行；

②内错角相等；

③相等的角是对顶角；

④两条平行线被第三条直线所截，所得同位角相等．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

6、若的补角是150°，则的余角是（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

7、如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOC＝35°，则∠AOD的度数为（      ）

A．55° B．125° C．65° D．135°

8、下列命题中，真命题是（   ）

A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．相等的角是对顶角

C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．同旁内角互补

9、已知∠α的两边分别平行于∠β的两边．若∠α＝60°，则∠β的大小为（　　）

A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120°

10、下列命题中，为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．同位角相等 D．对顶角相等

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是___________．

2、如图将一条两边互相平行的纸带按如图折叠，若∠EFG＋∠EGD=150°，则∠EGD=_____

3、判断正误：

（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角（    ）

（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（    ）

（3）有一条公共边的两个角是邻补角（    ）

（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补（    ）

（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角（    ）

4、已知，则的补角 ______ ．

5、已知与互为补角，且，则______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，已知∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=38°19′，求∠AOD的度数．

2、已知：如图①，AB∥CD，点F在直线AB、CD之间，点E在直线AB上，点G在直线CD上，∠EFG＝90°．

（1）如图①，若∠BEF＝130°，则∠FGC＝　   　度；

（2）小明同学发现：如图②，无论∠BEF度数如何变化，∠FEB﹣∠FGC的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：过点E作EM∥FG，交CD于点M．请你根据小明同学提供的辅助线方法，补全下面的证明过程；

（3）拓展应用：如图③，如果把题干中的“∠EFG＝90°”条件改为“∠EFG＝110°”，其它条件不变，则∠FEB﹣∠FGC＝　   　度．

解：如图②，过点E作EM∥FG，交CD于点M．

∵AB∥CD（已知）

∴∠BEM＝∠EMC（ 　   　）

又∵EM∥FG

∴∠FGC＝∠EMC（ 　   　）

∠EFG+∠FEM＝180°（ 　   　）

即∠FGC＝（ 　   　）（等量代换）

∴∠FEB﹣∠FGC＝∠FEB﹣∠BEM＝（ 　   　）

又∵∠EFG＝90°

∴∠FEM＝90°

∴∠FEB﹣∠FGC＝　   　

即：无论∠BEF度数如何变化，∠FEB﹣∠FGC的值始终为定值．

3、如图，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．

（1）求证：BD∥CE；

（2）求证：∠A＝∠F．

4、直线、相交于点，平分，，，求与的度数．

5、如图，已知∠1+∠AFE=180°，∠A=∠2，求证：∠A=∠C+∠AFC

证明：∵ ∠1+∠AFE=180°

∴ CD∥EF（               ，            ）

∵∠A=∠2   ∴（             ）

（                 ，              ）

∴ AB∥CD∥EF（              ，            ）

∴ ∠A=             ，∠C=          ，

（                  ，             ）

∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC ，∴              =           ．

---------参考答案-----------

一、单选题

1、C

【分析】

根据余角的定义求解即可．余角：如果两个角相加等于90°，那么这两个角互为余角．

【详解】

解：∵OD平分，OE平分，

∴，

又∵，即，

∴，，，，

∴互余的角共有4对．

故选：C．

【点睛】

此题考查了余角的定义，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握余角的定义．余角：如果两个角相加等于90°，那么这两个角互为余角．

2、D

【分析】

由题意直接根据三角板的几何特征以及余角的定义进行分析计算判断即可．

【详解】

解：A．∵∠1+∠2度数不确定，
∴∠1与∠2不互为余角，故错误；
B．∵∠1+45°+∠2+45°=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2=270°，
即∠1与∠2不互为余角，故错误；
C．∵∠1+∠2=180°，
∴∠1与∠2不互为余角，故错误；
D．∵∠1+∠2+90°=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即∠1与∠2互为余角，故正确．
故选：D．

【点睛】

本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角的定义即若两个角的和为90°，则这两个角互为余角是解题的关键．

3、B

【分析】

根据两直线平行同位角相等，得出∠1＝∠3＝52°．再由∠2与∠3是邻补角，得∠2＝180°﹣∠3＝128°．

【详解】

解：如图．

∵l1//l2，

∴∠1＝∠3＝52°．

∵∠2与∠3是邻补角，

∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣52°＝128°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质、邻补角的定义是解决本题的关键．

4、B

【分析】

根据对顶角相等即可求解．

【详解】

解：∵直线AB和CD相交于点O，∠AOC＝125°，

∴∠BOD等于125°．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等的性质是解题的关键．

5、C

【分析】

根据平面内两条直线的位置关系：平行，相交，可判断①，根据两直线平行，内错角相等可判断②，根据对顶角的定义：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线可判断③，由两直线平行，同位角相等可判断④，从而可得答案.

【详解】

解：在同一个平面内，不相交的两条直线必平行；原命题是真命题，故①不符合题意；

两直线平行，内错角相等；原命题是假命题；故②符合题意；

相等的角不一定是对顶角；原命题是假命题；故③符合题意；

两条平行线被第三条直线所截，所得同位角相等；原命题是真命题，故④不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查的是真假命题的判断，同时考查平面内两条直线的位置关系，平行线的性质，对顶角的定义，掌握“判断真假命题的方法”是解本题的关键.

6、B

【分析】

根据补角、余角的定义即可求解．

【详解】

∵的补角是150°

∴=180°-150°=30°

∴的余角是90°-30°=60°

故选B．

【点睛】

此题主要考查余角、补角的求解，解题的关键是熟知如果两个角的和为90度，这两个角就互为余角；补角是指如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角

7、B

【分析】

先根据余角的定义求得，进而根据邻补角的定义求得即可．

【详解】

EO⊥AB，∠EOC＝35°，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂直的定义，求一个角的余角、补角，掌握求一个角的余角与补角是解题的关键．

8、C

【分析】

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【详解】

解：A、错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等；

B、错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角；

C、正确，必须强调在同一平面内；

D、错误，两直线平行同旁内角才互补．

故选：C．

【点睛】

主要考查命题的真假判断与平行线的性质、对顶角的特点，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

9、D

【分析】

根据题意画图如图（1），根据平行线性质两直线平行，同位角相等，即可得出∠α＝∠1＝∠β，即可得出答案，如图（2）根据平行线性质，两直线平行，同旁内角互补，∠α+∠2＝180°，再根据两直线平行，内错角相等，∠2＝∠β，即可得出答案．

【详解】

解：如图1，

∵a∥b，

∴∠1＝∠α，

∵c∥d，

∴∠β＝∠1＝∠α＝60°；

如图（2），

∵a∥b，

∴∠α+∠2＝180°，

∵c∥d，

∴∠2＝∠β，

∴∠β+∠α＝180°，

∵∠α＝60°，

∴∠β＝120°．

综上，∠β＝60°或120°．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质进行计算是解决本题的关键．

10、D

【分析】

利用互为相反数的两个数的平方也相等，有理数的大小比较，同位角和对顶角的概念性质进行分析判断即可．

【详解】

解：A、若，则或，故A错误．

B、当时，有，故B错误．

C、两直线平行，同位角相等，故C错误．

D、对顶角相等，D正确．

故选：D ．

【点睛】

本题主要是考查了平方、绝对值的比较大小、同位角和对顶角的性质，熟练掌握相关概念及性质，是解决本题的关键．

二、填空题

1、内错角相等，两直线平行

【分析】

根据平行线的判定方法解决问题即可．

【详解】

解：由作图可知，

，

（内错角相等两直线平行），

故答案为：内错角相等，两直线平行．

【点睛】

本题考查作图，平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键，属于中考常考题型．

2、

【分析】

先根据平行线的性质得到，结合已知∠EFG＋∠EGD=150°，解得∠EGD=，再根据折叠的性质解得，结合两直线平行，同旁内角互补得到，据此整理得，进而解题．

【详解】

解：

∠EFG＋∠EGD=150°，

∠EGD=

折叠

故答案为：．

【点睛】

本题考查折叠的性质、平行线的性质等知识，两直线平行，同旁内角互补，掌握相关知识是解题关键．

3、（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×

【分析】

根据对顶角与邻补角的定义与性质分析判断即可求解．

【详解】

（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角，错误；

（2）如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，错误；

（3）有一条公共边的两个角不一定是邻补角，错误；

（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补，正确；

（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角不一定是邻补角，错误；

故答案为：（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×．

【点睛】

本题主要考查了对顶角的与邻补角的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角．

4、

【分析】

根据补角的定义，求解即可，和为的两个角互为补角．

【详解】

解：，所以的补角

故答案为．

【点睛】

此题考查了补角的定义，解题的关键是掌握补角的定义．

5、

【分析】

根据题意可得，即可求解．

【详解】

解：∵与互为补角，

∴ ，

∵，

∴．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了补角的定义，熟练掌握互补的两角的和为 是解题的关键．

三、解答题

1、141°41′

【解析】

【分析】

利用角的和差关系计算，先求得∠COD=51°41′，再由∠AOD=∠AOC+∠COD即可求解．

【详解】

解：∵∠BOD=90°，∠BOC=38°19′

∴∠COD=∠BOD-∠BOC=51°41′

∵∠AOC=90°

∴∠AOD=∠AOC+∠COD=141°41′

答：∠AOD的度数为141°41′．

【点睛】

本题主要考查了余角，正确得出∠COD的度数是解题关键．

2、（1）40°；（2）见解析；（3）70°

【解析】

【分析】

（1）过点F作FN∥AB，由∠FEB＝150°，可计算出∠EFN的度数，由∠EFG＝90°，可计算出∠NFG的度数，由平行线的性质即可得出答案；

（2）根据题目补充理由和相关结论即可；

（3）类似（2）中的方法求解即可．

【详解】

解：（1）过点F作FN∥AB，

∵FN∥AB，∠FEB＝130°，

∴∠EFN+∠FEB＝180°，

∴∠EFN＝180°﹣∠FEB＝180°﹣130°＝50°，

∵∠EFG＝90°，

∴∠NFG＝∠EFG﹣∠EFN＝90°﹣50°＝40°，

∵AB∥CD，

∴FN∥CD，

∴∠FGC＝∠NFG＝40°．

故答案为：40°；

（2）如图②，过点E作EM∥FG，交CD于点M．

∵AB∥CD（已知）

∴∠BEM＝∠EMC（两直线平行，内错角相等）

又∵EM∥FG

∴∠FGC＝∠EMC（两直线平行，同位角相等）

∠EFG+∠FEM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

即∠FGC＝（∠BEM）（等量代换）

∴∠FEB﹣∠FGC＝∠FEB﹣∠BEM＝（∠FEM）

又∵∠EFG＝90°

∴∠FEM＝90°

∴∠FEB﹣∠FGC＝90°

故答案为：两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，∠BEM，∠FEM，90°

（3）过点E作EH∥FG，交CD于点H．

∵AB∥CD

∴∠BEH＝∠EHC

又∵EM∥FG

∴∠FGC＝∠EHC

∠EFG+∠FEH＝180°

即∠FGC＝∠BEH

∴∠FEB﹣∠FGC＝∠FEB﹣∠BEH＝∠FEH

又∵∠EFG＝110°

∴∠FEH＝70°

∴∠FEB﹣∠FGC＝70°

故答案为：70°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．

3、（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）由∠AGB＝∠1，∠AGB＝∠EHF，可得∠1＝∠EHF，则BD∥CE；

（2）由BD∥CE，可得∠D＝∠2，则∠2＝∠C，推出AC∥DF，则∠A＝∠F．

【详解】

证明：（1）∵∠AGB＝∠1，∠AGB＝∠EHF，

∴∠1＝∠EHF，

∴BD∥CE；

（2）∵BD∥CE，

∴∠D＝∠2，

∵∠D＝∠C，

∴∠2＝∠C，

∴AC∥DF，

∴∠A＝∠F．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质与判定条件是解题的关键．

4、∠3=50°，∠2=65°．

【解析】

【分析】

根据邻补角的性质、角平分线的定义进行解答即可．

【详解】

∵∠FOC=90°，∠1=40°，

∴∠3=180°-∠FOC-∠1 =180°-90°-40°=50°，

∴∠AOD=180°-∠3=180°-50°=130°，

又∵OE平分∠AOD，

∴∠2=∠AOD=65°．

【点睛】

本题考查的是邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握邻补角之和等于180°是解题的关键．

5、同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠A，∠C+∠AFC ．

【解析】

【分析】

根据同旁内角互补，两直线平行可得 CD∥EF，根据∠A=∠2利用同位角相等，两直线平行，AB∥CD，根据平行同一直线的两条直线平行可得AB∥CD∥EF根据平行线的性质可得∠A=∠AFE   ，∠C=∠EFC，根据角的和可得 ∠AFE =∠EFC+∠AFC 即可．

【详解】

证明：∵ ∠1+∠AFE=180°

∴ CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），

∵∠A=∠2 ，

∴（ AB∥CD   ） （同位角相等，两直线平行），

∴ AB∥CD∥EF（两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行）

∴ ∠A=  ∠AFE  ，∠C=  ∠EFC，（两直线平行，内错角相等）

∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC ，

∴   ∠A   =   ∠C+∠AFC ．

故答案为同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠A，∠C+∠AFC ．

【点睛】

本题考查平行线的性质与判定，角的和差，掌握平行线的性质与判定是解题关键．