高考数学(文数)二轮专题培优练习17《圆锥曲线综合》 (学生版)

培优点十七  圆锥曲线综合

1．直线过定点

例1：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．

（1）求的方程；

（2）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

2．面积问题

例2：已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为4，直线与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求四边形面积的取值范围．

3．参数的值与范围

例3：已知抛物线的焦点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于，两点．

（1）求抛物线的方程以及的值；

（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值．

4．弦长类问题

例4：已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与相交于，两点，与相交于，两点，且，求的取值范围．

5．存在性问题

例5：已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

一、解答题

1．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，设点，直线交于，求证：直线经过定点．

2．已知点在椭圆上，设，分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆在第一象限内一点，直线，分别交轴、轴于，两点，求四边形的面积．

3．已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，．

（1）当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；

（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，，且（其中是坐标原点），求的取值范围．

4．已知椭圆的焦距为，离心率为，圆，，是椭圆的左右顶点，是圆的任意一条直径，面积的最大值为2．

（1）求椭圆及圆的方程；

（2）若为圆的任意一条切线，与椭圆交于两点，，求的取值范围．

5．如图，己知、是椭圆的左、右焦点，直线经过左焦点，且与椭圆交，两点，的周长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在直线，使得为等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．