初中北京课改版第十六章 一元二次方程综合与测试精练

这是一份初中北京课改版第十六章 一元二次方程综合与测试精练，共17页。试卷主要包含了用配方法解方程，则方程可变形为，一元二次方程的解为等内容，欢迎下载使用。
京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程同步测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、方程x2﹣x＝0的解是（　　）A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝12、一元二次方程的解是（    ）．A．5 B．－2 C．－5或2 D．5或－23、若m是方程x2＋x﹣1＝0的根，则2m2＋2m＋2020的值为（   ）A．2022 B．2021 C．2020 D．20194、生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（    ）A． B．C． D．5、已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ）A．2020 B．2021 C．2022 D．20236、用配方法解方程，则方程可变形为（    ）A． B． C． D．7、若一元二次方程ax2+bx+c＝0的系数满足ac＜0，则方程根的情况是（　　）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．无法判断8、某公司去年的各项经营中，九月份的营业额为200万，十一月的营业额为950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，设这个增长率为，则可列方程得（    ）A． B．C． D．9、一元二次方程的解为（    ）A．， B．， C．， D．，10、下列一元二次方程两实数根和为-4的是（    ）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、关于x的一元二次方程的两实数根，，满足，则m的值是______．2、若，则关于的一元二次方程必有一个根为______．3、将化为一般形式为________．4、已知中，，，，则的面积是________．5、已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求的取值范围．2、如图，在一块长、宽的矩形地面内，修筑一横两竖三条道路，横、竖道路的宽度相同，余下的地面铺草坪，要使草坪面积达到，求道路的宽．3、（1）计算：．（2）解方程：．4、解方程：．5、如图，在∆ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．动点P、Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点C移动．（不考虑起始位置，且点P，Q不与点A，B重合）（1）P、Q两点出发后第几秒时，∆PBQ的面积为4cm2？（2）P、Q两点出发后第几秒时，PQ的长度为5cm；（3）∆PBQ的面积能否为7cm2？说明理由． -参考答案-一、单选题1、D【分析】因式分解后求解即可.【详解】x2﹣x＝0，x（x-1）=0，x=0，或x-1=0，解得x1＝0，x2＝1，故选：D【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．2、D【分析】直接把原方程化为两个一次方程或，再解一次方程即可.【详解】解： 或 解得： 故选D【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“因式分解法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键.3、A【分析】根据题意，将m代入方程中，得到，再将整理成，利用整体代入法解题即可．【详解】解：是方程的根，，∴故选A．【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4、C【分析】设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，根据等量关系，列出方程即可．【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，由题意得：，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握增长率模型，是解题的关键．5、B【分析】把代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可．【详解】解：把代入一元二次方程得，，，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6、D【分析】根据配方法解一元二次方程步骤变形即可．【详解】∵∴∴∴∴故选：D．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，具体步骤为（1）化二次项系数为1. 当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数（2）加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．7、B【分析】判别式Δ＝b2﹣4ac，由于ac＜0，则﹣ac＞0，而b2≥0，于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：∵关于x的一元二次方程为ax2+bx+c＝0，∴Δ＝b2﹣4ac，∵ac＜0，∴﹣ac＞0，又∵b2≥0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0，方程有两个相等的实数根；（3） Δ＜0，方程没有实数根．8、C【分析】根据增长率的意义，列式即可．【详解】设这个增长率为，根据题意，得，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，熟练增长率问题计算特点是解题的关键．9、A【分析】根据因式分解法即可求解．【详解】∴x-1=0或x-3=0∴，故选A．【点睛】此题主要考查解一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用．10、D【分析】根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，再根据根与系数的关系求解即可【详解】解：A. ，，，不符合题意；B. ，，该方程无实根，不符合题意；C. ，，该方程无实根，不符合题意；D. ，，该方程有实根，且，符合题意；故选D【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系以及使用的前提条件是一元二次方程有实根，掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式是解题的关键．二、填空题1、2【分析】先根据根的判别式求得m的取值范围，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到x1x2＝m2−m＝2，进而求得m＝2或m＝−1，故可得解．【详解】解：由题意得Δ＝（2m）2−4（m2−m）≥0，∴m≥0，∵关于x的一元二次方程的两实数根，，则x1x2＝m2−m＝2，∴m2−m−2＝0，解得m＝2或m＝−1（舍去），故答案为：2．【点睛】本题考查的是解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1x2＝．2、【分析】由a﹣b+c=0可得b=a+c，然后将b=a+c带入方程，最后用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：∵a﹣b+c=0，∴b=a+c，①把①代入方程ax2+bx+c=0中，ax2+（a+c）x+c=0，ax2+ax+cx+c=0，ax（x+1）+c（x+1）=0，（x+1）（ax+c）=0，∴x1=﹣1，x2=﹣（非零实数a、b、c）．故答案是：-1．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解答本题的关键．3、【分析】移项，将方程右边化为0【详解】解：化为一般形式为故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，属于基础题，一元二次方程的一般式：．4、或【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，设，则，，由，得到，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E，∴∠CEB=∠CEA=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BCE=30°，∴BC=2BE，∴，设，则，，∵，∴，解得或，∴或，∴或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质．5、−1【分析】根据一元二次方程的解把x＝0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．【详解】解：把x＝0代入（a−1）x2−2x＋a2−1＝0得a2−1＝0，解得a＝±1，
∵a−1≠0，
∴a＝−1．
故答案为：−1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．三、解答题1、（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−4）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝4，x2＝k，根据方程有一根小于2，即可得出k的取值范围．【详解】（1）∵，∴△=，∴方程总有两个实数根．（2）∵，∴，解得：，，∵该方程有一个根小于2，∴．【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当△≥0时，方程有两个实数根是解题关键．2、道路的宽为2m【分析】设道路的宽为xm，根据图形可以把草坪面积看做是一个长为m，宽为m的长方形面积，由此建立方程求解即可．【详解】解：设道路的宽为xm，由题意得：，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴道路的宽为2m．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．3、（1）2；（2）或.【分析】（1）由题意先利用二次根式的乘除运算法则计算，进而计算算术平方根，最后计算加减法即可；（2）根据题意利用配方法进行计算即可解出方程.【详解】解：（1）原式（2）则或，解得：或.【点睛】本题考查二次根式的乘除运算和解一元二次方程，熟练掌握二次根式的乘除运算法则和利用配方法求解方程是解题的关键.4、或【分析】利用十字相乘因式分解，进而即可求解．【详解】，，∴或，解得：或．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键．5、（1）1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；（2）2秒后，PQ的长度等于5cm；（3）△PBQ的面积不能等于7cm2．理由见解析【分析】（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；（2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；（3）根据三角形的面积公式，列出方程，再利用判别式，即可求解．【详解】解：根据题意，知BP=AB-AP=5-t，BQ=2t．（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2，根据三角形的面积公式，得PB•BQ=4，t（5-t）=4，t2-5t+4=0，解得t=1秒或t=4秒（舍去）．故1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；（2）设t秒后，PQ的长度等于5cm，根据勾股定理，得PQ2=BP2+BQ2=（5-t）2+（2t）2=25，5t2-10t=0，∵t≠0，∴t=2．故2秒后，PQ的长度等于5cm；（3）根据三角形的面积公式，得PB•BQ=7，t（5-t）=7，t2-5t+7=0，△=（-5）2-4×1×7=-3＜0．故△PBQ的面积不能等于7cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用勾股定理和直角三角形的面积公式列方程求解．