八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试课后测评

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程重点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝-2，x2＝4，则m-n的值是（    ）

A．-10 B．10 C．-6 D．6

2、若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2021﹣2a+2b的值等于（　　）

A．2015 B．2017 C．2019 D．2022

3、一元二次方程2x2 - 1 = 6x化成一般形式后，常数项是 - 1，一次项系数是（    ）

A．- 2 B．- 6 C．2 D．6

4、一元二次方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

5、小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

6、方程x2﹣8x＝5的根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根

7、一元二次方程x2+2x＝1的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

8、对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有下列说法：

①当a＜0，且b＞a＋c时，方程一定有实数根；

②若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根；

③若a－b＋c＝0，则方程一定有一个根为－1；

④若方程有两个不相等的实数根，则方程bx2＋ax＋c＝0一定有两个不相等的实数根．

其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④

9、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能为（    ）．

A．3 B．4 C．5 D．6

10、下表是用计算器探索函数y＝2x2﹣2x﹣10所得的数值，则方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个近似解为（    ）

A．x≈﹣2.15 B．x≈﹣2.21 C．x≈﹣2.32 D．x≈﹣2.41

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，设该厂四、五月份的月平均增长率为x，则可列方程为______．

2、把化一般形式为________，二次项系数为________，一次项系数为______，常数项为_______．

3、有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的某城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一人患了这种疾病，两天后共有225人患上此病，则每天一人传染______人．

4、已知关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，则_________，__________．

5、如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物．如图2，已知一款塔吊的平衡臂ABC部分构成一个直角三角形，且，起重臂AD可以通过拉伸BD进行上下调整．现将起重臂AD从水平位置调整至位置，使货物E到达位置（挂绳DE的长度不变且始终与地面垂直）．此时货物E升高了24米，且到塔身AH的距离缩短了16米，测得，则AC的长为_____________米．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解方程：

（1）2（x﹣1）2﹣16＝0；

（2）x2+5x+7＝3x+11．

2、2021年是中欧班列开通十周年．某地自开通中欧班列以来，逐渐成为我国主要的集贸区域之一．2019年该地中欧班列的开行量为500列，2021年达到1280列．求该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率．

3、阅读与思考

配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．

例如：

（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解

①；

②

（2）深入研究：说明多项式的值总是一个正数?

（3）拓展运用：已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．

4、已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，请求出m的最大整数值．

5、用合适的方法解下列方程：

（1）x2﹣4x﹣5＝0；

（2）2x2﹣6x﹣3＝0；

（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；

（4）．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝2、x2＝4结合根与系数的关系，分别求出m和n的值，最后代入m-n即可解答．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝-2、x2＝4，

∴x1+x2＝﹣m＝-2+4，解得：m＝﹣2，

x1•x2＝n＝-2×4，解得：n＝-8，

∴m-n＝﹣2-（-8）＝6．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系求出m、n的值是解答本题的关键．

2、B

【分析】

根据一元二次方程根的定义将代入方程ax2+bx﹣2＝0可得，即，整体代入到代数式中求解即可，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．

【详解】

解：将代入方程ax2+bx﹣2＝0可得，即

2021﹣2a+2b=

故选B

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，整体代入是解题的关键．

3、B

【分析】

先把一元二次方程化为一般形式，即可得出一次项系数．

【详解】

∵一元二次方程化为一般形式，

∴一次项系数是．

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的相关概念，一元二次方程一般形式：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．

4、D

【分析】

先求出Δ的值，再判断出其符号即可．

【详解】

解：∵

∴Δ＝b2−4ac＝12−4×1×（－3）＝13＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac的关系是解答此题的关键．

5、B

【分析】

设小明的年龄为x岁，则可用x表示出小亮的年龄和小刚的年龄．再根据小亮与小刚的年龄的乘积是130，即可列出方程．

【详解】

设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为岁，小刚的年龄为岁，

根据题意即可列方程：．

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，正确找出题干中的数量关系列出等式是解答本题的关键．

6、A

【分析】

计算一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】

∵方程x2﹣8x＝5，

移项得：，

，，，

∴判别式，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

【点睛】

此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．

7、A

【分析】

方程整理后得出x2+2x﹣1＝0，求出Δ＝8＞0，再根据根的判别式的内容得出答案即可．

【详解】

解：x2+2x＝1，

整理得，x2+2x﹣1＝0，

∵Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

【点睛】

本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．

8、C

【分析】

①令，，，由判别式即可判断；②若，则a、c异号，由判别式即可判断；③令得，即可判断；④取，，来进行判断即可．

【详解】

①由当，，，，方程此时没有实数根，故①错误；

②若，a、c异号，则，方程一定有两个不相等的实数根，所以②正确；

③令得，则方程一定有一个根为；③正确；

④当，，时，有两个不相等的根为，但方程只有一个根为1，故④错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解以及判别式，掌握用判别式判断根的情况是解题的关键．

9、A

【分析】

根据方程有两个不相等的实数根，判别式△＞0，确定a的取值范围，判断选择即可．

【详解】

∵方程有两个不相等的实数根，

∴判别式△＞0，

∴，

∴a＜4，

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．

10、C

【分析】

根据表可得，方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个解应在﹣2.3与﹣2.4之间，再由y的值可得，它的根近似的看作是﹣2.3．

【详解】

∵当x＝﹣2.3时，y＝﹣0.11，

当x＝﹣2.4时，y＝0.56，

则方程的根﹣2.3＜x＜﹣2.4，

∵|﹣0.11|＜|0.56|，

∴方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个近似解为x≈﹣2.32．

故选：C．

【点睛】

本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是看y值的变化．

二、填空题

1、

【分析】

该厂四、五月份的月平均增长率为x，根据增长率公式即可得出五月份的产量是，据此列方程即可．

【详解】

∵该厂四、五月份的月平均增长率为x，

∴五月份的产量是，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是，增长用“+”，下降用“−”．

2、2x2-6x-1=0    2    -6    -1   

【分析】

先将方程移项化为一般形式，即可求解．

【详解】

解：将方程化成一般形式为，

∴二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为-1．

故答案为：①，②2，③-6，④-1．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．

3、14

【分析】

根据第一天患病的人数为1+1×传播的人数，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，再根据等量关系：第一天患病的人数+第二天患病的人数=225，列出方程求解即可．

【详解】

解：设每天一人传染了x人，则依题意得

1＋x＋（1＋x）×x＝225，

（1＋x）2＝225，

∵1＋x＞0，

∴1＋x＝15，

x＝14．

答：每天一人传染了14人．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，得到两天患病人数的等量关系是解决本题的关键；本题的等量关系是：第一天患病的人数+第二天患病的人数=225．

4、0    0   

【分析】

一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；分别将1和﹣1代入方程即可得到两个关系式的值．

【详解】

将1代入方程得：，

即；

将﹣1代入方程得：，即；

故答案为0，0．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，即方程的解的定义，深刻理解根的定义是解题关键．

5、7

【分析】

过点B作于点M，由题意易得，则有四边形是矩形，设，则，然后根据勾股定理可得AF的长，进而问他可求解．

【详解】

解：过点B作于点M，如图所示：

由题意得：，

∴四边形是矩形，

∴，

设，则，在中，由勾股定理得：

，解得：，

∴，

设，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∴，整理得：，

解得：；

故答案为7．

【点睛】

本题主要考查勾股定理、矩形的性质与判定及一元二次方程的解法，熟练掌握勾股定理、矩形的性质与判定及一元二次方程的解法是解题的关键．

三、解答题

1、（1）x1＝1+2，x2＝1﹣2；（2）x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．

【分析】

（1）利用直接开平方法求出方程的解即可；

（2）利用配方法求出方程的解即可．

【详解】

解：（1）整理，得2（x﹣1）2＝16，

（x﹣1）2＝8，

∴x﹣1＝，

∴x1＝1+2，x2＝1﹣2；

（2）整理，得x2+2x＝4，

配方，得x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，

解得：

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．

2、该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为60%．

【分析】

根据题意，2019年该地中欧班列的开行量为500列，2021年达到1280列，设该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为x，列出一元二次方程求解即可得．

【详解】

解：设该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为x，根据题意可得：

，

解得：或（舍去），

∴该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为60%．

【点睛】

题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．

3、（1）①；②；（2）见解析；（3）等边三角形，理由见解析

【分析】

（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可；

（2）利用配方法和非负数的性质进行说明即可；

（3）展开后利用分组分解法因式分解后利用非负数的性质确定三角形的三边的关系即可．

【详解】

解：（1）①

．

②

（2）

∵

∴

∴多项式的值总是一个正数．

（3）为等边三角形．

理由如下：∵

∴

∴

∴，

∴

∴为等边三角形．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读材料理解配方的方法．

4、m的最大整数值为0

【分析】

根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，确定出m的范围，进而求出最大整数值即可．

【详解】

解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，

∴b2﹣4ac＝（2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）＝4m2﹣（4m2+8m﹣12）＝4m2﹣4m2﹣8m+12＝﹣8m+12≥0，m﹣1≠0，

解得：m≤且m≠1，

则m的最大整数值为0．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，准确计算是解题的关键．

5、（1）；（2）；（3）；（4）．

【分析】

（1）方程利用因式分解法求出解即可；

（2）方程利用公式法求出解即可；

（3）方程变形后，利用因式分解法求出解即可；

（4）方程利用公式法求出解即可．

【详解】

解：（1）方程x2﹣4x﹣5＝0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
所以x-5=0或x+1=0，
解得：x1=5，x2=-1；

（2）方程2x2﹣6x﹣3＝0，

a=2，b=-6，c=-3，

∵△=b2-4ac=36+24=60＞0，

∴x==，

∴；
（3）方程移项得：（2x-3）2-5（2x-3）=0，
分解因式得：（2x-3）（2x-3-5）=0，
所以2x-3=0或2x-8=0，
解得：；

（4）

a=1，b=，c=10，

∵△=b2-4ac=48-40=8＞0，

∴x==，

∴．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解题的关键．