北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试复习练习题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程同步测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到3.92万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）

A．20% B．30% C．40% D．50%

2、参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

3、若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为（　　）

A．﹣16 B．﹣13 C．﹣10 D．﹣8

4、为落实教育优先发展，南充市财政一般公共预算2019年教育经费投入93.15亿元，2021年教育经费投入99.45亿元，设南充市财政一般公共预算教育经费投入年平均增长率为x，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

5、南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（    ）

A． B． C． D．

6、已知方程的两根分别为m、n，则的值为（     ）

A．1 B． C．2021 D．

7、下列事件为必然事件的是（　　）

A．抛掷一枚硬币，正面向上

B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球

C．方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根

D．如果|a|＝|b|，那么a＝b

8、一元二次方程的解是（    ）．

A．5 B．－2 C．－5或2 D．5或－2

9、将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（    ）

A． B． C． D．

10、方程的解是（    ）

A．6 B．0 C．0或6 D．-6或0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、己知t是方程x2﹣x﹣2＝0的根，则式子2t2﹣2t+2021的值为_____．

2、某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子， 第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，…以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为 _______

3、已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____．

4、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为 _____．

5、骑行带头盔，安全有保障．“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2019年到2021年我国头盔销售额从23.4亿元增长到39.546亿元，则我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解分式方程：

2、某地区2019年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经费3025万元．求2019年至2021年该地区投入教育经费的年平均增长率．

3、阅读材料：

材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2，x1*x2．

材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．

解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，

所以．

根据上述材料解决以下问题：

（1）材料理解：

一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　   ，x1x2＝　   ．

（2）类比探究：

已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：

4、为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．

（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；

（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？

5、先化简，再求值．

，请从一元二次方程的两个根中选择一个你喜欢的求值．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

先用含x的代数式表示出2021年底5G用户的数量， 然后根据2021年底5G用户数为3.92万户列出关于x的方程，解方程即得答案．

【详解】

解：设全市5G用户数年平均增长率为x，

根据题意，得： ，

整理得：，

∴，

解得：x1=0.4=40%，x2= −2.4（不合题意，舍去）．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．

2、A

【分析】

设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此列出方程即可．

【详解】

解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：

，

故选：A．

【点睛】

题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．

3、则此三角形的周长是1

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长，掌握一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长是解题关键．

5．A

【分析】

将m代入2x2﹣3x﹣1＝0可得2m2﹣3m﹣1＝0，再化简所求代数为﹣6m2+9m﹣13＝-3（2m2﹣3m）﹣13，即可求解．

【详解】

解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，

∴2m2﹣3m﹣1＝0，

∴2m2﹣3m＝1，

∴﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3×1﹣13＝﹣16，

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系，灵活变形所求代数式是解题的关键．

4、A

【分析】

根据题意可直接进行求解．

【详解】

解：由题意可列方程为；

故选A．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解题的关键．

5、C

【分析】

设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，

整理得：．
故选：C．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

6、B

【分析】

由题意得mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，将代数式变形后再代入求解即可．

【详解】

∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为m，n，

∴mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，

∴m2﹣2021m＝﹣1，

∴m2﹣＝﹣1,

故选：B．

【点睛】

本题考查了根的定义及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．

7、C

【分析】

根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件，进行逐一判断即可

【详解】

解：A、抛掷一枚硬币，可能正面向上，也有可能反面向上，不是必然事件，不符合题意；

B、在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球是不可能发生的，不是必然事件，不符合题意；

C、∵，∴方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，是必然事件，符合题意；

D、如果|a|＝|b|，那么a＝b或a=-b，不是必然事件，不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了必然事件的定义，熟知定义是解题的关键．

8、D

【分析】

直接把原方程化为两个一次方程或，再解一次方程即可.

【详解】

解：

或

解得：

故选D

【点睛】

本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“因式分解法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键.

9、A

【分析】

将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，即，

故选A．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

10、C

【分析】

根据一元二次方程的解法可直接进行求解．

【详解】

解：

，

解得：；

故选C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

二、填空题

1、2025

【分析】

根据一元二次方程的解的定义得到t2-t-2=0，则t2-t=2，然后把2t2-2t+2021化成2（t2-t）+2021，再利用整体代入的方法计算即可．

【详解】

解：当x=t时，t2-t-2=0，则t2-t=2，

所以2t2-2t+2021=2（t2-t）+2021=4+2021=2025．

故答案为：2025．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．用了整体代入思想．

2、11

【分析】

设这组学生的人数为 人，根据题意列出方程，解出即可．

【详解】

解：设这组学生的人数为 人，根据题意得：

，

即

解得： ．

故答案为：11

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

3、m＜1且m≠0

【分析】

由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．

【详解】

∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，

∴，

解得：m＜1且m≠0．

故答案为：m＜1且m≠0．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，但要注意二次项系数非零．

4、

【详解】

延长B1D交BC于E，由B1D⊥BC，根据含角直角三角形和勾股定理的性质，推导得DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，在Rt△B1CE中根据轴对称、勾股定理的性质,建立方程计算即可解得答案．

【解答】

延长B1D交BC于E，如图：

∵B1D⊥BC，

∴∠BED＝∠B1EC＝90°，

∵∠B＝30°，

∴DE＝BD，

∴BE＝＝BD，

设BD＝x，

∵将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，

∴B1D＝x，

∵BC＝3，

∴CE＝3﹣x，B1C＝BC＝3，

在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，

∴（x+x）2+（3﹣x）2＝32

∴

∴x＝0（舍去）或x＝

∴BD＝

故答案为：．

【点睛】

本题考查了勾股定理、一元二次方程、轴对称、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理；轴对称、含角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．

5、30%

【分析】

设平均每年的增长率为x，则可得关于x的一元二次方程，解方程即可，但负根要舍去．

【详解】

设我国头盔从2019年到2021年平均每年的增长率为x，由题意得：

即

解得：，（舍去）

∴，即我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是30%

故答案为：30%．

【点睛】

本题考查了一元二次方程与增长率的问题，关键是理解题意，找到等量关系并列出方程．

三、解答题

1、x=4

【分析】

两边都乘以x2-4化为整式方程求解，然后验根即可．

【详解】

解：，

两边都乘以x2-4，得

2(x-2)-4x=-(x2-4)，

x2-2x-8=0，

(x+2)(x-4)=0，

x1=-2，x2=4，

检验：当x=-2时，x2-4=0，

当x=4时，x2-4≠0，

∴x=4是原分式方程的根．

【点睛】

本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．

2、这两年投入教育经费的年平均增长率为

【分析】

根据等量关系：2019年投入教育经费×（1+x）2=2021年投入教育经费列方程求解即可．

【详解】

解：设2019年至2021年该地区投入教育经费的年平均增长率为，

根据题意，得，

解得：，或（不合题意舍去），

答：这两年投入教育经费的年平均增长率为．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．

3、（1）﹣2；；（2）m2n+mn2＝．

【分析】

（1）直接根据根与系数的关系可得答案；

（2）由题意得出m、n可看作方程，据此知m+n=1，mn＝，将其代入计算可得；

【详解】

解：（1）∵一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，

∴x1+x2，x1x2；

故答案为：﹣2；；

（2）∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，

∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，

∴m+n＝1，mn，

∴m2n+mn2＝mn（m+n）；

【点睛】

本题主要考查根与系数的关系，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及运算法则进行解题．

4、（1）我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%；（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元

【分析】

（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，利用2022年投资额＝2020年投资额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）利用这三年我校总共投资的金额＝2020年投资额+2020年投资额×（1+年平均增长率）+2022年投资额，即可求出结论．

【详解】

解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，

依题意得：110（1+x）2＝185.9，

解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．

答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%．

（2）110+110×（1+30%）+185.9

＝110+143+185.9

＝438.9（万元）．

答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．

5、；

【分析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解一元二次方程求出a的值，继而选择任意一个a的值代入计算即可．

【详解】

解： ÷（+3 +）

= ÷

= •

= •

=

2-7+12=0

∙=0                                                  

∴或 = 0

∴,=

又∵，，

∴当时，原式

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值和解一元二次方程，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解法解一元二次方程．