数学第十六章 一元二次方程综合与测试课后测评

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1

2、若关于x的一元二次方程的一根为1，则k的值为（    ） ．

A．1 B． C． D．0

3、下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．

4、一元二次方程x2+2x＝1的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

5、若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．或1

6、下列方程是一元二次方程的是（    ）

A． B．

C． D．

7、老师设计了一个游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一个人计算的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，最后得到方程的解．过程如图：接力中，自己负责的一步出现错误的学生人数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8、下列所给方程中，没有实数根的是（    ）

A． B．

C． D．

9、已知m，n是方程的两根，则代数式的值等于（    ）

A．0 B． C．9 D．11

10、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能为（    ）．

A．3 B．4 C．5 D．6

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知是关于的方程的一个根，则______．

2、若为整数，关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为__________．

3、若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是__________．

4、一元二次方程3x2﹣6x＝0的根是_____．

5、已知关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，则_________，__________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解方程：

（1）（x﹣5）2＝（2﹣3x）2；

（2）x2﹣10x+16＝0；

（3）2x2﹣x﹣2＝0．

2、（1）用配方法解方程：．

（2）当岚岚用因式分解法解一元二次方程时，她是这样做的：

解：原方程可以化简为．……………………………………第一步

两边同时除以．得．  ………………………………………………第二步

系数化为1，得．………………………………………………………………第三步

①岚岚的解法是不正确的，她从第________步开始出现了错误．

②请完成这个方程的正确解题过程．

3、解方程：2x2+x﹣15＝0．

4、小林准备如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段在桌面上各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和为，小林该如何剪？

（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于．”他说的对吗？请说明理由．

5、已知是方程的一个根，求代数式的值．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

用根与系数的关系可用k表示出已知等式，可求得k的值．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，

∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，

∵x12+x22＝5，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，

∴k2﹣2（k﹣3）＝5，

整理得出：k2﹣2k+1＝0，

解得：k1＝k2＝1，

故选：D．

【点睛】

本题考查一元二次方程根根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

2、B

【分析】

把方程的根代入方程可以求出k的值．

【详解】

解：把1代入方程有：
1+2k+1=0，
解得：k=-1，
故选：B．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的解，正确理解题意是解题的关键．

3、C

【详解】

解：A、未知数次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、是一元二次方程，故本选项符合题意；

D、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．

4、A

【分析】

方程整理后得出x2+2x﹣1＝0，求出Δ＝8＞0，再根据根的判别式的内容得出答案即可．

【详解】

解：x2+2x＝1，

整理得，x2+2x﹣1＝0，

∵Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

【点睛】

本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．

5、A

【分析】

把代入方程得出，再求出方程的解即可．

【详解】

∵关于x的一元二次方程有一个根是

∴

解得

∵一元二次方程

∴

∴

∴

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．

6、C

【分析】

判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

【详解】

A.有两个未知数，错误；

B.不是整式方程，错误；

C.符合条件；

D.化简以后为，不是二次，错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．

7、D

【分析】

先把方程化为一般形式，再把左边分解因式，可判断甲，再把方程化为两个一次方程，可判断乙，再解一次方程，移项要改变符号，可判断丙，再计算得到方程的解可判断丁，从而可得答案.

【详解】

解：

，

，

，故甲出现错误；

即

或 故乙出现了错误；

而丙解方程时，移项没有改变符号，丁出现了计算错误；

所以出现错误的人数是4人，

故选D

【点睛】

本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“利用因式分解法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键.

8、D

【分析】

逐一求出四个选项中方程的根的判别式Δ的值，取其小于零的选项即可得出结论．

【详解】

解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根；

 B、∵Δ＝（﹣4）2﹣4×5×(-2)＝56＞0，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根；

C、∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根；

D、∵Δ＝（﹣3）2﹣4×4×2＝-23＜0，

∴一元二次方程没有实数根．

故选：D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根”是解题的关键．

9、C

【分析】

利用方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，可得， ，从而得到，再代入，即可求解．

【详解】

解：∵m，n是方程的两根，

∴， ，

∴，

∴．

故选：C

【点睛】

本题主要考查了方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握使方程左右两边同时成立的未知数的值就是方程的解；若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．

10、A

【分析】

根据方程有两个不相等的实数根，判别式△＞0，确定a的取值范围，判断选择即可．

【详解】

∵方程有两个不相等的实数根，

∴判别式△＞0，

∴，

∴a＜4，

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．

二、填空题

1、2025

【分析】

把代入方程可得再把化为，再整体代入求值即可.

【详解】

解： 是关于的方程的一个根，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是方程的解，求解代数式的值，掌握“利用整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键.

2、3

【分析】

根据一元二次方程的二次项的系数不等于0、根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案．

【详解】

解：由题意得：，

解得，且，

为整数，

整数的最大值为3，

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．

3、且

【分析】

直接利用一元二次方程的定义结合根的判别式计算得出答案．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，

∴ b2﹣4ac＝1﹣4k×（﹣）＝1+9k≥0，且k≠0，

解得： 且，

故答案为：且．

【点睛】

此题考查利用一元二次方程的定义及根的判别式求系数，正确理解一元二次方程根的三种情况是解题的关键，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

4、x1＝2，x2＝0

【分析】

根据因式分解法即可求出答案．

【详解】

解：∵3x2﹣6x＝0，

∴3x（x﹣2）＝0，

∴3x＝0或x﹣2＝0，

∴x1＝2，x2＝0，

故答案为：x1＝2，x2＝0．

【点睛】

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．

5、0    0   

【分析】

一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；分别将1和﹣1代入方程即可得到两个关系式的值．

【详解】

将1代入方程得：，

即；

将﹣1代入方程得：，即；

故答案为0，0．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，即方程的解的定义，深刻理解根的定义是解题关键．

三、解答题

1、（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x1＝2，x2＝8；（3）x1＝，x2＝﹣．

【分析】

（1）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可；

（2）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可；

（3）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可．

【详解】

解：（1）∵（x﹣5）2＝（2﹣3x）2，

∴，

∴，

∴

解得：x1＝，x2＝；

（2）∵x2﹣10x+16＝0，

∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，

∴x﹣2＝0或x﹣8＝0，

解得x1＝2，x2＝8；

（3）∵，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程 ，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．

2、（1），；（2）①二；②，

【详解】

解：（1）配方，得，即．

由此可得．

解得，．

（2）①第二步在两边同时除以时未考虑的情况，故第二步错误．

故答案为：二；

②正确的解答过程如下：

原方程可以化简为．

移项，得．

因式分解，得．

由此可得或．

解得，．

【点睛】

本题考查解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键．

3、或；

【分析】

利用十字相乘法把方程左边进行因式分解得到（2x5）（x+3）=0，进而解两个一元一次方程即可．

【详解】

解：，

∴，

∴或，

∴或；

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中．

4、（1）剪成的两段分别为12cm，28cm；（2）小峰的说法正确，理由见解析

【分析】

（1）设剪成的两段分别为，，然后由题意得，进而问题可求解；

（2）设剪成的两段分别为，，然后由题意得，进而问题可求解．

【详解】

解：设剪成的两段分别为，．

（1）根据题意，得，解得，．

当时，；当时，．

∴剪成的两段分别为12cm，28cm．

（2）根据题意，得，整理，得．

∵，

∴该方程无解，

∴小峰的说法正确．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．

5、6

【分析】

把代入方程，得出，再整体代入求值即可．

【详解】

解： = ．             

∵ a是方程的根         

∴ ．                     

∴ ．                            

∴ 原式 = 6．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确方程解的意义，整体代入求值．