初中数学北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试一课一练

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0

C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0

2、对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有下列说法：

①当a＜0，且b＞a＋c时，方程一定有实数根；

②若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根；

③若a－b＋c＝0，则方程一定有一个根为－1；

④若方程有两个不相等的实数根，则方程bx2＋ax＋c＝0一定有两个不相等的实数根．

其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④

3、方程2x2-3x=2的一次项系数和常数项分别是（    ）

A．3和2 B．-3和2 C．3和-2 D．-3和-2

4、某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（　　）个班级．

A．8 B．9 C．10 D．11

5、用配方法解方程x2+2x=1，变形后的结果正确的是（   ）

A．（x+1）2=-1 B．（x+1）2=0 C．（x+1）2=1 D．（x+1）2=2

6、若一元二次方程x25x+k =0的一根为2，则另一个根为（   ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7、方程的解是（    ）

A．6 B．0 C．0或6 D．-6或0

8、一元二次方程x2+2x＝1的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

9、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1 B．－1 C．1或－1 D．0

10、老师设计了一个游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一个人计算的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，最后得到方程的解．过程如图：接力中，自己负责的一步出现错误的学生人数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“月亮”方程，已知方程a2x2﹣1999ax+1＝0（a≠0）是“月亮”方程，求a2+1999a+的值为 _____．

2、设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为____．

3、将化为一般形式为________．

4、已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _____．

5、关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解下列方程：

（1）；

（2）．

2、如图，在一块长为30m、宽为20m的矩形地面上，要修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），横、竖道路的宽度比为2：3，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的四分之一，应如何设计道路的宽度？

3、某蔬菜交易市场2020年10月份的蔬菜交易量是5000吨，到2020年12月份达到7200吨．

（1）求这两个月平均每月增长的百分率．

（2）按（1）中的增长率，预测2021年1月份的交易量是       吨．

4、解下列方程：

（1）(2x－1)2 = x2；

（2）(x＋1)(x＋3)＝－1．

5、（1）计算：

（2）计算：

（3）解方程：

（4）解方程：

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程．

【详解】

解：由题意可知：挂图的长为，宽为，

，

化简得：x2+65x﹣350＝0，

故选：B．

【点睛】

本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．

2、C

【分析】

①令，，，由判别式即可判断；②若，则a、c异号，由判别式即可判断；③令得，即可判断；④取，，来进行判断即可．

【详解】

①由当，，，，方程此时没有实数根，故①错误；

②若，a、c异号，则，方程一定有两个不相等的实数根，所以②正确；

③令得，则方程一定有一个根为；③正确；

④当，，时，有两个不相等的根为，但方程只有一个根为1，故④错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解以及判别式，掌握用判别式判断根的情况是解题的关键．

3、D

【分析】

先将方程变形，再根据一元二次方程方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项”进行解答即可得．

【详解】

解：

一次项系数为：-3，常数项为：-2，

故选D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的一次项系数和常数项，解题的关键是熟记一元二次方程的一般形式．

4、A

【分析】

设该校八年级有x个班级，利用比赛的总场次数＝参赛的班级数×（参赛的班级数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【详解】

解：设该校八年级有x个班级，

依题意得：x（x﹣1）＝28，

整理得：x2﹣x﹣56＝0，

解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

5、D

【分析】

方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可得到答案．

【详解】

解：∵x2+2x=1，
∴x2+2x+1=1+1，
∴（x+1）2=2，
故选D．

【点睛】

本题考查配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

6、A

【分析】

设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到2＋t＝5，求出t即可．

【详解】

解：设方程的另一根为t，

根据题意得2＋t＝5，

解得t＝3．

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，则x1＋x2＝，x1·x2＝．

7、C

【分析】

根据一元二次方程的解法可直接进行求解．

【详解】

解：

，

解得：；

故选C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

8、A

【分析】

方程整理后得出x2+2x﹣1＝0，求出Δ＝8＞0，再根据根的判别式的内容得出答案即可．

【详解】

解：x2+2x＝1，

整理得，x2+2x﹣1＝0，

∵Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

【点睛】

本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．

9、B

【分析】

根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a-1≠0，a2-1=0，求出a的值即可．

【详解】

解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2－1＝0，

解得：a＝1或a＝－1，

∵a－1≠0，即a≠1，

∴a＝－1，

故选：B．

【点睛】

本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a-1≠0且a2-1=0，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．

10、D

【分析】

先把方程化为一般形式，再把左边分解因式，可判断甲，再把方程化为两个一次方程，可判断乙，再解一次方程，移项要改变符号，可判断丙，再计算得到方程的解可判断丁，从而可得答案.

【详解】

解：

，

，

，故甲出现错误；

即

或 故乙出现了错误；

而丙解方程时，移项没有改变符号，丁出现了计算错误；

所以出现错误的人数是4人，

故选D

【点睛】

本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“利用因式分解法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键.

二、填空题

1、-2

【分析】

根据“月亮”方程的定义得出，变形为代入计算即可．

【详解】

解：∵方程是“月亮”方程，

∴，

∴，

∴

故答案为-2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键．

2、

【分析】

由于a2＋2a＋b＝（a2＋a）＋（a＋b），故根据方程的解的意义，求得（a2＋a）的值，由根与系数的关系得到（a＋b）的值，即可求解．

【详解】

解：∵a，b是方程x2＋x−2021＝0的两个实数根，
∴a2＋a−2021＝0，即a2＋a＝2021，a＋b＝＝−1，
∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2021−1＝，

故答案为：．

【点睛】

本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．

3、

【分析】

移项，将方程右边化为0

【详解】

解：化为一般形式为

故答案为：．

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义，属于基础题，一元二次方程的一般式：．

4、k＞-2且k≠0k≠0且k＞-2

【分析】

根据关于x的一元二次方程kx2-4x-2=0有两个不相等的实数根，可得出判别式大于0，再求得k的取值范围．注意：二次项系数不等于零．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程kx2-4x-2=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=（-4）2-4×（-2）k＞0，

解得k＞-2，

∵k≠0，

∴k的取值范围k＞-2且k≠0，

故答案是：k＞-2且k≠0．

【点睛】

本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．

5、

【分析】

利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可．

【详解】

解：根据题意得△，

解得．

故答案是：．

【点睛】

本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．

三、解答题

1、（1），；（2），．

【分析】

（1）两边同除以3，然后直接开平方法进行求解即可；

（2）根据公式法可直接进行求解．

【详解】

解：（1）

，

∴，

∴，；

（2）

∵，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

2、横着的道路的宽为，则竖着的道路宽为．

【分析】

设横着的道路的宽为，则竖着的道路宽为，然后根据要使草坪的面积是地面面积的四分之一，列出方程求解即可．

【详解】

解：设横着的道路的宽为，则竖着的道路宽为，

由题意得：，

∴，

∴，

∴

解得或，

∵当时，，不符合题意，

∴，

∴横着的道路的宽为，则竖着的道路宽为．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于正确理解题意，列出方程求解．

3、（1）20%；（2）8640．

【分析】

（1）设这两个月平均每月增长的百分率为x，利用2020年12月份的蔬菜交易量＝2020年10月份的蔬菜交易量×（1+这两个月平均每月增长的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）利用2021年1月份的蔬菜交易量＝2020年12月份的蔬菜交易量×（1+这两个月平均每月增长的百分率），即可求出结论．

【详解】

解：（1）设这两个月平均每月增长的百分率为x，

依题意得：5000（1+x）2＝7200，

化简得25x2+50x-9=0

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：这两个月平均每月增长的百分率为20%．

（2）7200×（1+20%）＝8640（吨）．

故答案为：8640．

【点睛】

本题考查了二次函数相关的增长率问题，有关增长率问题的等量关系：①原产量＋增产量＝现在的产量；②增产量＝原产量×增长率；③现在的产量＝原产量×（1＋增长率）．④若连续n个月增长率相同则有：a（1＋增长率）n=b．对于连续变化的问题，都是以前一个时间段为基础，平均增长（降低）率也是如此，如二月份的产量是在一月份的基础上变化的，三月份的产量是在二月份的基础上变化的．

4、（1）；（2）．

【分析】

（1）先移项，再用因式分解法即可求解；

（2）先整理为一般形式，对方程左边分解因式，即可求解．

【详解】

解：（1）(2x－1)2 = x2

移项得，

因式分解得，

∴或，

∴；

（2）(x＋1)(x＋3)＝－1

原方程整理得，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，熟知一元二次方程的解法并根据方程特点灵活选择是解题关键，注意第（2）题有两个相等的实数根，不要漏写．

5、（1）；（2）；（3）；（4）．

【分析】

（1）根据算术平方根的性质、负整指数幂的性质、正弦定义等知识计算解题；

（2）根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则、完全平方公式等知识计算解题，

（3）利用配方法解题；

（4）利用提公因式法结合整体思想解题．

【详解】

解：（1）

；

（2）

；

（3）

（4）

或

【点睛】

本题考查实数的混合运算、二次根式的乘除法、解一元二次方程等知识，涉及正弦、整体思想等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．