2021学年第十六章 一元二次方程综合与测试复习练习题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、方程x2﹣x＝0的解是（　　）

A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝1

2、下列事件为必然事件的是（　　）

A．抛掷一枚硬币，正面向上

B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球

C．方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根

D．如果|a|＝|b|，那么a＝b

3、关于的一元二次方程的一个根是3，则的值是（    ）

A．3 B． C．9 D．

4、已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（    ）

A．5 B．3 C．－3 D．－4

5、若是关于的方程的一个根，则的值是（    ）

A． B． C．1 D．2

6、南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（    ）

A． B． C． D．

7、将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8、矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则矩形ABCD的面积为（    ）

A． B．12 C． D．或

9、方程的解是（    ）

A．6 B．0 C．0或6 D．-6或0

10、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能为（    ）．

A．3 B．4 C．5 D．6

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知关于的一元二次方程（a，b，c为常数，）的解为，则方程的解为__________．

2、 “降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．

3、关于x的一元二次方程kx2＋3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是_____．

4、设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝_____，x1x2＝______．

5、设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两个根，当x1为1时则x1x2的值是________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在一块长为30m、宽为20m的矩形地面上，要修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），横、竖道路的宽度比为2：3，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的四分之一，应如何设计道路的宽度？

2、已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(0，12)，经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为(﹣9，3)．

（1）求直线l1，l2的表达式；

（2）点C为直线OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CDy轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF．

①设点C的纵坐标为n，求点D的坐标（用含n的代数式表示）；

②若矩形CDEF的面积为48，请直接写出此时点C的坐标．

3、解方程：

（1）（配方法）

（2）（公式法）

4、解方程：

（1）（x﹣5）2＝（2﹣3x）2；

（2）x2﹣10x+16＝0；

（3）2x2﹣x﹣2＝0．

5、随着元旦的到来，某超市准备在元旦期间推出甲、乙两种商品，甲型的售价是乙型的．

（1）元旦第一周该商家两种商品的总销售额为3600元，乙商品的销售额是甲商品的2倍，销售量比甲商品多40件，求甲商品销售了多少件？

（2）为增加销量，该商家第二周决定将乙商品的售价下调％，甲商品的售价保持不变，结果与第一周相比，乙商品的销量增加了％，甲商品的销量增加了a％，最终第二周的销售额比第一周的销售额增加了％，求a的值．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

因式分解后求解即可.

【详解】

x2﹣x＝0，

x（x-1）=0，

x=0，或x-1=0，

解得x1＝0，x2＝1，

故选：D

【点睛】

此题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

2、C

【分析】

根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件，进行逐一判断即可

【详解】

解：A、抛掷一枚硬币，可能正面向上，也有可能反面向上，不是必然事件，不符合题意；

B、在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球是不可能发生的，不是必然事件，不符合题意；

C、∵，∴方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，是必然事件，符合题意；

D、如果|a|＝|b|，那么a＝b或a=-b，不是必然事件，不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了必然事件的定义，熟知定义是解题的关键．

3、C

【分析】

把x=3代入已知方程，列出关于m的方程，通过解方程可以求得m的值．

【详解】

解：关于的一元二次方程的一个根是3

m=9

故选：C

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

4、A

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系先求出m＋n和mn的值，然后代入计算即可．

【详解】

解：∵一元二次方程的两根分别为m，n，

∴，，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若其两根分别为和，则其两个根满足，，掌握此定理是解题关键．

5、A

【分析】

将n代入方程，然后提公因式化简即可．

【详解】

解：∵是关于x的方程的根，

∴，即，

∵，

∴，即，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，理解题意，熟练运用提公因式是解题关键．

6、C

【分析】

设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，

整理得：．
故选：C．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7、B

【分析】

先利用得到，再利用x的一次式表示出，则进行化简，然后解方程，从而得到的值．

【详解】

解：根据题意，∵，

∴，

∴，

∴

；

∵，

解得：，，

∵，

∴，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．

8、D

【分析】

先求的两个根再根据矩形的性质，用勾股定理求得另一边长或，计算面积即可．

【详解】

∵，

∴（x-2）（x-5）=0，

∴

∴另一边长为=或=，

∴矩形的面积为2×=或5×=5，

故选D．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练解方程，灵活用勾股定理是解题的关键．

9、C

【分析】

根据一元二次方程的解法可直接进行求解．

【详解】

解：

，

解得：；

故选C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

10、A

【分析】

根据方程有两个不相等的实数根，判别式△＞0，确定a的取值范围，判断选择即可．

【详解】

∵方程有两个不相等的实数根，

∴判别式△＞0，

∴，

∴a＜4，

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．

二、填空题

1、##

【分析】

根据一元二次方程解的定义可得令，进而即可求得，即方程的解

【详解】

解：∵关于的一元二次方程（a，b，c为常数，）的解为，

∴方程中，令

则，即或

解得

即的解为

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程解的定义，掌握解的定义，换元是解题的关键．

2、

【分析】

先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.

【详解】

解：

则或或

解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.

3、且

【详解】

利用判别式，根据一元二次方程的定义，列出不等式即可解决问题；

【分析】

解：∵关于x的一元二次方程kx2＋3x﹣1＝0有实数根，

∴△≥0且k≠0，

∴9＋4k≥0，

∴k≥﹣，且k≠0，

故答案为k≥﹣且k≠0．

【点睛】

本题考查根的判别式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

4、3    －1   

【分析】

利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．

【详解】

解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，

∴ ．

故答案为：3，-1

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．

5、-2

【分析】

把代入，得，所以方程为，即可求解．

【详解】

解：把代入，得：

解得：，

∴方程为，

∴x1x2==-2．

故答案为：-2

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．

三、解答题

1、横着的道路的宽为，则竖着的道路宽为．

【分析】

设横着的道路的宽为，则竖着的道路宽为，然后根据要使草坪的面积是地面面积的四分之一，列出方程求解即可．

【详解】

解：设横着的道路的宽为，则竖着的道路宽为，

由题意得：，

∴，

∴，

∴

解得或，

∵当时，，不符合题意，

∴，

∴横着的道路的宽为，则竖着的道路宽为．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于正确理解题意，列出方程求解．

2、（1）y＝﹣x，y＝x+12；（2）①(﹣3n，﹣3n+12)；②(3，﹣1)或C(﹣12，4)

【分析】

（1）从图中看以看出l1是正比例函数，l2是一次函数，根据点A、B的坐标，用待定系数法即可求得l1、l2的解析式；

（2）①已知点C的纵坐标及点C在直线l1上，求得点C的横坐标；进而知道了点D的横坐标，点D在直线l2上，易得点D的坐标；

②根据点C与点D坐标，求出CF＝|3n|，CD＝|﹣3n+12﹣n|＝|﹣4n+12|，利用矩形的面积＝长×宽，列出关于n的方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）设直线l1的表达式为y＝k1x，

∵过点B（﹣9，3），

∴﹣9k1＝3，

解得：k1＝﹣，

∴直线l1的表达式为y＝﹣x；

设直线l2的表达式为y＝k2x+b，

∵过点A （0，12），B（﹣9，3），

∴，

解得：，

∴直线l2的表达式y＝x+12；

（2）①∵点C在直线l1上，且点C的纵坐标为n，

∴n＝﹣x，

解得：x＝﹣3n，

∴点C的坐标为（﹣3n，n），

∵CD∥y轴，

∴点D的横坐标为﹣3n，

∵点D在直线l2上，

∴y＝﹣3n+12，

∴D（﹣3n，﹣3n+12）；

②∵C（﹣3n，n），D（﹣3n，﹣3n+12），

∴CF＝|3n|，CD＝|﹣3n+12﹣n|＝|﹣4n+12|，

∵矩形CDEF的面积为60，

∴S矩形CDEF＝CF•CD＝|3n|×|﹣4n+12|＝48，

解得n＝﹣1或n＝﹣4，

当n＝﹣1时，﹣3n＝3，故C（3，﹣1），

当n＝4时，﹣3n＝1﹣12，故C（﹣12，4）．

综上所述，点C的坐标为：（3，﹣1）或C（﹣12，4）．

【点睛】

本题考查待定系数法求一次函数的解析式，勾股两点距离，矩形面积，解一元二次方程，掌握待定系数法求一次函数的解析式，勾股两点距离，矩形面积，解一元二次方程是解题关键．

3、（1）；（2）

【分析】

（1）利用配方法，首先将常数项移项，再配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方求出即可；

（2）利用公式法直接代入求出即可．

【详解】

（1）

（2）

∴

∴

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、配方法的解题步骤是解题的关键．

4、（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x1＝2，x2＝8；（3）x1＝，x2＝﹣．

【分析】

（1）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可；

（2）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可；

（3）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可．

【详解】

解：（1）∵（x﹣5）2＝（2﹣3x）2，

∴，

∴，

∴

解得：x1＝，x2＝；

（2）∵x2﹣10x+16＝0，

∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，

∴x﹣2＝0或x﹣8＝0，

解得x1＝2，x2＝8；

（3）∵，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程 ，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．

5、（1）80件；（2）40

【分析】

（1）先求得第一周甲乙商品的销售额，设甲商品销售了x件，则乙商品销售了件，根据题意列方程求解即可；

（2）先求得第一周甲乙商品的销售单价，根据题意列方程求解即可．

【详解】

解：（1）第一周甲商品的销售额为（元），

第一周乙商品的销售额为（元）．

设甲商品销售了x件，则乙商品销售了件，

依题意，得：，解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意．

答：甲商品销售了80件．

（2）第一周甲商品的销售单价为（元），

第一周乙商品的销售单价为（元）．

依题意，得：

整理，得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：a的值为40．

【点睛】

本题考查分式方程及一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出方程．